1、考研数学三-418 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在点 x=0 处有 f(0)=0，f“(0)=-1，则 _ A2 Be -2 C （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 f(x)=|x 3 -x|sinx 的不可导点的个数为_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设 n 为正整数，则 _ A B （分数：4.00）A.B.C.D.4.关于级数有如下四个结论： 若 a n 0 且 (n=1，2，3，)，则 收敛 若 ，则 发散 若 收敛，则 收敛 设 a n 0(n=1，2，3，)且 存在，又 收
2、敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，已知 R(A)=m，且方程组 Ax=0 有非零解，则下列选项不正确的是_（分数：4.00）A.mnB.mnC.A 的列向量线性相关D.Ax= 有无穷多组解6.已知三阶方阵 A 不是可逆矩阵， 是三维列向量，且 ，-，若满足A=，A=，则下述结论正确的是_ AA 不能与对角矩阵相似 BA 能与对角矩阵 相似 CA 能与对角矩阵 相似 DA 能与对角矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，已知 PX=k=pq k-1 (k=1，2，3，)，其中 0p1，q=1-p，则PX-Y=_ A
3、B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.已知级数 （分数：4.00）12.差分方程 y x+1 +y x =xe x 的通解为 1 （分数：4.00）13.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3
4、 阶单位矩阵，则行列式|B|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.假设生产某种产品需要 A，B，C 三种原料，该产品的产量 Q 与三种原料 A，B，C 的用量 x，y，z 之间有如下关系：Q=0.005x 2 yz，已知三种原料的价格分别为 1 元，2 元，3 元，现用 2400 元购买原料，问三种原料各购进多少，可使该产品产量最大? （分数：10.00）_17.求幂级数 的收敛域及和函数，并计算 （分数：10.00）_过点(0，0)作曲线 ：y=e -x 的切线
5、L，设 D 是以曲线 、切线 L 及 x 轴为边界的无界区域（分数：9.99）(1).求切线 L 的方程；（分数：3.33）_(2).求区域 D 的面积；（分数：3.33）_(3).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：3.33）_18.求二重积分： （分数：10.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=O 的矩阵 X；（分数：5.50）_(2).问 AX-XA-A 是否有解，若没有解，说明理由；若有解，请求出全部解（分数：5.50）_设有二阶矩阵 （分数：11.00）(1).A，B 是否相似，说明理由；（分数：5.50）_(2).若相似，求正交矩阵 P
6、，使 P -1 AP=B（分数：5.50）_设 X 与 Y 的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X 的密度函数；（分数：5.50）_(2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的矩估计量；（分数：3.67）_(2).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_(3).求 DX（分数：3.67）_考研数学三-418 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在点 x=0 处有 f(0)=0，f“(0)=-1，则 _ A2 Be -2 C
7、 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 选 B 本题还可用特例法，取 f(x)=-x 2.函数 f(x)=|x 3 -x|sinx 的不可导点的个数为_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 (x)=sinx， 的不可导点为 x=-1，0，1，而 (0)=0， 3.设 n 为正整数，则 _ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 4.关于级数有如下四个结论： 若 a n 0 且 (n=1，2，3，)，则 收敛 若 ，则 发散 若 收敛，则 收敛 设 a n 0(n=1，2，3，)且 存在，又 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对
8、于，取 且 (n=1，2，3，)，调和级数 发散，排除 对于 ，因为 ，于是存在 N0，当 nN 时， ，从而 a n 与 a n+1 同号，当它们大于零时，a n ，于是 ，从而正项级数 发散；当它们小于零时，-a n ，于是 ，从而正项级数 发散，正确 对于，取 a n =(-1) n-1 (n=1，2，3，)， ，然而 发散，排除 对于，a n 0， 存在，那么 ，若 ，由正项级数的比较审敛法，由调和级数 发散，得正项级数 发散，与已知矛盾，从而 5.设 A 为 mn 矩阵，已知 R(A)=m，且方程组 Ax=0 有非零解，则下列选项不正确的是_（分数：4.00）A.mnB.mn C.A
9、 的列向量线性相关D.Ax= 有无穷多组解解析：解析 R(A)=m，A 为行满秩矩阵又 Ax=0 有非零解， n-R(A)=n-m0，nm这时 A 的列向量线性相关， 6.已知三阶方阵 A 不是可逆矩阵， 是三维列向量，且 ，-，若满足A=，A=，则下述结论正确的是_ AA 不能与对角矩阵相似 BA 能与对角矩阵 相似 CA 能与对角矩阵 相似 DA 能与对角矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A 不可逆，A 至少有一个特征值为零， 1 =0 又 A=，A=， A(-)=-(-)0，特征值为-1； A(+)=(+)0，特征值为 1 于是 0，-1，1 是 A 的三个不同的特征
10、值，A 一定可以对角化，选 B7.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，已知 PX=k=pq k-1 (k=1，2，3，)，其中 0p1，q=1-p，则PX-Y=_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 8.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）解析：10 ln3解析 10.
11、（分数：4.00）解析： 解析 D 1 =(x，y)|0x1，0y1， D 2 =(x，y)lnyx1，1ye， D=D 1 D 2 =(x，y)|0ye x ，0x1(如下图) 而 可看作半径为 e x 的圆的面积的 ，即为 因而 11.已知级数 （分数：4.00）解析：解析 由12.差分方程 y x+1 +y x =xe x 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 先求 y x+1 +y x =0 的通解 Y x =C(-1) x ，(C 为任意常数)(齐通) 再求 y x+1 +y x =xe x 的特解 令 ，代入 y x+1 +y x =xe x ，得 A(x+1)+Be x+
12、1 +(Ax+B)e x =xe x ，即有(Ae+A)x+Ae+Be+B=x， Ae+A=1，Ae+Be=0， 13.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 1 （分数：4.00）解析：21 解析 若 A 的特征值为 ，则 B 的特征值为 2 -+1 A 的特征值为 2，-2，1，B 的特征值为 3，7，1，|B|=371=2114.设随机变量 X 的概率密度函数为 （分数：4.00）解析： 解析 得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.假设生产
13、某种产品需要 A，B，C 三种原料，该产品的产量 Q 与三种原料 A，B，C 的用量 x，y，z 之间有如下关系：Q=0.005x 2 yz，已知三种原料的价格分别为 1 元，2 元，3 元，现用 2400 元购买原料，问三种原料各购进多少，可使该产品产量最大? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 Q=0.005x 2 yz，x+2y+3z=2400 F=0.005x 2 yz+(x+2y+3z-2400)， 17.求幂级数 的收敛域及和函数，并计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1，即-1x1 时幂级数收敛，且为绝对收敛 而当 x=1 时，级数 与级数 均发
14、散，故幂级数的收敛域为(-1，1) 逐项积分，得 逐项积分，得 于是 而当 过点(0，0)作曲线 ：y=e -x 的切线 L，设 D 是以曲线 、切线 L 及 x 轴为边界的无界区域（分数：9.99）(1).求切线 L 的方程；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 如下图所示，没切点为(x 0 ，e -x0 )， (2).求区域 D 的面积；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 因为切点为(-1，e)，故区域 D 的面积为 (3).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 18.求二重积分： （分数：10.00）_正确答案：()解析：
15、解 如下图，对称区域，偶倍奇零，本题的积分区域关于 y=0 对称，对 y 的函数，偶倍奇零其中 2x 3 y 是 y 的奇函数，x 2 (x 2 +y 2 )是 y 的偶函数，因此， 设矩阵 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=O 的矩阵 X；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设条件，X 只能为 22 矩阵，设 于是由 AX-XA=O，得 即有 即有 系数矩阵为 所以 其中 k 1 ，k 2 为任意常数 (2).问 AX-XA-A 是否有解，若没有解，说明理由；若有解，请求出全部解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 AX-XA=A， 得 即有 设有二阶矩阵
16、 （分数：11.00）(1).A，B 是否相似，说明理由；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 1 =-1， 2 =3 A 与对角矩阵 相似，B 与对角矩阵 (2).若相似，求正交矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 =-1 时，由(A+E)x=0， ，得特征向量 当 =3 时，由(A-3E)x=0， 得特征向量 单位化，得 ，得正交矩阵 ，且有 同理可得正交矩阵 ，且有 于是 设 X 与 Y 的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X 的密度函数；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 解法一 分布函数法 当 z0 时，f
17、(z，y)的非零区域与y-xz的交集为下图(a)中的阴影部分， 当 x0 时，f(x，y)的非零区域与y-xz的交集为下图 b 中的阴影部分 解法二 密度函数法(如下图) 图 1图 2与 X，Y 的联合密度函数配套： )当 z0 时， )当 z0 时， (2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的矩估计量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 由 (2).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 似然函数(3).求 DX（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 DX=EX 2 -(EX) 2 ， 而
