1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 231 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续3.当 x0，1时，f (x)0，则 f (0)，f (1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f (0)f(1)一 f(0)f (1)B.f (0)f (1)f(1)一 f(0)C.f (0)f (1)f(1)一 f(0)D.f (0)f(1)一 f(0)f
2、(1)4.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 =f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 +xf 11 +(x+z)f 12 +xzf 22 B.xf 12 +xzf 22 C.f 2 +xf 12 +xzf 22 D.xzf 22 6.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.ln3D.ln3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.= 1 （分数：2.00
3、）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 （分数：2.00）填空项 1:_10.若 （分数：2.00）填空项 1:_11.函数 z=x 2 cosy 在点 （分数：2.00）填空项 1:_12.设区域 D=(x，y)0x1，0y1，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 L： =1，且 L 的长度为 l，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_1
4、8.设 f(x)= （分数：2.00）_19.设 1 yx2 e t2 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_20.当 0x 时，证明： （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，f(x)一 f(y)arctanxarctany，又 f(1)=0，证明： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_23.设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_24.计算曲面积分 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.将 f(x)= （分数
5、：2.00）_27.求微分方程 x 2 y 一 2xy +2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 231 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 =f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续； 由 =0，得 f(x)在 x=0 处可导，且 f (0)=0； 当 x0 时，f (x)=3x 2 ；当
6、 x0 时，f (x)=2x， 因为 3.当 x0，1时，f (x)0，则 f (0)，f (1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f (0)f(1)一 f(0)f (1)B.f (0)f (1)f(1)一 f(0)C.f (0)f (1)f(1)一 f(0)D.f (0)f(1)一 f(0)f (1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f (c)(0c1)，因为 f (x)0，所以 f (x)单调增加，故 f (0)f (c)f (1)，即 f (0)f(1)一 f(0)f (1)，应选(D)4.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y
7、 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 y 2 的极坐标形式为 r 2 =cos2，再根据对称性，有 A=4 5.设 =f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 +xf 11 +(x+z)f 12 +xzf 22 B.xf 12 +xzf 22 C.f 2 +xf 12 +xzf 22 D.xzf 22 解析：解析： =f 1 +zf 2 ， 6.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一
8、 ln3B.ln3C.ln3D.ln3 解析：解析：由 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 得 =0，积分得 ln(x 2 一 1)+lny=lnC，从而 y= ，由y(0)=1 得 C=一 1，于是 y= ，故 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*C）解析：解析：9. 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由a+
9、b 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +b 2 2ab=13+19+2ab=24，得 ab=一 4，则a 一b 2 =(ab)(ab)=a 2 +b 2 一 2ab=13+19+8=40，则a 一 b= 11.函数 z=x 2 cosy 在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 ， 射线 l 的方向向量为1， ， 方向余弦为 cos= ， 故12.设区域 D=(x，y)0x1，0y1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 D 1 =(x，y)0x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)0x1，x 2 y1， 13
10、.设 L： =1，且 L 的长度为 l，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：361）解析：解析：由对称性得 (9x 2 +72xy+4y 2 )ds= (9x 2 +4y 2 )ds，于是原式= 14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答
11、案：(正确答案：显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点 f(00)= ， 因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点 f(10)= )解析：19.设 1 yx2 e t2 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x cos(x 一 t) 2 dt x 0 cos 2 (一 d)= 0 x cost 2 dt， 等式 = 0 x cost 2 dt 两边对 x 求导，得 =cosx 2 ， 于是 )解析：20.当 0x 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
12、 f(x)=xsinx，f(0)=0， f (x)=1 一 cosx0(0x )， )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，f(x)一 f(y)arctanxarctany，又 f(1)=0，证明： 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由f(x)=f(x)一 f(1)=arctanxarctan1=arctanx 一 得 0 1 f(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 arctanx dx= 0 1 ( 一 arctanx)dx= )解析：23.设 f(x)连续，f(0)=1，
13、令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=cos，y=rsin，则 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr=2 0 t rf(r 2 )dr， 因为 f(x)连续，所以 F (t)=2tf(t 2 )且 F (0)=0，于是 F (0)= )解析：24.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充 0 ：z=0(x 2 +y 2 a 2 )下侧， 原式= x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxdy x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxdy， 而 x 3 dydz+y 3 dzdx+(z 3 +1)dxd
14、y= (x 2 +y 2 +z 2 )d )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 发散，由比较审敛法的极限形式得级数 )解析：26.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(0)=0，f(x)=f(x)一 f(0)= 0 x f (x)dx= 0 x )解析：27.求微分方程 x 2 y 一 2xy +2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=e t ，则 x 2 y = +2y=2e t 一 1， 2y=0 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t ，令 +2y=2e t 的特解为 y 0 (t)=ate t ，代入 2y=一 1 的特解为 y= 2y=2e t 一 1 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t 一 2te t 一 ，原方程的通解为 y=C 1 x+C 2 x 2 一 2xlnx 一 )解析：
