1、考研数学三-微积分(五)及答案解析(总分：520.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：52，分数：520.00)1.设 y=g(x，z)，而 z=z(z，y)是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求（分数：10.00）_2.求连续函数 f(x)，使它满足（分数：10.00）_3. （分数：10.00）_4.设 f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且 （分数：10.00）_5.设平面图形 D 由 x2+y22x 与 x+y2 所确定，求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_6.设 f(x)在a，b
2、上连续，在(a，b)内可导，又 ba0，求证：存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_7.设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)0，f(x)0求证：函数 满足（分数：10.00）_8.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1， （分数：10.00）_9.求 0 微分方程 y“+y=cosx 的通解（分数：10.00）_10.求下列积分：（分数：10.00）_11.求微分方程 y“+4y+(4+a2)y=1+x 的通解，其中常数 a0（分数：10.00）_12.设 （分数：10.00）_13.设函数 f(x)在(-，+)上可导，且 y=f
3、(x)的图形如下，则 f(x)的导函数 y=f(x)的图形为（分数：10.00）A.B.C.D.14.设 u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程z=x+y(z)确定，其中 f(x，z)有连续偏导数，(z)有连续导数且 1-y(z)0，求 du（分数：10.00）_15.设 F(x，y)有二阶连续偏导数，满足 ，且在极坐标系下可表成 f(x，y)=g(r)，其中 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.已知 （分数：10.00）A.B.C.D.18.将积分 （分数：10.00）_19.求函数 f(x)=x+2cosx 在 （分数：10.00）_20.设函数 f(x)在0，1
4、上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，0f(x)1(0x1)求证：（分数：10.00）_21.求下列不定积分：（分数：10.00）_22.设 ，而中间变量 u 满足关系式 ，其中 u(x，y)和 f(u)均为可微函数，如果 （分数：10.00）_23.设非负函数 f(x)在区间0，1上连续且单调非增，常数 a 与 b 满足 0ab1求证： （分数：10.00）_24.下列结论中正确的是（分数：10.00）A.B.C.D.25.设二元函数 y=f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f(x，y)=_（分数：10.00）_26.反常积
5、分 （分数：10.00）_27.下列级数中发散的是(A) (B) (C) (D) （分数：10.00）A.B.C.D.28.判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的，要求出反常积分的值（分数：10.00）_29.求下列函数的 n 阶导数：() y=ln(6x 2+7x-3)，(n1)；() y=sin 2(2x)，(n1)（分数：10.00）_30.求 （分数：10.00）_31.已知 y*=exsinx+excosx+e2x是二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=ce2x的一个特解，试确定常数a，b，c 的值，并求此方程的通解（分数：10.00）_32. （分数：10.00）_33.计算定
6、积分 （分数：10.00）_34.函数 z=(1+ey)cosx-yey(A) 无极值点(B) 只有无穷多个极大值点(C) 只有无穷多个极小值点(D) 有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点（分数：10.00）A.B.C.D.35. （分数：10.00）_36.设 a0 为常数，f(x)在(-，+)连续，考察一阶线性常系数方程y+ay=f(x) (x(-，+) (*)() 求通解的表达式；() 设 a0，又 f(x)有界且 （分数：10.00）_37.讨论下列级数的敛散性：（分数：10.00）_38.已知常数 a0，6c0，使得（分数：10.00）_39.已知函数 f(x)当 x0 时满足
7、f“(x)+3f(x)2=xlnx，且 f(1)=0，则(A) f(1)是函数 f(x)的极大值(B) f(1)是函数 f(x)的极小值(C) (1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点(D) f(1)不是函数 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：10.00）A.B.C.D.40.确定常 a 与 b 的值，使得（分数：10.00）_41.交换累次积分的积分次序： （分数：10.00）_42.设 ，其中 f 有连续的二阶偏导数，求 dz 和 （分数：10.00）_判断积分值的大小：（分数：10.00）(1).设 （分数：5.00）A.B.C.D.(2).设 （分数：
8、5.00）A.B.C.D.43.幂级数 （分数：10.00）_44.设 y=y(x)是由 （分数：10.00）_45.设 f(x)连续，且当 x0 时 （分数：10.00）_46.微分方程 y“+2y+y=6e-x 的特解为 y*=_（分数：10.00）_47.求微分方程 y“+y=sinax 的通解，其中 a 为常数（分数：10.00）_48.设函数 f(x)在a，b上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0求证：() 使得 f()=f()；() （分数：10.00）_49.设函数 f(x)与 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
9、() 当 f(x0)0 时，F(x)在点 x=x0处必可导；() 当 f(x0)=0 时，F(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 f(x0)g(x0)=0（分数：10.00）_50. （分数：10.00）_51.设 u=f(x，y，z)，u=sinx，(x，e y，z 2)=0，其中 f， 可微，求 （分数：10.00）_考研数学三-微积分(五)答案解析(总分：520.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：52，分数：520.00)1.设 y=g(x，z)，而 z=z(z，y)是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求（分数：10.00）_正
10、确答案：(分析与求解一 这里有三个变量(x，y，z)，两个方程式，确定两个因变量按题意，x 为自变量，y，z 为因变量由方程组确定 y=y(x)，z=z(x)两边分别对 x 求导得解这个二元一次方程组得分析与求解二 将方程组两边求全微分得f1(dx-dz)+f2(ydx+xdy)=0，dy-g1dx-g2dz=0由上面第二式解出 dy 代入第一式消去 dy 得f1(dx-dz)+f2ydx+x(g1dx+g2dz)=0，即 (f 1-xf2g2)dz=(f1+yf2+xf2g1)dx解得 )解析：2.求连续函数 f(x)，使它满足（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 先作换元 xt=u
11、，把中的定积分转变为变限定积分：于是，原方程变为即 注意在与中令 x=0 均自然成立，不必对 f(x)附加初始条件从而，可认为和对 x(-，+)成立将方程两边求导数，得 f(x)=xf(x)+f(x)-2x(1+x)e2x即式等价于 f(x)=2(1+x)e 2x积分得 )解析：3. （分数：10.00）_正确答案：(分析一 因故分析二 故即分析三 同样令故又因 f(x)为偶函数，于是 xf(x)是奇函数，即得)解析：4.设 f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且 （分数：10.00）_正确答案：(证明 由题设知又 f“(x)0 在(a，b)内成立，故 f(x)在(a，b)内
12、单调增加，即当 x(a，0)时 f(x)f(0)=1，当x(0，b)时 f(x)f(0)=1 分别成立令 g(x)=f(x)-x，由上面所得结果可知)解析：解析 令 g(x)=f(x)-x，只需证明函数 g(x)在点 x=0 处取得它在区间(a，b)内的最小值 g(0)=0 即可5.设平面图形 D 由 x2+y22x 与 x+y2 所确定，求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(解法一 平面图形 ，在平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中，满足 xx+dx 的一层形状为圆筒形薄片，其厚度为 dx，半径为 x，高度为 -(2-x)，如图 13-3
13、(a)，故旋转体的体积为解法二 平面图形 D=|(x，y)|0y1，2-yx1+ ，在平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中，满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其厚度为 dy，外半径为 ，内半径为 2-y，如图 13-3(b)，故旋转体的体积为)解析：6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0，求证：存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(证明 令 g(x)=lnx，对函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上用柯西中值定理可得，存在(a，b)，使得又由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)，代入 式即得
14、存在 ，(a，b)，使得)解析：解析 把要证的结论改写成 ，并分别把两端看成对适当函数应用拉格朗日中值定理与柯西中值定理的结果7.设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)0，f(x)0求证：函数 满足（分数：10.00）_正确答案：(证明 由 f(x)0 知 f(x)在0，1上单调减少，故 x0，1)有 f(x)f(0)0，再由当 x0，1)时 F(x)=f(x)0 可知函数 F(x)是单调增加的，又由 F“(x)=f(x)0 可知曲线 y=F(x)在区间0，1上是凸弧，如图 10-1由凸弧的几何特性知 曲线 y=F(x)在线段 OE 的上方，即 AC=F(x)AB在相似三角形 ODE 和 O
15、Ab 中有 = ，即而 ，亦即 AB=xF(1)综合得又由定积分的几何意义知由凸弧的几何特性及 F(x)单调增加可得)解析：8.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1， （分数：10.00）_正确答案：(证明 令 F(x)=f(x)+kx，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(x)=f(x)+k，F(0)=1， ，F(1)=1+k，即 由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在 使 F(c)=F(0)，从而 F(x)在区间0，c上满足罗尔定理的条件，于是，存在 (0，C) )解析：解析 这是讨论导函数在某点取定值的问题，可化归导
16、函数零点的存在性问题这启示我们考察函数 F(x)=f(x)+kx 是否在区间0，1或它的某一子区间，上满足罗尔定理的全部条件注意 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=1，F(1)=1+k， (1+k)，从而 即 F(0)是 和 F(1)的一个中间值，由 F(x)的连续性和有界闭区间上连续函数的性质知 使 F(c)=F(0)，由此可见只需在闭区间0，c上对 F(x)应用罗尔定理即可得出要证明的结论9.求 0 微分方程 y“+y=cosx 的通解（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 因为特征方程 2+1=0 的特征根 =i，所以方程对应的齐次方程的通解为y=C1cos
17、x+C2sinx注意 cosx=eax(acosx+bsinx)，其中 =0，=1，a=1，b=0，i 是特征根，于是方程有特解y*=x(Acosx+Bsinx)，计算可得y*=Acosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)，y*“=-2Asinx+2Bcosx+x(-Acosx-Bsinx)=-2Asinx+2Bcosx-y*即 y *“+y*=-2Asinx+2Bcosx代入方程得 -2Asinx+2Bcosx=cosx于是因此，原方程的通解为 )解析：10.求下列积分：（分数：10.00）_正确答案：(解 () 令 ，代入即得()解析：11.求微分方程 y“+4y+(4+a2)y
18、=1+x 的通解，其中常数 a0（分数：10.00）_正确答案：(解 对应齐次方程的特征方程是 2+4+(4+a 2)=0，当 a0 时，有二共轭复特征根 1=-2+ai， 2=-2-ai；当 a=0 时，有相等二特征根 1= 2=-2无论 a 是否等于零，非齐次方程的一个特解均可设为 y*=Ax+B，代入方程可确定 ，B= 故方程的通解分别是：当 a0 时， ；当 a=0 时， )解析：12.设 （分数：10.00）_正确答案：(解 根据定义，计算极限利用当 y0 时的等价无穷小关系 ln(1+y)y 和 ey-1y 以及洛必达法则可得由于上述极限存在，故 f(x)在 x=0 处可导，且)解
19、析：13.设函数 f(x)在(-，+)上可导，且 y=f(x)的图形如下，则 f(x)的导函数 y=f(x)的图形为（分数：10.00）A.B. C.D.解析：解析 由函数 y=f(x)的图形知 f(x)0，且曲线 y=f*x)由单调减少变为单调增加而后再变为单调减少，从而，它的导函数的取值应由负变正，并再由正变负，这表明 f(x)的导函数 y=f(x)的图形不可能是(A)与(C)注意，若 f(x)的导函数 y=f(x)的图形是(D)，则由此图形可知存在常数 x00 和 k0，使得当 xx 0时成立 f(x)-k设 xx 0，在区间x 0，x上对函数 f(x)用拉格朗日中值定理可知，存在 (x
20、 0，x)，使得f(x)-f(x0)=f()(x-x 0)-k(x-x 0)，于是，当 xx 0时就有f(x)f(x 0)-k(x-x0)=f(x0)+kx0-kx，由此可见，只要14.设 u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程z=x+y(z)确定，其中 f(x，z)有连续偏导数，(z)有连续导数且 1-y(z)0，求 du（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 下求 dz由 z=z+y(z)得代入得 )解析：15.设 F(x，y)有二阶连续偏导数，满足 ，且在极坐标系下可表成 f(x，y)=g(r)，其中 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 )解析：16.设 （分数：10.
21、00）_正确答案：(解 又因为所以 )解析：17.已知 （分数：10.00）A.B.C. D.解析：解析 利用当 x0 时的等价无穷小关系：tanxx， 和 ln(1+x)x，不难得出当 x0 时18.将积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 显然 D 是圆域，如图 17-3被积函数只与 有关，引入极坐标x=rcos，y=rsin，则边界的极坐标方程是 r=cos由于 D 关于 x 轴对称， 对 y 为偶函数，其中 D1=(x，y)|x 2+y2x，y0现在来确定 D1的积分限因 D1的极坐标表示为于是为了化成定积分，作分部积分，得)解析：19.求函数 f(x)=x+2cosx 在
22、 （分数：10.00）_正确答案：(解 因 f(x)=1-2sinx，令 f(x)=0 可得 ，即在 内 f(x)有唯一驻点 x=又在端点 x=0 和 处，f(0)=2， 比较可得故 f(x)在 上的最大值 上的最小值)解析：20.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，0f(x)1(0x1)求证：（分数：10.00）_正确答案：(证明一 引入辅助函数 ，则 F(x)在0，1可导，且 F(0)=0，由 f(0)=0，f(x)0 知 f(x)f(0)=0(0x1)，于是 f(x)与函数 同号注意 G(0)=0，且G(x)=2f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)1
23、-f(x)0(0x1)由此可知 G(x)在0，1单调增加，从而 G(x)G(0)=0 在(0，1成立这表明 f(x)0 在(0，1)成立至此已经证明了 F(x)在0，1单调增加，故 F(1)F(0)=0，即原不等式成立证明二 令 ，由柯西中值定理即得存在 (0，1)使得再令 ，于是再用柯西中值定理可知存在 (0，)使得)解析：解析 为利用函数的单调性来证明本题，可引入辅助函数 于是本题结论与 F(1)0 等价注意 F(0)=0，因此只需证明 F(x)在0，1单调增加分析二 由题设知当 x(0，1时 f(x)0，从而若引入辅助函数 ，则 F(0)=G(0)=0，从而进一步有这提示用柯西中值定理证
24、明本题21.求下列不定积分：（分数：10.00）_正确答案：(解 ()()且令 t=1 得令 t=-1 得令 t=-2 得故()解析：22.设 ，而中间变量 u 满足关系式 ，其中 u(x，y)和 f(u)均为可微函数，如果 （分数：10.00）_正确答案：(因为 ，所以由所以 )解析：23.设非负函数 f(x)在区间0，1上连续且单调非增，常数 a 与 b 满足 0ab1求证： （分数：10.00）_正确答案：(证法一 证法二 把结论中的积分上限 b 改为变量 x，并把积分变量 x 改为 t，从而转化为证明：当 0ax1时不等式成立注意构造辅助函数 时有由此可见函数 F(x)在区间a，1上单
25、调非减，从而 F(x)F(a)0证法三 证法四 )解析：24.下列结论中正确的是（分数：10.00）A.B.C. D.解析：解析 用反证法容易证明其中的(C)是正确的若 收敛，由于因此应选(C)分析二 举反例，否定(A)，(B)与(D)关于(A)：关于(B)：是由 中每两项添加括号而得，前者收敛得不到后者收敛如 发散，但 即(1-1)+(1-1)+(1-1)+是收敛的，因此(B)也是错的关于(D)：如 ，则 收敛，但 发散，即(D)也是错的因此应选(C)25.设二元函数 y=f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f(x，y)=_（分数：
26、10.00）_正确答案：(将 f“yy的两边对 y 积分，得 fy(x，y)=2xy+(x)由 fy(x，0)=sinx 可知 (x)=sinx，从而 fy(x，y)=2xy+sinx再将上式两边对 y 积分，有 f(x，y)=xy 2+ysinx+(x)由 f(x，1)=x+sinx+(x)=0，知 (x)=-x-sinx故 f(x，y)=xy 2+ysinx-x-sinx)解析：26.反常积分 （分数：10.00）_正确答案：(先求不定积分从而)解析：27.下列级数中发散的是(A) (B) (C) (D) （分数：10.00）A.B.C. D.解析：解析 关于(C)：考察它添加括号后的级数
27、分析二 故应选(C)28.判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的，要求出反常积分的值（分数：10.00）_正确答案：(解 () 是无穷区间上的反常积分，首先求原函数，故即()中积分收敛() 是无穷区间上的反常积分，首先求原函数，故即()中积分收敛() 因当 x0 时被积函数趋于无穷大，从而是无界函数的反常积分，其中 x=0 称为瑕点，首先求原函数，故即()中积分收敛() 是以 x=0 为瑕点的无界函数的反常积分，因瑕点 x=0 在积分区间之内， 收敛的充分必要条件是两个反常积分 都收敛现讨论 的收敛性因为故 )解析：29.求下列函数的 n 阶导数：() y=ln(6x 2+7x-3)，(n1)；() y=sin 2(2x)，(n1)（分数：10.00）_正确答案：(解 () 因为 6x 2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以y=ln(6x2+7x-3)=ln(3x-1)(2x+3)=ln|3x-1|+ln|2x+3|故其中 0
