1、考研数学三-微积分(八)及答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：56，分数：112.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_2. （分数：2.00）填空项 1:_3. （分数：2.00）填空项 1:_4. （分数：2.00）填空项 1:_5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.设常数 a0，积分 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(lnx)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.I=
2、 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y=x2，y=x+2 围成的图形绕 y 轴旋转一周生成的旋转体体积=_（分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f(x)= ，则定积分 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f(x)在0，上存在连续的二阶导数，且 （分数：2.00）填空项 1:_20.设当|x|1 时， (x+1)f(x)dx=arcsinx+C则 （分数：2.00）填空项 1:_21.
3、 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 f(u)为连续函数，且 tf(2x-t)dt= ln(1+x2)，f(1)=1则 （分数：2.00）填空项 1:_23.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_24.设当 x-2 时 f(x)连续，且满足（分数：2.00）填空项 1:_25.设 f(x)=x(当 0x)，且对一切 x，f(x)=f(x-)+sinx则 （分数：2.00）填空项 1:_26.设曲线 L1:y=1-x2与正 x 轴、正 y 轴所围成的区域被曲线 L2:y=ax2分为面积相等的两部分，则常数a=_（分数：2.00）填空项 1:_27.过原点与曲线 C:y=x2+1 相切的
4、两条切线与 C 所围成的图形绕 y 轴旋转生成的旋转体体积 V=_（分数：2.00）填空项 1:_28.设 0x1 时 f(x)= xt2dt，已知常数 p0 且 （分数：2.00）填空项 1:_29.设 G(x)=e-x2 G(x)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_30.设 f(x)在区间(-，+)上连续且满足f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_31. （分数：2.00）填空项 1:_32. （分数：2.00）填空项 1:_33. （分数：2.00）填空项 1:_34.设 G(x)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_35. （分数：2.00）填空项 1:_36. （分数
5、：2.00）填空项 1:_37.设 p 为正常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_38.设商品的需求函数为 Q=100-5P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于 1，则商品价格的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_39.设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 q= （分数：2.00）填空项 1:_40.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数 R=PQ设当价格为 P0且对应产量为 Q0时，收益对产量的边际 =a0，收益对价格的边际 （分数：2.00）填空项 1:_41.设某种商品出售的数量 Q 与当时的单价 P 的关系为 （分数：2.00）
6、填空项 1:_42.设某种商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为该商品的价格，且 R(1)=1则 R(P)=_（分数：2.00）填空项 1:_43.设某产品的需求函数 Q=Q(P)，它对价格 P 的弹性为 0.2，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元（分数：2.00）填空项 1:_44.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量与价格如果该商品需求弹性等于 1，则商品的价格是 1（分数：2.00）填空项 1:_45.设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量已知收益为价格的减函
7、数(即收益随价格的减少而增加)，则价格的变化区间为_（分数：2.00）填空项 1:_46.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200x+ （分数：2.00）填空项 1:_47.已知某产品的总成本函数为 C=400+2x+ x2，需求函数 P= （分数：2.00）填空项 1:_48.设某商品从时刻 0 到时刻 t 时的销售量为 x(t)=kt，t0，T，k0欲在 T 时将数量为 A 的该商品销售完，则在时间区间0，T上的平均剩余量为_（分数：2.00）填空项 1:_49.某企业生产某产品在单位时间内分摊到该产品的固定成本为 40(元)又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 C
8、(x)=0.5x+2(元/件)则总成本函数为_；设该产品销售价为 20(元/件)，则产品可售完，则总利润函数为_（分数：2.00）填空项 1:_50.函数 z=arcsin(x2+y2)- （分数：2.00）填空项 1:_51.设 f(x，y)= ，则当 x0 时 =_，当 y0 （分数：2.00）填空项 1:_52.设 f(x，v，w)有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_53.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_54.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_55.设、f(x,y)=ln|x+y|-sin(xy)，则 （分数
9、：2.00）填空项 1:_56.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且 y=y(x)是由方程 f(2x，y-x)=1 所确定的隐函数，则y“=_（分数：2.00）填空项 1:_考研数学三-微积分(八)答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：56，分数：112.00)1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 展开(x+2|x|) 2=x2+2x|x|+4x2，并注意到奇偶性，再命 x=sint,原式= sin2tcos2tdt= sin2t(1-sin2t)dt= sin2tdt- sin4tdt= 请随时注意：利用奇偶性化简对称区间
10、上定积分的计算；利用华里士公式计算积分 sinnxdx 与2. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：xarctan - +arctan ）解析：解析 命 =t，有 x=t2，dx=2tdt，于是遇到 而一时无法处理时，先命 =t 作了变换再说；遇到如3. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：|3cosx+4sinx|+C ）解析：解析 将分子 cosx-sinx 拆成两部分，一为分母的导数，另一与分母相同，其中常数 a 与 b 待定，如下：cosx-sinx=a(-3sinx+4cosx)+6(3cosx+4sinx)=(4a+3b)cosx+(-3a+4b)sinx比较两
11、边，于是得4a+3b=1，-3a+4b=-1，求得 ，从而4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：tanx- x+ ）解析：解析 5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 华里士公式应熟记：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 再命 tanx=t，有 dx= ，(1)若采用万能代换：命 tan =t，则有 ，带来复杂的运算“万能代换”并不一定“万能”(2)本题若不经(*)这一步的变形而直接命 tanx=t，则由上、下限：当 x=0 对应于 t=0；当 x= 亦对应于t=0成为这当然是错的(因7.设常数 a0，积分 （分数：2.
12、00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 命 x=asint， ，则 =acost，dx=acostdt，原式 以下有两个方法方法一方法二 (1)若本题为定积分，求有一个非常快的办法作积分变量变换，命 ，有 ，dx= ，则(2)本题一开始作变量变换 x=asint 时，限制8.设 f(lnx)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-e -xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+C）解析：解析 方法一 在积分 f(x)dx 中命 x=lnt 将 f(x)化成 f(1nt)，然后用条件方法二 命 lnx=t，x=e t，f(t)=f(1nx)= =e-tln(1+et)
13、，f(x)dx= e-xln(1+ex)dx=- ln(1+ex)de-x=-e-xln(1+ex)- e-xdln(1+ex)=-e-x1n(1+ex)-9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(e x+ ）解析：解析 10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 这是一个反常积分，可以按定积分那样作变量变换命 =t，x-1 +时 t+；x=1时 t=0 ，另法 由 作变量变换，命 t=tanu，有 dt=sec2udu，t=0 时 u=0，t+时 u 11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：b= ）解析：解析 同理 由题设极限存在，充要
14、条件是 cosb=3cosb，即 cosb=0，b= n(n=1，2，)有人从()误认为 a0，于是由()，12.I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：当 x1 时 I= -x；当 1x2 时 I=x2-3x+ ；当x2 时，I=x- ）解析：解析 应划分 x 的范围将|u-x|的绝对值号打开当 x1 时， ；当 1x2 时，当 x2 时，13.已知 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2cosx-4xsinx-6cosx+C）解析：解析 已知 是 f(x)的一个原函数，即 如果据此再去计算出 f(x)代入 x3f(x)dx，再去做积分
15、，太麻烦了由分部积分公式，可自动消除 x3f(x)dx 中的导数 f(x)14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是反常积分，可以象定积分那样作积分变量变换处理为消除根号，命 x-1=sect，(x-1) 2-1=sec2t-1=tan2t当 x=3 时，sect=2，t= ；当 x+时，t从而15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 x=1 是被积函数的瑕点(奇点)，应将积分分成两段，再去掉绝对值号：以上的 实际上应是 实际上应是 再分别作积分变量变换，第 1 个直接套公式，第 2 个命x- = sect，于是有16.曲线 y=x2
16、，y=x+2 围成的图形绕 y 轴旋转一周生成的旋转体体积=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由图可见，实际只要求如图阴影部分绕 y 轴旋转所成的体积即可求出交点坐标为(-1，1)与(2，4)由旋转体体积公式，所求体积前一积分 ，后一积分 =(y-2)2于是17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 作积分变量变换 =t，有 x=t2，dx=2tdt，18.设 f(x)= ，则定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 ，则将此式两边在区间0，2上积分，得所以(1-)A= ，若题为求 f(x)，则 f(x)=
17、19.设 f(x)在0，上存在连续的二阶导数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 由分部积分20.设当|x|1 时， (x+1)f(x)dx=arcsinx+C则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 (x+1)f(x)dx=arcsinx+C，有(x+1)f(x)= 从而 ，于是21. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 显然不是硬算，设法通过变量变换化成类似的积分又，本题表面上看似乎是一个反常积分，实际上，由于 ，所以不是反常积分命 x= -t 作积分变量变换，有22.设 f(u)为连续函数，且 tf(2x
18、-t)dt= ln(1+x2)，f(1)=1则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 作积分变量变换，命 2x-t=u，原给等式化为两边对 x 求导，得命 x=1 代入得 ，所以 上、下限都是变量时的求导定理如下：“设 f(x)连续， 2(x)与 1(x)均可导，则由23.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：=0 且 =，而 可以任意）解析：解析 由部份分式24.设当 x-2 时 f(x)连续，且满足（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 两边直接对 x 求导会带来复杂的运算命 ，以化简原式有 F(x)=f(x)，原式成为两边积
19、分，得由 F(x)= f(t)dt+ 有 F(0)= ，代入上式得 =1- +C，所以 C=0从而这里开方前取“+”的原因是 F(0)= 0于是技巧之点有二：不直接对原题设的两边对 x 求导；不直接命 F(x)= f(t)dt 而是命 F(x)= f(t)dt+25.设 f(x)=x(当 0x)，且对一切 x，f(x)=f(x-)+sinx则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： 2-2）解析：解析 方法一方法二 写出 f(x)的分段表达式：26.设曲线 L1:y=1-x2与正 x 轴、正 y 轴所围成的区域被曲线 L2:y=ax2分为面积相等的两部分，则常数a=_（分数：2.00）
20、填空项 1:_ （正确答案：a=3）解析：解析 求曲线 y=1-x2与曲线 y=ax2在第一象限中的交点，首先，显然应该 a0其中，由解得在第一象限中交点坐标 由曲线 y=1-x2与 y=ax2介于 的面积而曲线 y=1-x2与两坐标轴正向所围的面积按题意，S=2S 1，于是27.过原点与曲线 C:y=x2+1 相切的两条切线与 C 所围成的图形绕 y 轴旋转生成的旋转体体积 V=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，于是切线斜率为 2x0，切线方程为 y=y0=2x0(x-x0)以 x=0 时 y=0代入，又因点(x 0，y 0)在曲
21、线 C 上，有 y0= +1解得切点(1，2)切线方程为 y=2x求 V 有两个方法方法一 两旋转体体积相减：方法二 套筒法28.设 0x1 时 f(x)= xt2dt，已知常数 p0 且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 作积分变量变换，命 =u，从而 ，于是从而上式极限存在且不为零的充要条件是 此时极限值为29.设 G(x)=e-x2 G(x)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 其中前一项由洛必达法则后一项，所以原式30.设 f(x)在区间(-，+)上连续且满足f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析
22、：解析 命 x-t=u 作积分变量变换，得所以 f(x)= +C1x+C2又由原式及(*)知道，f(0)=0，f(0)=1，所 C1=1，C 2=0，从而 f(x)=31. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 应该先求出 f(x)= 的表达式一般来说，它是分段的当 x0 时， ，从而 f(x)=x；当 x=0 时，f(x)= ；当 x0 时，所以32. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先考虑不定积分：移项，有注意到因此在不知道反常积分是否收敛的情况下，可以先做不定积分，然后套上上、下限(按极限处理)即可不过请注意，在收敛的情况下，但 33
23、. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 将(1- )k展开是不可取的，太复杂作积分变量变换，命 1- =t 以化简被积表达式，于是 x=0 时 t=1；x=1 时 t=0，x=(1-t) 2，dx=2(t-1)dt34.设 G(x)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 G(x)是由变限积分表示，一时又积分不出来，现在又要计算 ，看起来有一定难度其实，想到分部积分公式：可将被积函数中的 u 变为 u，v变为 v，使得原来带积分号的 u 变成 u，成为不带积分号，同时也使得带导数号的 v变成 v，成为不带导数号于是由分部积分公式，有此题如
24、果直接做成就麻烦了，因为35. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 用分部积分方括号里的第一项，方括号里的第二项，用变量变换 =t，x=t 2，dx=2tdt，于是(1)由于都是发散的，所以不能将积分 拆成如上两个之差(2)实际上，做反常积分的分部积分时，当36. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由积分中值定理x2e-x2dx= 2e-2 (n+1-n)= 2e-2 ，nn+1，而所以37.设 p 为正常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用积分和式求某种 n 项和的极限设数列u n的 un可以写成：其
25、中 f(x)为 0x1 上的连续函数，则有，或由此，有38.设商品的需求函数为 Q=100-5P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于 1，则商品价格的取值范围是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：10p20）解析：解析 商品需求弹性 由条件 1，得39.设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 q= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：产量为 时，利润最大为 ）解析：解析 利润函数L=pq-C=(d-eq)q-(aq2+bq-c)=(d-b)q-(e+a)q2-c=(d-b)-2(e+a)q命 得驻点 由 =-2(e+a)0，故当 时
26、L 取极大因为驻点唯一，所以此极大值点为最大值点，40.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数 R=PQ设当价格为 P0且对应产量为 Q0时，收益对产量的边际 =a0，收益对价格的边际 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 R=QP，有而需求对价格的弹性以 P=P0,Q=Q0及相应的 代入，得其中 Q(P0)=Q0，Q(P 0)= 由第 2 式，第 3 式及第 4 式消去 Q(P0)及 P0，得 再由第 1，2，5 式及已得的 Q0得41.设某种商品出售的数量 Q 与当时的单价 P 的关系为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 销售金额命
27、 ，得唯一驻点所以 P=P0时 R 为极大，且是最大，R max=42.设某种商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为该商品的价格，且 R(1)=1则 R(P)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 收益弹性 ，由题意，它应等于 1+P3，从而即两边积分，得lnR=lnP+ P3+C由于 R(1)=1，代入有 0=0+ +C，所以 C= 代入化简即得R=43.设某产品的需求函数 Q=Q(P)，它对价格 P 的弹性为 0.2，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：8000(
28、元)）解析：解析 由题意，需求对价格的弹性从而 Q(P)= 收益函数为 R=QP，价格每增加 1 元，产品收益增加值就是 R 对 P 的边际 以 Q=10000 代入，使得44.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量与价格如果该商品需求弹性等于 1，则商品的价格是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：40）解析：解析 需求弹性45.设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量已知收益为价格的减函数(即收益随价格的减少而增加)，则价格的变化区间为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(10，20)）解析：解析
29、收益 R=PQ=(100-5P)P=-5P2+100P46.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C=25000+200x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1000(件)）解析：解析 平均成本命 y=0 得 x1=1000，x 2=-1000(舍去)47.已知某产品的总成本函数为 C=400+2x+ x2，需求函数 P= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：16）解析：解析 收益 R=Px= ，利润命 ，得 x=16当 0x16 时 0，当 x16 时 0，所以 x=16 时 L 为极大值即最大值命 ， +48.设某商品从时刻 0 到时刻 t 时的销售量为 x(t)=kt
30、，t0，T，k0欲在 T 时将数量为 A 的该商品销售完，则在时间区间0，T上的平均剩余量为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 销售量 x(t)=kt，t0，T，则在时刻 t，剩余量为y(t)=A-x(t)=A-kt，到 T 时销售完，即 y(T)=0，所以 于是 时间区间0，T上的平均剩余量为关于平均值的公式，由于该量的意义不同，有不同的公式例如设 f(x)为成本函数，即生产 x 件产品的总成本为 f(x)，则平均一件产品的成本为 又如 y(x)为 x 时(x(a，b)的温度，则在 0 到 24 小时内的平均温度为49.某企业生产某产品在单位时间内分摊到该产品的固
31、定成本为 40(元)又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 C(x)=0.5x+2(元/件)则总成本函数为_；设该产品销售价为 20(元/件)，则产品可售完，则总利润函数为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：C(x)=40+0.25x 2+2x(元/件)；L(x)=-0.25x 2+18x-40(元)）解析：解析 C(x)=40+| C(x)dx=40+50.函数 z=arcsin(x2+y2)- （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：D=(x，y)|x 2+y21， ）解析：解析 二元函数 z=f(x，y)的定义域 D 应满足：故 D=(x，y)|x 2+y21，x
32、y 2，yx=(x，y)|x 2+y21，51.设 f(x，y)= ，则当 x0 时 =_，当 y0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 所以当 x0 时， ，当 x0 时， 由于 f(x，y)f(y，x)，故当 y0 时52.设 f(x，v，w)有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：xf 3+x2yf“32+x2yzf“33）解析：解析 53.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将两个方程分别对 x 求导数，得将 x=1，y(1)=1，z(1)=0 代入，即得由此可解
33、出 y(1)= ，z(1)= 故 y(1)-z(1)=54.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将 连续两次分别对 x 和 y 求积分即可求得 z(x，y)由 ,有 =xy+ y2+C1(x)，进一步有又 f(x，0)= C1(x)dx+C2(0)=x，两边对 x 求导得，C1(x)=1，于是d(x，y)= x2y+ xy2+x+C2(y)，再由 f(0，y)=C 2(y)=y2，从而得f(x，y)= x2y+ xy2+x+y2要注意 (x+y)dy=xy+55.设、f(x,y)=ln|x+y|-sin(xy)，则 （分数：2.00）填空项
34、1:_ （正确答案： ）解析：解析 按一、二阶偏导数的定义直接计算可得，从而求多元函数的偏导数本质上是求一元函数的导数，例如：56.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且 y=y(x)是由方程 f(2x，y-x)=1 所确定的隐函数，则y“=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将隐函数方程 f(2x，y-x)=1 两边对 x 求导数可得2fu(2x，y-x)+(y-1)f v(2x，y-x)=0将上式两边再对 x 求导数，并利用 f“uv=f“vu就有0=22f“uu(2x，y-x)+(y-1)f“ uv(2x，y-x)+y“fv(2x，y-x)+(y-1)2f“ vu(2x，y-x)+(y-1)f“ uv(2x，y-x)=4f“uu(2x，y-x)+4(y-1)f“ uv(2x，y-x)+(y-1) 2f“vv(2x，y-x)+y“fv(2x，y-x)解出 y“即知 y“=
