1、考研数学三-微积分(一)及答案解析(总分:880.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:80,分数:880.00)1.求下列极限:(分数:11.00)_2.求下列极限(分数:11.00)_3.设 满足 , (分数:11.00)_4.设 a,b,p 为非零常数,求 (分数:11.00)_5.设 f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f(0)=1,求 (分数:11.00)_6.设 ,求 (分数:11.00)_7.求数列极限 ,其中 (分数:11.00)_8.试确定当 n+时, 是 (分数:11.00)_9.当 x0 时, , , (分数:11.00)_10.设 (分数:11.00)_11
2、.设 (分数:11.00)_12.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f(4)=1,求(分数:11.00)_13.设 (分数:11.00)_14.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1,f(0)=3,求数列极限(分数:11.00)_15.设 y=y(x)由(cosy) x=(sinx)y确定,求 dy(分数:11.00)_16.设 f(x)为连续函数,求 (分数:11.00)_17.设 f(x),(x)均有二阶导数,又 u=f(x)+y 2),其中 x,y 满足方程 y+ey=x,求 (分数:11.00)_18. (分数:11.00)_19.求曲线 x2+3xy+y2+1=0 在点
3、 M0(2,-1)处的切线方程与法线方程(分数:11.00)_20.由原点作曲线 y=lnx 的切线,求该切线方程(分数:11.00)_21.设 (分数:11.00)_22.设函数 y=y(x)在(-,+)有二阶导数且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数() 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程;() 求变换后的微分方程满足初始条件 (分数:11.00)_23.求反常积分 (分数:11.00)_24.求积分 ,其中 f(x)=x(x0),(分数:11.00)_25.设 ,求 (分数:11.00)_26.设 (分数:11.00)_27.设 f(x)在0
4、,1连续, ,求 (分数:11.00)_28.设 f(x)在(-,+)连续且 (分数:11.00)_29.设 f(x)在0,2上具有一阶连续导数,且 f(x)0,证明:对于任何正整数 n 有(分数:11.00)_30.过坐标原点作曲线 的切线,该切线与曲线 (分数:11.00)_31.设 (分数:11.00)_32.() 求定积分() 设 f(x)是可导函数, ,g(x)是 f(x)的反函数,且满足 ,求积分 与 (分数:11.00)_33.设 (分数:11.00)_34.设 (分数:11.00)_35.求 (分数:11.00)_36.设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0 且
5、满足方程 f“(x)+cosf(x)=e f(x),证明 f(x)在a,b上恒为零(分数:11.00)_37.设 x(0,1),证明不等式 (分数:11.00)_38.设 a0,证明不等式(分数:11.00)_39.设 f(x)在(-,+)二阶可导, ,又 f“(x)0(x(-,+),求证:f(x)5x-2 ( (分数:11.00)_40.设 a0,证明:当 x0 时,(1-2ax+x 2)e-x1(分数:11.00)_41.试证方程(分数:11.00)_42.设 0a6,g(x)在a,a+b上连续,在(a,a+b)内可导,且 f(a)=b,f(b)=a,f(a+b)=a+b,证明存在一点 (
6、a,a+b)使得 f()+g()f()-|=1(分数:11.00)_43.设 f(x)x4-4x+1,试讨论方程 f(x)=0 有几个根(分数:11.00)_44.设 f“(0)存在, (分数:11.00)_45.试确定当 x0 时, (分数:11.00)_46.设需求函数和总成本函数分别为 P=a-bQ, ,当需求 Q 对价格 P 的弹性 ,收益 R 对产量 Q 的边 (分数:11.00)_47.某商品的需求函数为 (分数:11.00)_48.设某产品总产量 Q(t)的变化率为(分数:11.00)_49.求微分方程(y 2-2x)dy-ydx=0 的通解(分数:11.00)_50.设 f(x
7、)在0,+)连续,在(0,+)有连续导数且(分数:11.00)_51.已知 f(x)可微且满足方程(分数:11.00)_52.y=(c1+c2x+x2)e-2x(其中 c1,c 2为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程是?(分数:11.00)_53.若一曲线 y=y(x)上任一点 M(x,y)处的切线斜率为 ,且过点( (分数:11.00)_54.设 ,其中 g(t)连续,求 (分数:11.00)_55.已知(y 2+ay2sinx)dx+(bxy-2ycosx)dy 是某二元函数 u(x,y)的全微分,则常数 a,b 的值为多少(分数:11.00)_56.设 f(x,y)在(0,0)连续
8、,给定(分数:11.00)_57.设 z=z(x,y)由方程 sin2x+sin2y-z=(x+y+z)所确定的函数, 有连续的二阶导数,且 1,() 求 dz;() 记 (分数:11.00)_58.设 u=u(x,y)由方程组 u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 确定,其中 f,g,h 有连续偏导数且 g zh t-g th z0,求 (分数:11.00)_59.() 作变量替换u=3x+y,=x+y将式子用 z 关于 u, 的二阶偏导数表示出来,其中 z 有二阶连续偏导数() 求满足方程(分数:11.00)_60.设函数 u= 满足 (分数:11.00)_61
9、.求函数 z=x2+12xy+2y2在区域:4x 2+y225 上的最大值(分数:11.00)_62.设某产品的产量 Q 与两种原料的投入量 x,y 的函数关系为 ,该产品的成本函数为 C=4x+3y() 若限定成本预算为 80,计算使产量达到最高的原料投入量 x 和 y;() 若限定产量为 120,计算使成本最低的原料投入量 x 和 y(分数:11.00)_63.设有二重积分其中 D1=(x,y)| |x|1,|y|1,D 2=(x,y)|x 2+y24,D 3=(x,y)| (分数:11.00)_64.设 D 由曲线 xy=2,y=x+1,y=x-1 围成,求二重积分 (分数:11.00)
10、_65.求 (分数:11.00)_66.设 D 由 x 轴,y 轴及直线 x+y= 所围成平面区域,计算 (分数:11.00)_67.求累次积分 (分数:11.00)_68.求累次积分 (分数:11.00)_69.设 f(x,y)为连续函数,二重积分 在极坐标系下的二次积分为 (分数:11.00)_70.求极限 (分数:11.00)_71.求累次积分 (分数:11.00)_72.设 是正项级数, 是它的部分和,求证:若 收敛,则 (分数:11.00)_73.设常数 a0,求证级数 (分数:11.00)_74.设 f(x)在0,1连续,求证级数 (分数:11.00)_75.求下列幂謦数的收敛区间
11、及收敛域:(分数:11.00)_76.设() 求证: (分数:11.00)_77.求级数 (分数:11.00)_78.设 f(x)是连续函数,且 f(0)0, ,其中 Dt=(x,y)x 2+y2t 2,t0。() 利用导数定义(不用变限积分求导公式)计算 F(t);() 证明:对于任意 0,级数 (分数:11.00)_79.设曲线 与直线 在第一象限围成图形的面积为 I(n),其中 n 为自然数() 求证:() 求级数妻 (分数:11.00)_80.求解下列差分方程.() 设 y0=6,求差分方程 2yt+1-yt=5sin (分数:11.00)_考研数学三-微积分(一)答案解析(总分:88
12、0.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:80,分数:880.00)1.求下列极限:(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 () 这是*型极限先作对数函数恒等变形并用等价无穷小因子替换:ln(1+x+x2)+ln(1-x+x2)=ln(1+x2)2-x2)=ln(1+x2+x4)x 2+x4x 2(x0)xsinxx 2(x0)于是 *() 解法 1 这是-型级限,转化为*型级限*作变量替换*后用洛必达法则得*解法 2 用泰勒公式*得*)解析:2.求下列极限(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 () 这是 0型极限,用求指数型极限的一般方法:*而*其中*因此 J=e()
13、 这是 1 型极限.解法 1 用求指数极限的一般方法,并先作变量替换.*因此J=e1+ln2=2e解法 2 用求 1 型极限的方法*)解析:*3.设 满足 , (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 先求出 2,*作变量替换 t=arcsinx,求级限*)解析:4.设 a,b,p 为非零常数,求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 因*不相同,又|x|鼢段函数,所以要分别求左、右极限*因此I=-p)解析:*5.设 f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f(0)=1,求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 这是求*型极限,用洛必达法则及变限积分求导法得原式*其中*)解析
14、:*6.设 ,求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 这是求 n 项和数列的极限若分母均为 n,即*这是 f(x)=2x在0,1上的一个积分和*若对 yn作恒等变形,这是求等比数列的和按公式得*注意*现用适当放大缩小法,把求*转化为求*因为*又 * * *)解析:7.求数列极限 ,其中 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 注意*,*解法 1 这是0 型数列极限,化为*型后再化为求函数极限,然后用洛必达法则:* (求数列极限转化为求函数极限)*解法 2 用泰勒公式:*,令*得*将它代入式更易求得*)解析:8.试确定当 n+时, 是 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解
15、 考察*其中 *若补充定义 f(0)=0,则 f(x)处处连续.*x0 时 F(x)是无穷小.现考察*因此,*是*的 2 阶无穷小)解析:9.当 x0 时, , , (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 分别考察 x0 时它们是 x 的几阶无穷小?* f(x)是 x 的 2 阶无穷小.待定常数 k0 使得下面的极限存在且不为 0:* h(x)是 x 的 4 阶无穷小* g(x)是 x 的 3 阶无穷小因此,顺序是f(x),g(x),h(x)解析:*10.设 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 这实质上是由极限*确定参数 a 与 b首先必须有*于是*因此(a,b)=(2,-3)
16、解析:11.设 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 这实质上是要考察左、右极限*注意*x=0 是 f(x)的跳跃间断点)解析:12.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f(4)=1,求(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 f(x)也以 3 为周期 *f(1)=f(4)=1*)解析:*13.设 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 因可导必连续,首先由 f(x)在点 x=0 连续确定出参数 b:* b=-1再按定义求*)解析:14.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1,f(0)=3,求数列极限(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 *又*其中 *因此
17、 I=e 6)解析:*15.设 y=y(x)由(cosy) x=(sinx)y确定,求 dy(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 1 方程两边取对数得xlncosy=ylnslnx两边取微分得*移项得(lnsinx+xtany)dy=(lncosy-ycotx)dx因此*分析与求解 2 将方程取对数后改写成F(x,y)=0,F(x,y)=xlncosy-ylnsinx代公式得*)解析:16.设 f(x)为连续函数,求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 t 为积分变量,被积函数含参变量 x(在积分过程中为常量)作变量替换把参变量 x 化到积分限.令 u=x2+t,则*)解析:
18、17.设 f(x),(x)均有二阶导数,又 u=f(x)+y 2),其中 x,y 满足方程 y+ey=x,求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 按题意,由方程 y+ey=x 确定 y=y(x),因而 u=f(x)+y 2)是 x 的复合函数由复合函数求导法得*再由方程 y+ey=x 对 x 求导求得 y及 y“:由 y+e yy=1,得 y=*,*将 y,y“分别代入*的表达式得*)解析:18. (分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 分解法*因此*)解析:*19.求曲线 x2+3xy+y2+1=0 在点 M0(2,-1)处的切线方程与法线方程(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 点 M0在曲线上先求 y| x=2将方程两边对 x 求导得2x+3y+3xy+2yy=0令 x=2,y=-1 *于是曲线在点 M0处的切线方程是*法线方程是y=-1+4(x-2) 即 y=4x-9)解析:20.由原点作曲线 y=lnx 的切线,求该切线方程(分数:11.00)_正确答案:(分析与求解 y=lnx 上任意点 x0处的切线方程是*即*令 x=0,y=0,得 lnx0=1,x 0=e因此该切线方程是*)解析:评注 M *(x*,y *)是曲线 y=f(x)外一点,
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