1、考研数学三-微积分(七)及答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：56，分数：112.00)1.设 f(x)为(-，+)上定义的周期为 2 的奇函数，且当 x(2，3)时 f(x)=x2-x-1，则当 x-2，0时f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_2.设 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 m、n 为某两正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_4. （分数：2.00）填空项 1:_5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2
2、00）填空项 1:_10.已知 a 与 k 都是常数，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设常数 a0，a1已知 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f“(a)存在，f(a)0则 （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知当 x0 +。时 g(x)= （分数：2
3、00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23. （分数：2.00）填空项 1:_24.设常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 x0 时 f(x)与 x2为等价无穷小， （分数：2.00）填空项 1:_26.设 f(x)为连续函数， 又设 F(x)= tf(x-t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_27.设 存在，且有 f(x)=e-2x+ （分数：2.00）填空项 1:_28.设 （分数：2.00）填空项 1:_29.设 x-1 时 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_30.已知（分数：2.00）填空项 1:_31. （分数：2.00）
4、填空项 1:_32.设 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 所确定，则 y(0)=_（分数：2.00）填空项 1:_33.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_34.设 （分数：2.00）填空项 1:_35.设 f(a)0，f(a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_36.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_37.设 （分数：2.00）填空项 1:_38.设 f(0)存在， 与 为非零常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_39.设 （分数：2.00）填空项 1:_40.设 f(x)在(0，+)内有界且可
5、导，并设 存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_41.设四次曲线 y=ax4+bx3+cx2+dx+f 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点该曲线上点(0，0)与点(3，2)的切线交于点(2，4)则该四次曲线的方程为 y=_（分数：2.00）填空项 1:_42. （分数：2.00）填空项 1:_43.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，f(0)=0，f(0)=a(a0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_44.在区间0，1上 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为 M(n)，则 （分数：2.00）填空项 1:_45.设 f(x)在 x=x0处存在二阶导数 f“(x0)，y
6、f(x 0+x)-f(x 0)，dy=f(x 0)x则 （分数：2.00）填空项 1:_46.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_47.设 y=y(x)是由 y3+xy+x2-2x+1=0 及 y(1)=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_48.设连续函数 y=y(x)是由方程 2y3-2y2+2xy+y-x2=0 所确定，则 y=y(x)的唯一驻点为 x=_，它是 y(x)的极_值点，此极_值为_（分数：2.00）填空项 1:_49.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_50. （分数：2.00）填空项 1:_51. （分数：2.00）
7、填空项 1:_52.设 （分数：2.00）填空项 1:_53. （分数：2.00）填空项 1:_54.设常数 a0，,则 （分数：2.00）填空项 1:_55. （分数：2.00）填空项 1:_56. （分数：2.00）填空项 1:_考研数学三-微积分(七)答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：56，分数：112.00)1.设 f(x)为(-，+)上定义的周期为 2 的奇函数，且当 x(2，3)时 f(x)=x2-x-1，则当 x-2，0时f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 当-2x-1，则 2x+43，由周期为 2，故f
8、x)=f(x+4)=(x+4)2-(x+4)-1=x2+7x+11当-1x0，则 0-x1，2-x+23，由周期为 2 且为奇函数，故f(x)=-f(-x)=-f(-x+2)=-(-x+2)2-(-x+2)-1=-x2+3x-1又因 f(x)为周期 2 的奇函数，在 x=-1，0，1，2 处均有定义，所以 f(0)=0，f(2)=f(0)=0，f(-1)=-f(1)，且 f(-1)=f(1)，从而 f(-1)=f(1)=0于是2.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0，当-x+）解析：解析 g(f(x)= 又由|f(x)|1 的充要条件为 xx|x|1x |x|1=x|-xx+
9、f(x)|1 为空集3.设 m、n 为某两正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 若 n 为某正整数，则连续使用 n 次洛必达法则后，分子成为常数，分母仍为 ex，从而知极限为 0若 n 为某正数但非整数，则使用了n次洛必达法则后，分子为 xk，k=n-n，0k1再做一次洛必达法则，可见极限为 0总之 对于 再由和的极限等于极限的和，有4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方法一 用洛必达法则：方法二 作变量变换，命 u=x-5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由等价无穷小替换，当 x0 时 1-
10、cosx x2，ln(1+x)x，tanxx，于是熟记如下几个常用的等价无穷小非常有用：x0 时 sinxx，1-cosx6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 为书写简单起见，记 f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)，于是分子最高次幂为 2，系数为(a+b+c)；分母最高次幂为 2，系数之和为 1+1+1=3从而知原式= 求“-”型极限一般有两个办法一是通分；二是如本例，分子分母同乘某式以消去分子中的根号，从而化为7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：7）解析：解析 由洛必达法则，8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析
11、 方法一 用洛必达法则，方法二 设法约去使成为 的“”因式9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 此为“1 ”型方法一 而 所以方法二 而 于是10.已知 a 与 k 都是常数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k=2014，a= ）解析：解析 使上述极限存在且不为 0 的充要条件是 2013=k-1，k=2014此时该极限值为11.设常数 a0，a1已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 命 作变量变换，并将 a 的指数函数改换成熟悉的 e 的指数函数，有12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2）解
12、析：解析 若 c=0，则原式左边 ，与等于 4 矛盾，于是 c0，从而可变形如下：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 此为“1 ”型命 ，所以原式16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 所以所求极限为“0”型，也可看成是 型17.设 f“(a)存在，f(a)0则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 此为“-”型，先通分以下有两个方法方法一 用洛必达法则：这里第一
13、个等式之后不能再用洛必达法则，这是因为未设 f“(x)在 x=a 的邻域内存在，而只设 f“(a)存在，所以应该改用凑二阶导数的定义的办法方法二 用佩亚诺余项泰勒公式展开：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ f“(a)(x-a)2+o(x-a)2)代入分子错误做法这里错误的原因是，误认为18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 首先想到取对数，将连乘积化成求和由求和的形式考虑使用积分和式求极限命由积分和式知，所以19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 此为 型先作变形，由于 ，所以所以原式=20.设 （分数：2.00）填空项 1:
14、 （正确答案：e 2）解析：解析 把 改写为指数形式由此得当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，进一步有 因此，当 x0 时因此于是21.已知当 x0 +。时 g(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：k=3，A= ）解析：解析 中的 x 含于被积函数之中，应设法将它变换到积分的限中或(和)积分号外作积分变量变换，命 ，有 ，于是要使上式存在且不为零，取 k=3，从而所以当 x0 +时 g(x) x3k=3，A=22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方法一其中用等价元穷小替换，当 x0 时用 sin4x 替换 x4一般只想到用 x4去
15、替换 sin4x，而今用 sin4x 去替换 x4作变量变换，命 u=sin4x用洛必达法则等价无穷小替换方法二 将 sinx 看成 u，将 sin(sinx)按佩亚诺余项泰勒公式展开至 o(sin3x)，有方法三其中用洛必达法则，用等价无穷小替换读者用洛必达法从则斌头做到底试试看，其简繁程度就一目了然以下做法：23. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 24.设常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 25.设 x0 时 f(x)与 x2为等价无穷小， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：，k=1 ）解析：解析 所以 k
16、1，26.设 f(x)为连续函数， 又设 F(x)= tf(x-t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 ，改写于是，由洛必达法则：27.设 存在，且有 f(x)=e-2x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 ，于是有 f(x)= ，而，所以 A=e -2+Ae-2，解得 28.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：=6，极限值= ）解析：解析 若 0，则显然 ，所以 0，极限为 型由洛必达法则可见仅当 -2=4 时，上述极限存在且不为零于是推知 =6，上述极限等于29.设 x-1 时 f(x)= （分数：2.00）填
17、空项 1:_ （正确答案：，x=0 是它的间断点 ）解析：解析 当 x0 时， ，f(x)=x；当 x=0 时， ；当 x0 时，所以30.已知（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a=， ）解析：解析 所以 f(x)在 x=0 处连续 - =b；f(x)在 x=1 处连续 =a+b解之，a=，b= 一般分段函数讨论其分界点处的连续性，或由连续确定其中参数，都按本题方法处理31. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2 个）解析：解析 应先写出 f(x)的分段表达式：当|x|1 时，f(x)=x；当 x=1 时，f(x)=1；当 x=-1 时，f(x)=-1；当|x|1 时，
18、32.设 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 所确定，则 y(0)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 将方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 中的 y 看成 x 的函数，两边对 x 求导数，有解出 y，当 x=0 时由原方程可得 y=1以此代入 y中，得 y(0)=1(1)对于在一定条件下由方程 F(x，y)=0 确定的隐函数 y=y(x)求导数，与多元函数微分学中类似，有公式33.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 由 以 x=0 代入，有 y=1再将所给方程两边求导，得于是
19、 y=1+csc2 再求导得y“=2csc2 以 x=0，y=1 代入，得34.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： n-1(n-1)!(-2)n-3n)）解析：解析 因为求 x=0 处的导数，所以 f(x)可写成f(x)=ln(1-2x)-ln(1+3x)f(x)=35.设 f(a)0，f(a)存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 f(a)存在，所以 f(x)在 x=a 处连续， ，题给极限为“1 ”型简单一点的(如本题)可以凑成 e 的来源的极限形式又因 ，所以36.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_
20、正确答案：-1）解析：解析 因 ，所以存在 (0)，当 x (0)时，所以 f(x)=ln(ax+cosx-sinx)由于 f(x)在 x=0 处连续，所以37.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a=-2，b=1）解析：解析 f(x)在 x=0 处可导，f(x)在 x=0 处必连续，从而 f(0-)=f(0+)=f(0)于是由 f(0)=b 及f(0-)= f(x)=0+1=1，f(0 +)= f(x)=b，推知 b=1又 f(0)存在，所以 f-(0)=f+(0)由 f-(0)=f+(0)推知 0=1+a+1，所以 a=-2已知 f(x)在某点 x0处可导，讨沦其中的参数，
21、方法如下：如果该点是分段函数的分界点，那么先由连续性推知38.设 f(0)存在， 与 为非零常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(-)f(0)）解析：解析 由 f(0)存在，所以 f(x)在 x=0 处连续，故 f(0)存在而 所以对于( 1)这一步，不能用洛必达法则，这是因为题中仅设 f(0)存在，未设存在 0，在( (0)中f(x)存在即使在 (0)中 f(x)存在，但未设 f(x)在 x=0 处连续，得不出39.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 分段函数分界点处求导数应按定义做因 由等价无穷小替换，所以 40.设 f(x)在(0，+)内
22、有界且可导，并设 存在，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 已知 f(x)存在，记为 A，以下证 A=0反证法，若 A0，由保号性知，存在 X0，当 xX 时，f(x) ，在区间X，x上对 f(x)用拉格朗日中值公式，有f(x)=f(X)+f()(x-X)，Xx由 f()(x-X) (x-X)知，当 x+时，f(x)+与 f(x)在0，+)内有界矛盾若 A0，类似可证亦矛盾故 A=0如果事先未设 f(x)存在，那么不可能直接证明“ f(x)存在并等于 0”例如 f(x)=sinx2，在(0，+)内有界，但 f(x)=2xsinx2， f(x)并不存在所以在推断中，
23、事先假定41.设四次曲线 y=ax4+bx3+cx2+dx+f 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点该曲线上点(0，0)与点(3，2)的切线交于点(2，4)则该四次曲线的方程为 y=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 曲线 y=ax4+bx3+cx2+dx+f 经过点(0，0)，所以f=0 (1)又因为经过点(3，2)，所以y|x=3=81a+27b+9c+3d+f=2 (2)又因为点(3，2)是拐点，所以y“|x=3=(12ax2+6bx+2c)|x=3=108a+18b+2c=0 (3)又因为经过点(0，0)的切线斜率为 =2，所以y|x=0=(4a
24、x3+3bx2+2cx+d)|x=0=d=2 (4)经过点(3，2)的切线斜率为 ，所以yx=3=(4ax3+3bx2+2cx+d)|x=3=108a+27b+6c+d=-2 (5)联立解(1)(5)，得 f=0，d=2，42. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因 h(0)=0，h(0)=0，由佩亚诺余项泰勒公式，有h(x)=h(0)+h(0)x+o(x)=o(x)，其中 代入()中，这是因为当 x0 时， 为无穷小量， 有界因未设 x (0)时 h(x)可导，所以不能用洛必达法则本题也可以不用佩亚诺余项泰勒公式，而改用如下办法，实质是一样的所以()中43.设 f
25、x)在 x=0 处存在二阶导数，f(0)=0，f(0)=a(a0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 而所以所以原题=44.在区间0，1上 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为 M(n)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：解析 f(x)=n(1-x) n-1(1-(n+1)x)，区间(0，1)内的唯一驻点 当 0xx n时 f(x)0，当 xnx1 时 f(x)0所以 f(xn)为极大值，也是最大值M(n)=f(xn)= ，45.设 f(x)在 x=x0处存在二阶导数 f“(x0)，y=f(x 0+x)-f(x 0)，dy=f
26、x 0)x则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方法一其中最后一个等式来自二阶导数的定义方法二 由佩亚诺余项泰勒公式，f(x0+x)=f(x 0)+f(x0)(x)+ f“(x0)(x) 2+o(x) 2)，代入方法一的()中，有46.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y= ）解析：解析 由极限与无穷小的关系有解得 由于 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0)= 所以曲线在点(0，f(0)处的切线方程为 y= (x-0)-1= x-1本题也可由佩亚诺余项泰勒公式，展开 x-sinx=47.设 y=y(x)是由 y
27、3+xy+x2-2x+1=0 及 y(1)=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因 ，由洛必达法则，由 y3+xy+x2-2x+1=0 隐函数求导，3y2y+xy+y+2x-2=0， ()以 x=1，y(1)=0 代入，得 y(1)=0再用洛必达法则由()可得 6y(y)2+3y2y“+y+xy“+y+2=0y“(1)=-2，所以原式=48.设连续函数 y=y(x)是由方程 2y3-2y2+2xy+y-x2=0 所确定，则 y=y(x)的唯一驻点为 x=_，它是 y(x)的极_值点，此极_值为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：依次为 0，
28、小，小，0）解析：解析 由隐函数求导，有6y2y-4yy+2xy+2y+y-2x=0命 y=0，解得 y=x还应将它与原方程联立求解：得唯一解 x=0，此时 y的分母不为 0，解得唯一驻点 x=0为判别此处是否为极值，应用第二判别法(第一判别法为什么不能用?)：49.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2 101(100!)）解析：解析 再求导会越来越繁，采用展开函数成泰勒级数的方法与泰勒级数公式对照：有 f(2n+1)(0)=(2n+1)!(-1)n+1 ，(n=0，1，)以 n=50 代入，f(101)(0)=(101)!(-1)5150. （分数：2.00）填
29、空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先写出|x-|x+1|的分段表达式因此，再在分界点 x=-1 处拼接成连续，从而-1+C1=-1-(-1)+C2，从而 C2=-1+C1，并记 C1为 C，于是如上所填被积函数连续，所以原函数存在先按分段表达式分段积分，再在分界点处拼接成连续如此拼成的函数，在分界点处不但连续，并且必定也是可导的，从而使得原函数例如求51. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 f(x)为分段表达式，所以按定积分的分段积分性质，分段积分：52.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：因为 F(x)= f(t)dt 是变限积分，而 f(t)又是分段函数，所以应对上限 x 分段讨论之设 设 x0，F(x)=于是）解析：53. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 作积分变量变换化简被积表达式，命 -x=t，原式=54.设常数 a0，,则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 方法一 方法二 55. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 命 ex=t，56. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析
