1、考研数学三-微积分(一)及答案解析(总分：880.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：80，分数：880.00)1.求下列极限：（分数：11.00）_2.求下列极限（分数：11.00）_3.设 满足 ， （分数：11.00）_4.设 a，b，p 为非零常数，求 （分数：11.00）_5.设 f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：11.00）_6.设 ，求 （分数：11.00）_7.求数列极限 ，其中 （分数：11.00）_8.试确定当 n+时， 是 （分数：11.00）_9.当 x0 时， ， ， （分数：11.00）_10.设 （分数：11.00）_11
2、.设 （分数：11.00）_12.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f(4)=1，求（分数：11.00）_13.设 （分数：11.00）_14.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1，f(0)=3，求数列极限（分数：11.00）_15.设 y=y(x)由(cosy) x=(sinx)y确定，求 dy（分数：11.00）_16.设 f(x)为连续函数，求 （分数：11.00）_17.设 f(x)，(x)均有二阶导数，又 u=f(x)+y 2)，其中 x，y 满足方程 y+ey=x，求 （分数：11.00）_18. （分数：11.00）_19.求曲线 x2+3xy+y2+1=0 在点
3、 M0(2，-1)处的切线方程与法线方程（分数：11.00）_20.由原点作曲线 y=lnx 的切线，求该切线方程（分数：11.00）_21.设 （分数：11.00）_22.设函数 y=y(x)在(-，+)有二阶导数且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数() 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；() 求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：11.00）_23.求反常积分 （分数：11.00）_24.求积分 ，其中 f(x)=x(x0)，（分数：11.00）_25.设 ，求 （分数：11.00）_26.设 （分数：11.00）_27.设 f(x)在0
4、，1连续， ，求 （分数：11.00）_28.设 f(x)在(-，+)连续且 （分数：11.00）_29.设 f(x)在0，2上具有一阶连续导数，且 f(x)0，证明：对于任何正整数 n 有（分数：11.00）_30.过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 （分数：11.00）_31.设 （分数：11.00）_32.() 求定积分() 设 f(x)是可导函数， ，g(x)是 f(x)的反函数，且满足 ,求积分 与 （分数：11.00）_33.设 （分数：11.00）_34.设 （分数：11.00）_35.求 （分数：11.00）_36.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0 且
5、满足方程 f“(x)+cosf(x)=e f(x)，证明 f(x)在a，b上恒为零（分数：11.00）_37.设 x(0，1)，证明不等式 （分数：11.00）_38.设 a0，证明不等式（分数：11.00）_39.设 f(x)在(-，+)二阶可导， ，又 f“(x)0(x(-，+)，求证：f(x)5x-2 ( （分数：11.00）_40.设 a0，证明：当 x0 时，(1-2ax+x 2)e-x1（分数：11.00）_41.试证方程（分数：11.00）_42.设 0a6，g(x)在a，a+b上连续，在(a，a+b)内可导，且 f(a)=b，f(b)=a，f(a+b)=a+b，证明存在一点 (
6、a，a+b)使得 f()+g()f()-|=1（分数：11.00）_43.设 f(x)x4-4x+1，试讨论方程 f(x)=0 有几个根（分数：11.00）_44.设 f“(0)存在， （分数：11.00）_45.试确定当 x0 时， （分数：11.00）_46.设需求函数和总成本函数分别为 P=a-bQ， ，当需求 Q 对价格 P 的弹性 ，收益 R 对产量 Q 的边 （分数：11.00）_47.某商品的需求函数为 （分数：11.00）_48.设某产品总产量 Q(t)的变化率为（分数：11.00）_49.求微分方程(y 2-2x)dy-ydx=0 的通解（分数：11.00）_50.设 f(x
7、)在0，+)连续，在(0，+)有连续导数且（分数：11.00）_51.已知 f(x)可微且满足方程（分数：11.00）_52.y=(c1+c2x+x2)e-2x(其中 c1，c 2为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程是?（分数：11.00）_53.若一曲线 y=y(x)上任一点 M(x，y)处的切线斜率为 ，且过点( （分数：11.00）_54.设 ，其中 g(t)连续，求 （分数：11.00）_55.已知(y 2+ay2sinx)dx+(bxy-2ycosx)dy 是某二元函数 u(x，y)的全微分，则常数 a，b 的值为多少（分数：11.00）_56.设 f(x，y)在(0，0)连续
8、，给定（分数：11.00）_57.设 z=z(x，y)由方程 sin2x+sin2y-z=(x+y+z)所确定的函数， 有连续的二阶导数，且 1，() 求 dz；() 记 （分数：11.00）_58.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f,g,h 有连续偏导数且 g zh t-g th z0，求 （分数：11.00）_59.() 作变量替换u=3x+y，=x+y将式子用 z 关于 u， 的二阶偏导数表示出来，其中 z 有二阶连续偏导数() 求满足方程（分数：11.00）_60.设函数 u= 满足 （分数：11.00）_61
9、.求函数 z=x2+12xy+2y2在区域：4x 2+y225 上的最大值（分数：11.00）_62.设某产品的产量 Q 与两种原料的投入量 x，y 的函数关系为 ，该产品的成本函数为 C=4x+3y() 若限定成本预算为 80，计算使产量达到最高的原料投入量 x 和 y；() 若限定产量为 120，计算使成本最低的原料投入量 x 和 y（分数：11.00）_63.设有二重积分其中 D1=(x，y)| |x|1，|y|1，D 2=(x，y)|x 2+y24，D 3=(x，y)| （分数：11.00）_64.设 D 由曲线 xy=2,y=x+1，y=x-1 围成，求二重积分 （分数：11.00）
10、_65.求 （分数：11.00）_66.设 D 由 x 轴，y 轴及直线 x+y= 所围成平面区域，计算 （分数：11.00）_67.求累次积分 （分数：11.00）_68.求累次积分 （分数：11.00）_69.设 f(x，y)为连续函数，二重积分 在极坐标系下的二次积分为 （分数：11.00）_70.求极限 （分数：11.00）_71.求累次积分 （分数：11.00）_72.设 是正项级数， 是它的部分和，求证：若 收敛，则 （分数：11.00）_73.设常数 a0，求证级数 （分数：11.00）_74.设 f(x)在0，1连续，求证级数 （分数：11.00）_75.求下列幂謦数的收敛区间
11、及收敛域：（分数：11.00）_76.设() 求证： （分数：11.00）_77.求级数 （分数：11.00）_78.设 f(x)是连续函数，且 f(0)0， ，其中 Dt=(x，y)x 2+y2t 2，t0。() 利用导数定义(不用变限积分求导公式)计算 F(t)；() 证明：对于任意 0，级数 （分数：11.00）_79.设曲线 与直线 在第一象限围成图形的面积为 I(n)，其中 n 为自然数() 求证：() 求级数妻 （分数：11.00）_80.求解下列差分方程.() 设 y0=6，求差分方程 2yt+1-yt=5sin （分数：11.00）_考研数学三-微积分(一)答案解析(总分：88
12、0.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：80，分数：880.00)1.求下列极限：（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 () 这是*型极限先作对数函数恒等变形并用等价无穷小因子替换：ln(1+x+x2)+ln(1-x+x2)=ln(1+x2)2-x2)=ln(1+x2+x4)x 2+x4x 2(x0)xsinxx 2(x0)于是 *() 解法 1 这是-型级限，转化为*型级限*作变量替换*后用洛必达法则得*解法 2 用泰勒公式*得*)解析：2.求下列极限（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 () 这是 0型极限，用求指数型极限的一般方法：*而*其中*因此 J=e()
13、 这是 1 型极限.解法 1 用求指数极限的一般方法，并先作变量替换.*因此J=e1+ln2=2e解法 2 用求 1 型极限的方法*)解析：*3.设 满足 ， （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 先求出 2，*作变量替换 t=arcsinx，求级限*)解析：4.设 a，b，p 为非零常数，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 因*不相同，又|x|鼢段函数，所以要分别求左、右极限*因此I=-p)解析：*5.设 f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，f(0)=1，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这是求*型极限，用洛必达法则及变限积分求导法得原式*其中*)解析
14、：*6.设 ，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这是求 n 项和数列的极限若分母均为 n，即*这是 f(x)=2x在0，1上的一个积分和*若对 yn作恒等变形，这是求等比数列的和按公式得*注意*现用适当放大缩小法，把求*转化为求*因为*又 * * *)解析：7.求数列极限 ，其中 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 注意*，*解法 1 这是0 型数列极限，化为*型后再化为求函数极限，然后用洛必达法则：* (求数列极限转化为求函数极限)*解法 2 用泰勒公式：*，令*得*将它代入式更易求得*)解析：8.试确定当 n+时， 是 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解
15、 考察*其中 *若补充定义 f(0)=0，则 f(x)处处连续.*x0 时 F(x)是无穷小.现考察*因此，*是*的 2 阶无穷小)解析：9.当 x0 时， ， ， （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 分别考察 x0 时它们是 x 的几阶无穷小?* f(x)是 x 的 2 阶无穷小.待定常数 k0 使得下面的极限存在且不为 0：* h(x)是 x 的 4 阶无穷小* g(x)是 x 的 3 阶无穷小因此，顺序是f(x)，g(x)，h(x)解析：*10.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这实质上是由极限*确定参数 a 与 b首先必须有*于是*因此(a，b)=(2，-3)
16、解析：11.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这实质上是要考察左、右极限*注意*x=0 是 f(x)的跳跃间断点)解析：12.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f(4)=1，求（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 f(x)也以 3 为周期 *f(1)=f(4)=1*)解析：*13.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 因可导必连续，首先由 f(x)在点 x=0 连续确定出参数 b：* b=-1再按定义求*)解析：14.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1，f(0)=3，求数列极限（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 *又*其中 *因此
17、 I=e 6)解析：*15.设 y=y(x)由(cosy) x=(sinx)y确定，求 dy（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 1 方程两边取对数得xlncosy=ylnslnx两边取微分得*移项得(lnsinx+xtany)dy=(lncosy-ycotx)dx因此*分析与求解 2 将方程取对数后改写成F(x，y)=0，F(x，y)=xlncosy-ylnsinx代公式得*)解析：16.设 f(x)为连续函数，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 t 为积分变量，被积函数含参变量 x(在积分过程中为常量)作变量替换把参变量 x 化到积分限.令 u=x2+t，则*)解析：
18、17.设 f(x)，(x)均有二阶导数，又 u=f(x)+y 2)，其中 x，y 满足方程 y+ey=x，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 按题意，由方程 y+ey=x 确定 y=y(x)，因而 u=f(x)+y 2)是 x 的复合函数由复合函数求导法得*再由方程 y+ey=x 对 x 求导求得 y及 y“：由 y+e yy=1，得 y=*，*将 y，y“分别代入*的表达式得*)解析：18. （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 分解法*因此*)解析：*19.求曲线 x2+3xy+y2+1=0 在点 M0(2，-1)处的切线方程与法线方程（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 点 M0在曲线上先求 y| x=2将方程两边对 x 求导得2x+3y+3xy+2yy=0令 x=2，y=-1 *于是曲线在点 M0处的切线方程是*法线方程是y=-1+4(x-2) 即 y=4x-9)解析：20.由原点作曲线 y=lnx 的切线，求该切线方程（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 y=lnx 上任意点 x0处的切线方程是*即*令 x=0，y=0，得 lnx0=1，x 0=e因此该切线方程是*)解析：评注 M *(x*，y *)是曲线 y=f(x)外一点，
