1、考研数学三-418 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在点 x=0 处有 f(0)=0,f“(0)=-1,则 _ A2 Be -2 C (分数:4.00)A.B.C.D.2.函数 f(x)=|x 3 -x|sinx 的不可导点的个数为_(分数:4.00)A.1B.2C.3D.43.设 n 为正整数,则 _ A B (分数:4.00)A.B.C.D.4.关于级数有如下四个结论: 若 a n 0 且 (n=1,2,3,),则 收敛 若 ,则 发散 若 收敛,则 收敛 设 a n 0(n=1,2,3,)且 存在,又 收
2、敛,则 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵,已知 R(A)=m,且方程组 Ax=0 有非零解,则下列选项不正确的是_(分数:4.00)A.mnB.mnC.A 的列向量线性相关D.Ax= 有无穷多组解6.已知三阶方阵 A 不是可逆矩阵, 是三维列向量,且 ,-,若满足A=,A=,则下述结论正确的是_ AA 不能与对角矩阵相似 BA 能与对角矩阵 相似 CA 能与对角矩阵 相似 DA 能与对角矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,已知 PX=k=pq k-1 (k=1,2,3,),其中 0p1,q=1-p,则PX-Y=_ A
3、B C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X m 与 Y 1 ,Y n 是分别来自总体 X与 Y 的两个相互独立的简单随机样本,统计量 服从 t(n)分布,则 等于_ A1 B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. 则 (分数:4.00)10. (分数:4.00)11.已知级数 (分数:4.00)12.差分方程 y x+1 +y x =xe x 的通解为 1 (分数:4.00)13.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,-2,1,B=A 2 -A+E,其中 E 为 3
4、 阶单位矩阵,则行列式|B|= 1 (分数:4.00)14.设随机变量 X 的概率密度函数为 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_16.假设生产某种产品需要 A,B,C 三种原料,该产品的产量 Q 与三种原料 A,B,C 的用量 x,y,z 之间有如下关系:Q=0.005x 2 yz,已知三种原料的价格分别为 1 元,2 元,3 元,现用 2400 元购买原料,问三种原料各购进多少,可使该产品产量最大? (分数:10.00)_17.求幂级数 的收敛域及和函数,并计算 (分数:10.00)_过点(0,0)作曲线 :y=e -x 的切线
5、L,设 D 是以曲线 、切线 L 及 x 轴为边界的无界区域(分数:9.99)(1).求切线 L 的方程;(分数:3.33)_(2).求区域 D 的面积;(分数:3.33)_(3).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:3.33)_18.求二重积分: (分数:10.00)_设矩阵 (分数:11.00)(1).求满足 AX-XA=O 的矩阵 X;(分数:5.50)_(2).问 AX-XA-A 是否有解,若没有解,说明理由;若有解,请求出全部解(分数:5.50)_设有二阶矩阵 (分数:11.00)(1).A,B 是否相似,说明理由;(分数:5.50)_(2).若相似,求正交矩阵 P
6、,使 P -1 AP=B(分数:5.50)_设 X 与 Y 的联合密度函数为 (分数:11.00)(1).求 Z=Y-X 的密度函数;(分数:5.50)_(2).求数学期望 E(X+Y)(分数:5.50)_设总体 X 的概率密度函数为 (分数:11.01)(1).求 的矩估计量;(分数:3.67)_(2).求 的最大似然估计量;(分数:3.67)_(3).求 DX(分数:3.67)_考研数学三-418 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在点 x=0 处有 f(0)=0,f“(0)=-1,则 _ A2 Be -2 C
7、 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 选 B 本题还可用特例法,取 f(x)=-x 2.函数 f(x)=|x 3 -x|sinx 的不可导点的个数为_(分数:4.00)A.1B.2 C.3D.4解析:解析 (x)=sinx, 的不可导点为 x=-1,0,1,而 (0)=0, 3.设 n 为正整数,则 _ A B (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 4.关于级数有如下四个结论: 若 a n 0 且 (n=1,2,3,),则 收敛 若 ,则 发散 若 收敛,则 收敛 设 a n 0(n=1,2,3,)且 存在,又 收敛,则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 对
8、于,取 且 (n=1,2,3,),调和级数 发散,排除 对于 ,因为 ,于是存在 N0,当 nN 时, ,从而 a n 与 a n+1 同号,当它们大于零时,a n ,于是 ,从而正项级数 发散;当它们小于零时,-a n ,于是 ,从而正项级数 发散,正确 对于,取 a n =(-1) n-1 (n=1,2,3,), ,然而 发散,排除 对于,a n 0, 存在,那么 ,若 ,由正项级数的比较审敛法,由调和级数 发散,得正项级数 发散,与已知矛盾,从而 5.设 A 为 mn 矩阵,已知 R(A)=m,且方程组 Ax=0 有非零解,则下列选项不正确的是_(分数:4.00)A.mnB.mn C.A
9、 的列向量线性相关D.Ax= 有无穷多组解解析:解析 R(A)=m,A 为行满秩矩阵又 Ax=0 有非零解, n-R(A)=n-m0,nm这时 A 的列向量线性相关, 6.已知三阶方阵 A 不是可逆矩阵, 是三维列向量,且 ,-,若满足A=,A=,则下述结论正确的是_ AA 不能与对角矩阵相似 BA 能与对角矩阵 相似 CA 能与对角矩阵 相似 DA 能与对角矩阵 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 A 不可逆,A 至少有一个特征值为零, 1 =0 又 A=,A=, A(-)=-(-)0,特征值为-1; A(+)=(+)0,特征值为 1 于是 0,-1,1 是 A 的三个不同的特征
10、值,A 一定可以对角化,选 B7.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,已知 PX=k=pq k-1 (k=1,2,3,),其中 0p1,q=1-p,则PX-Y=_ A B C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X m 与 Y 1 ,Y n 是分别来自总体 X与 Y 的两个相互独立的简单随机样本,统计量 服从 t(n)分布,则 等于_ A1 B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. 则 (分数:4.00)解析:10 ln3解析 10.
11、(分数:4.00)解析: 解析 D 1 =(x,y)|0x1,0y1, D 2 =(x,y)lnyx1,1ye, D=D 1 D 2 =(x,y)|0ye x ,0x1(如下图) 而 可看作半径为 e x 的圆的面积的 ,即为 因而 11.已知级数 (分数:4.00)解析:解析 由12.差分方程 y x+1 +y x =xe x 的通解为 1 (分数:4.00)解析: 解析 先求 y x+1 +y x =0 的通解 Y x =C(-1) x ,(C 为任意常数)(齐通) 再求 y x+1 +y x =xe x 的特解 令 ,代入 y x+1 +y x =xe x ,得 A(x+1)+Be x+
12、1 +(Ax+B)e x =xe x ,即有(Ae+A)x+Ae+Be+B=x, Ae+A=1,Ae+Be=0, 13.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,-2,1,B=A 2 -A+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵,则行列式|B|= 1 (分数:4.00)解析:21 解析 若 A 的特征值为 ,则 B 的特征值为 2 -+1 A 的特征值为 2,-2,1,B 的特征值为 3,7,1,|B|=371=2114.设随机变量 X 的概率密度函数为 (分数:4.00)解析: 解析 得 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 16.假设生产
13、某种产品需要 A,B,C 三种原料,该产品的产量 Q 与三种原料 A,B,C 的用量 x,y,z 之间有如下关系:Q=0.005x 2 yz,已知三种原料的价格分别为 1 元,2 元,3 元,现用 2400 元购买原料,问三种原料各购进多少,可使该产品产量最大? (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 Q=0.005x 2 yz,x+2y+3z=2400 F=0.005x 2 yz+(x+2y+3z-2400), 17.求幂级数 的收敛域及和函数,并计算 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 当|x|1,即-1x1 时幂级数收敛,且为绝对收敛 而当 x=1 时,级数 与级数 均发
14、散,故幂级数的收敛域为(-1,1) 逐项积分,得 逐项积分,得 于是 而当 过点(0,0)作曲线 :y=e -x 的切线 L,设 D 是以曲线 、切线 L 及 x 轴为边界的无界区域(分数:9.99)(1).求切线 L 的方程;(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 如下图所示,没切点为(x 0 ,e -x0 ), (2).求区域 D 的面积;(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 因为切点为(-1,e),故区域 D 的面积为 (3).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(分数:3.33)_正确答案:()解析:解 18.求二重积分: (分数:10.00)_正确答案:()解析:
15、解 如下图,对称区域,偶倍奇零,本题的积分区域关于 y=0 对称,对 y 的函数,偶倍奇零其中 2x 3 y 是 y 的奇函数,x 2 (x 2 +y 2 )是 y 的偶函数,因此, 设矩阵 (分数:11.00)(1).求满足 AX-XA=O 的矩阵 X;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 由题设条件,X 只能为 22 矩阵,设 于是由 AX-XA=O,得 即有 即有 系数矩阵为 所以 其中 k 1 ,k 2 为任意常数 (2).问 AX-XA-A 是否有解,若没有解,说明理由;若有解,请求出全部解(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 由 AX-XA=A, 得 即有 设有二阶矩阵
16、 (分数:11.00)(1).A,B 是否相似,说明理由;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 1 =-1, 2 =3 A 与对角矩阵 相似,B 与对角矩阵 (2).若相似,求正交矩阵 P,使 P -1 AP=B(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 当 =-1 时,由(A+E)x=0, ,得特征向量 当 =3 时,由(A-3E)x=0, 得特征向量 单位化,得 ,得正交矩阵 ,且有 同理可得正交矩阵 ,且有 于是 设 X 与 Y 的联合密度函数为 (分数:11.00)(1).求 Z=Y-X 的密度函数;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 解法一 分布函数法 当 z0 时,f
17、(z,y)的非零区域与y-xz的交集为下图(a)中的阴影部分, 当 x0 时,f(x,y)的非零区域与y-xz的交集为下图 b 中的阴影部分 解法二 密度函数法(如下图) 图 1图 2与 X,Y 的联合密度函数配套: )当 z0 时, )当 z0 时, (2).求数学期望 E(X+Y)(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 设总体 X 的概率密度函数为 (分数:11.01)(1).求 的矩估计量;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 由 由 (2).求 的最大似然估计量;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 似然函数(3).求 DX(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 DX=EX 2 -(EX) 2 , 而
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