1、考研数学三-微积分(三)及答案解析(总分：192.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.定积分 (其中 n 为正整数)=（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)二阶可导，且存在极小值点和拐点，则 f(x)的图形可以是（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列反常积分（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在(-，+)内可导，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.若一条二次曲线把(-，0)内的曲线段 ex和(1，+)内的曲线段 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)，g(x)在 x
2、=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，又设 ， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 则下面四个命题 f(x)在-1，1上存在原函数 g(x)在-1，1上存在原函数 存在定积分 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设将级数 中的负项改为零，其它项保留，所成的级数记为 ；将级数 中的正项改为零，其它项保留，所成的级数记为 ，则下列说法正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.10.设函数 f(x)具有连续导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：32.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设
3、 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15.设 f(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_16.差分方程 yt+1-2y=(3t-4)2t的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_18.交换积分顺序 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：120.00)19.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数，又 （分数：10.00）_20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：10.00）_21.设函数 f(u)
4、有连续的一阶导数，f)0)=1，且函数 满足： （分数：10.00）_22.设 f(x)在1，3上连续，在(1，3)内可导，试证：存在两点 ，(1，3)，使得 = （分数：10.00）_23.计算二重积分 ，其中 （分数：10.00）_24.求 ，其中区域 （分数：10.00）_25.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1，计算 （分数：10.00）_26.() 将累次积分 化成定积分，其中 a0 为常数；() 求 （分数：10.00）_27.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_28.设 f(x)在0，a有连续的一阶导数，在(0，a)二阶可导且 f“(x)
5、0(x(0，a)，又 f(0)=0，求证：（分数：10.00）_29.将函数 （分数：10.00）_30.判断下列级数的敛散性，并指出收敛时是条件收敛还是绝对收敛：（分数：10.00）_考研数学三-微积分(三)答案解析(总分：192.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.定积分 (其中 n 为正整数)=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *2.设 f(x)二阶可导，且存在极小值点和拐点，则 f(x)的图形可以是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于 f(x)二阶可导，且具有极小值，故存在一点 x0，使 f(x0)=0，f“(x 0
6、)0，满足这一条件的有(A)、(D)，故排除(B)、(C)又 f(x)的图形有拐点，故应存在一点 x1，使得 f“(x1)=0，且在 x1的左右二阶导数异号，可见(A)不具备这样的点，而(D)中的 x1具有该性质(如右图)，故选(D)*3.下列反常积分（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于*故收敛由于*，故发散由于*，故发散由于*故收敛综上分析，可知应选(D)4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *故选(B)5.设 f(x)在(-，+)内可导，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由拉格朗日中值定理，有*当 x时，于是*由于*则有*故选(A)6.若
7、一条二次曲线把(-，0)内的曲线段 ex和(1，+)内的曲线段 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 设所求二次曲线为 y=ax2+bx+c(0x1)，则依题设有*由 f(x)的连续性，在 x=0 点有 e0=c*c=1在 x=1 点有 a+b+c=1*a+b=0由 f(x)一阶可导，且 f+(0)=b，f -(0)=e0=I，故 b=1，从而还有 a=-1于是 y=-x2+x+1所以选项(C)正确经验算可知对点 x=1，选项(C)也正确7.设 f(x)，g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，又设 ， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *由于*又*，
8、其中 在 0 与 x 之间，当 x0 时，0，所以*故 F(x)是 G(x)的等价无穷小，选(B)8.设 则下面四个命题 f(x)在-1，1上存在原函数 g(x)在-1，1上存在原函数 存在定积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于 f(x)在-1，1上不连续，从而不存在原函数，故不正确由于 g(x)在-1，1上连续，故存在原函数，所以正确由于*都存在，故正确由于*不存在，所以 g(x)在 x=0 处不可导，即 g(0)不存在，故不正确综上所述，、正确，故选(B)9.设将级数 中的负项改为零，其它项保留，所成的级数记为 ；将级数 中的正项改为零，其它项保留，所成的级数记为 ，
9、则下列说法正确的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *10.设函数 f(x)具有连续导数，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 求出 f(x)带皮亚诺余项的麦克劳林公式解本题由极限与无穷小的关系得*其中*代入得*因此，f(0)=-1，f(0)=2，应选(C)分析二 利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求解本题把*代入题设的极限，可得*从而 f(0)+1=0，*，即 f(0)=-1，f(0)=2故应选(C)分析三 利用极限的运算法则，导数的定义与洛必达法则来求解本题由题设可知*从而*又*故应选(C)二、填空题(总题数：8，分数：32.00)11. （分数：4.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *而*所以原式*12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 化为定积分求极限，则*13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4e）解析：分析 *14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *15.设 f(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析 *16.差分方程 yt+1-2y=(3t-4)2t的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设差分方程的通解为 yt=c2t+(At2+Bt)2t，其中 A，B 为待定
11、常数，C 为任意常数，于是yt+1=C2t+1=(At2+2At+A+Bt+B)2t+1，代入方程可得*由此可得*即所求的通解为*17.设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *如右图所示，在直角坐标系 Oxy 中*故*18.交换积分顺序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *且 D=D1+D2，则*其中积分区域 D 如图所示由于 D 关于直线 y=x 对称，故交换积分次序即得*三、解答题(总题数：12，分数：120.00)19.设 f(x)在 x=0 邻域有连续的导数，又 （分数：10.0
12、0）_正确答案：(分析与证明一 先求 F(0)*再求*及*因此，F(x)在 x=0 连续分析与证明二 先证 F(x)在 x=0 连续*如同证法一 *于是 F(0)=2f(0)，F(x)在 x=0 连续*)解析：20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 () 由条件知，*又在 x=0 空心邻域 f(x+1)+3sin2x0，现利用当 x0 时的等价无穷小因子替换ln(1+f(x+1)+3sin2x)f(x+1)+3sin 2x，*()由 f“(1)存在*f(x)在 x=1 某邻域可导*或用泰勒公式*() 由*及极限的不等式性质*0，当
13、0|x| 时*即 f(x+1)0=f(1)*x=1 是 f(x)的极大值点*)解析：21.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f)0)=1，且函数 满足： （分数：10.00）_正确答案：(解 由于*依题设有*令*，则式化为*于是*由 f(0)=1 可知 C=0因此*从而*)解析：22.设 f(x)在1，3上连续，在(1，3)内可导，试证：存在两点 ，(1，3)，使得 = （分数：10.00）_正确答案：(证明 取 g(x)=x2，则由题设知 f(x)与 g(x)都在1，3上连续，在(1，3)内可导，且 g(x)=2x0 在 x(1，3)成立，从而由柯西定理知：存在 (1，3)使得*取 h(x)
14、=x4，则由题设知 f(x)与 h(x)都在1，3上连续，在(1，3)内可导，且 h(x)=4x30 在 x(1，3)成立，从而由柯西定理知：存在 (1，3)使得*由此可得*)解析：23.计算二重积分 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：(解 积分区域 D 的图形如右图所示*)解析：24.求 ，其中区域 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 这里 0x+y，且被积函数|cos(x+y)|=*于是，用*将 D 分成 D1，D 2两个区域，见右图用分块积分法得*)解析：25.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1，计算 （分数：10.00）_解析：26.() 将
15、累次积分 化成定积分，其中 a0 为常数；() 求 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 () I(a)是二重积分的一个累次积分，令*其中 D=(x，y)|0x2a，*，它是半圆域，如图，设 x=raos，y=rsin 换为极坐标系，则*于是*() 注意当 a0 时 ln(1+a2)a 2，由二重积分中值定理知，*，使得*在此利用了当 a0 +时 2+ 20，从而*)解析：27.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_正确答案：(解 令 u=x-t 作换元，则 t：0x*u：x0，且 t=x-u，dt=-du，代入即得*从而原方程可改写为*因 f(x)连续，2x-x 3可导，
16、故上式中各项都可导将上式两端对 x 求导数，就有*(*)在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=2，又因(*)式右端各项都可导，从而 f(x)可导将(*)式两端对 x 求导可得f(x)=-6x+2f(x)综上可知 f(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解*用积分因子 e-2x同乘方程两端得 (e -2xy)=-6xe-2x积分得*于是方程的通解是*利用初值 y(0)=2 可确定常数*故所求的函数*)解析：28.设 f(x)在0，a有连续的一阶导数，在(0，a)二阶可导且 f“(x)0(x(0，a)，又 f(0)=0，求证：（分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 引进辅助函数*只须证明
17、*考察*特别有 F(a)0)解析：29.将函数 （分数：10.00）_正确答案：(解 注意*且*，于是，逐项积分可得*由于所得的展开式不仅在开区间*成立，而且还在两个端点*处收敛，故所得的展开式在闭区间*上成立)解析：30.判断下列级数的敛散性，并指出收敛时是条件收敛还是绝对收敛：（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 () *由于 2*-11，取常数 P 满足不等式 -1p1*其中*因*收敛，由比较判别法知，*收敛，因是正项级数，故绝对收敛() 由*(其中*)*非绝对收敛原级数是交错级数，易知*为考察*的单调性，令*则*(当 x 充分大时)*当 x 充分大时*当 a 充分大时单调减少由于改变有限项不改变级数的敛散性，由莱布尼兹判别法知原级数收敛，因此是条件收敛)解析：
