1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 231 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 f(x)= (分数:2.00)A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续3.当 x0,1时,f (x)0,则 f (0),f (1),f(1)f(0)的大小次序为( )(分数:2.00)A.f (0)f(1)一 f(0)f (1)B.f (0)f (1)f(1)一 f(0)C.f (0)f (1)f(1)一 f(0)D.f (0)f(1)一 f(0)f
2、(1)4.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.5.设 =f(x+y,xz)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.00)A.f 2 +xf 11 +(x+z)f 12 +xzf 22 B.xf 12 +xzf 22 C.f 2 +xf 12 +xzf 22 D.xzf 22 6.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.一 ln3B.ln3C.ln3D.ln3二、填空题(总题数:8,分数:16.00)7.= 1 (分数:2.00
3、)填空项 1:_8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9. 0 (分数:2.00)填空项 1:_10.若 (分数:2.00)填空项 1:_11.函数 z=x 2 cosy 在点 (分数:2.00)填空项 1:_12.设区域 D=(x,y)0x1,0y1,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 L: =1,且 L 的长度为 l,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_16.求 (分数:2.00)_17.求 (分数:2.00)_1
4、8.设 f(x)= (分数:2.00)_19.设 1 yx2 e t2 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数,求 (分数:2.00)_20.当 0x 时,证明: (分数:2.00)_21.求 (分数:2.00)_22.设 f(x)在区间0,1上可积,当 0xy1 时,f(x)一 f(y)arctanxarctany,又 f(1)=0,证明: 0 1 f(x)dx (分数:2.00)_23.设 f(x)连续,f(0)=1,令 F(t)= (分数:2.00)_24.计算曲面积分 (分数:2.00)_25.判断级数 (分数:2.00)_26.将 f(x)= (分数
5、:2.00)_27.求微分方程 x 2 y 一 2xy +2y=2x 一 1 的通解(分数:2.00)_考研数学一(高等数学)模拟试卷 231 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 f(x)= (分数:2.00)A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析:解析:因为 =f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 处连续; 由 =0,得 f(x)在 x=0 处可导,且 f (0)=0; 当 x0 时,f (x)=3x 2 ;当
6、 x0 时,f (x)=2x, 因为 3.当 x0,1时,f (x)0,则 f (0),f (1),f(1)f(0)的大小次序为( )(分数:2.00)A.f (0)f(1)一 f(0)f (1)B.f (0)f (1)f(1)一 f(0)C.f (0)f (1)f(1)一 f(0)D.f (0)f(1)一 f(0)f (1) 解析:解析:由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f (c)(0c1),因为 f (x)0,所以 f (x)单调增加,故 f (0)f (c)f (1),即 f (0)f(1)一 f(0)f (1),应选(D)4.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y
7、 2 所围成的区域面积可表示为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 y 2 的极坐标形式为 r 2 =cos2,再根据对称性,有 A=4 5.设 =f(x+y,xz)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.00)A.f 2 +xf 11 +(x+z)f 12 +xzf 22 B.xf 12 +xzf 22 C.f 2 +xf 12 +xzf 22 D.xzf 22 解析:解析: =f 1 +zf 2 , 6.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解,则 (分数:2.00)A.一
8、 ln3B.ln3C.ln3D.ln3 解析:解析:由 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 得 =0,积分得 ln(x 2 一 1)+lny=lnC,从而 y= ,由y(0)=1 得 C=一 1,于是 y= ,故 二、填空题(总题数:8,分数:16.00)7.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*C)解析:解析:9. 0 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.若 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由a+
9、b 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +b 2 2ab=13+19+2ab=24,得 ab=一 4,则a 一b 2 =(ab)(ab)=a 2 +b 2 一 2ab=13+19+8=40,则a 一 b= 11.函数 z=x 2 cosy 在点 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 , 射线 l 的方向向量为1, , 方向余弦为 cos= , 故12.设区域 D=(x,y)0x1,0y1,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 D 1 =(x,y)0x1,0yx 2 ,D 2 =(x,y)0x1,x 2 y1, 13
10、.设 L: =1,且 L 的长度为 l,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:361)解析:解析:由对称性得 (9x 2 +72xy+4y 2 )ds= (9x 2 +4y 2 )ds,于是原式= 14.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:13,分数:26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:16.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答
11、案:(正确答案:显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点 f(00)= , 因为 f(0 一 0)f(0+0),所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点 f(10)= )解析:19.设 1 yx2 e t2 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 x cos(x 一 t) 2 dt x 0 cos 2 (一 d)= 0 x cost 2 dt, 等式 = 0 x cost 2 dt 两边对 x 求导,得 =cosx 2 , 于是 )解析:20.当 0x 时,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令
12、 f(x)=xsinx,f(0)=0, f (x)=1 一 cosx0(0x ), )解析:21.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 f(x)在区间0,1上可积,当 0xy1 时,f(x)一 f(y)arctanxarctany,又 f(1)=0,证明: 0 1 f(x)dx (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由f(x)=f(x)一 f(1)=arctanxarctan1=arctanx 一 得 0 1 f(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 arctanx dx= 0 1 ( 一 arctanx)dx= )解析:23.设 f(x)连续,f(0)=1,
13、令 F(t)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x=cos,y=rsin,则 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr, 因为 f(x)连续,所以 F (t)=2tf(t 2 )且 F (0)=0,于是 F (0)= )解析:24.计算曲面积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:补充 0 :z=0(x 2 +y 2 a 2 )下侧, 原式= x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxdy x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxdy, 而 x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxd
14、y= (x 2 +y 2 +z 2 )d )解析:25.判断级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 发散,由比较审敛法的极限形式得级数 )解析:26.将 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: f(0)=0,f(x)=f(x)一 f(0)= 0 x f (x)dx= 0 x )解析:27.求微分方程 x 2 y 一 2xy +2y=2x 一 1 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x=e t ,则 x 2 y = +2y=2e t 一 1, 2y=0 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t ,令 +2y=2e t 的特解为 y 0 (t)=ate t ,代入 2y=一 1 的特解为 y= 2y=2e t 一 1 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t 一 2te t 一 ,原方程的通解为 y=C 1 x+C 2 x 2 一 2xlnx 一 )解析:
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