1、考研数学三-微积分(九)及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：58，分数：116.00)1.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且方程 确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_2.设 z=z(x，y)是由方程 3xy+2x-4y-z=ez确定的隐函数，且 z(1，1)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_3.设 z=z(x，y)是由方程 x+y+z= （分数：2.00）填空项 1:_4.设函数 z=3axy-x3-y3，则当 a 为_时，点(a，a)为 z 的极大值点，当 a 为_时，点(a，a)为 z的极小值点（分数：2.
2、00）填空项 1:_5.设函数 z=x4+y4-x2-2xy-y2，则 z 的驻点为_，极小值点为_（分数：2.00）填空项 1:_6.函数 f(x，y)=x 2+y2在区域 D=(x，y)|x 2+y2+8x-6y200 上的最小值与最大值分别是_与_（分数：2.00）填空项 1:_7.某公司有商业用房 10000 平方米，拟分隔为面积为 x 平方米的店面出租若每个店面月租金 R(元)与其面积 x(平方米)满足函数关系 R=100 （分数：2.00）填空项 1:_8.交换累次积分的次序可得 （分数：2.00）填空项 1:_9.交换累次积分的积分次序可得 （分数：2.00）填空项 1:_10.
3、将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算（分数：2.00）填空项 1:_11.f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=|xy|- （分数：2.00）填空项 1:_12.设积分区域 D 由曲线 y=lnx 以及直线 x=2，y=0 围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(u)是连续函数，平面区域 D=(x，y)|x0，y0，1x 2+y24，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 D 表示全平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_15.设积分区域 D 是由直线 y=0，y=x 与曲线 围成的平面图形，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.
4、设 f(x，y)连续，且 f(0，0)0，又 I(R)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 x=rcos，y=rsin，将二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 D=(x，y)|-1x1，0y2，则二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_20.设积分区域 D=(x，y)|1x 2+y2e 2)，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_21.设积分区域 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_23.设区域 D=(x，y)|x
5、 2+y22x，则二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_24.设 a 和 b 是两个常数，积分区域 D=(x，y)|x|+|y|1，则 （分数：2.00）填空项 1:_25.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)dx=A，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 D 是由直线 y=0，y=1-x 以及曲线 y=e-x在第一象限围成的无界区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_27.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_28.若级数 （分数：2.00）填空项 1:_29.在级数（分数：2.00）填空项 1:_30.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_31
6、.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_32.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_33.已知幂级数 在 x=2 处发散，在 x=-1 处收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_34.设幂级数 anxn的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_35.把函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_36.函数 f(x)=ln(3-2x-x2)的麦克劳林展开式为_（分数：2.00）填空项 1:_37.设 f(x)=xarctanx- （分数：2.00）填空项 1:_38.已知幂级数 anxn的收敛半径为 R0(0)，且 b 为非零常数，则幂级数 （分数：2.00）
7、填空项 1:_39.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_40.交错级数 （分数：2.00）填空项 1:_41.已知 y=y(x)在任意 x0 处的增量 y= （分数：2.00）填空项 1:_42.设微分方程 x2y+2xy=1 满足条件 y(1)=2 的特解是 y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_43.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_（分数：2.00）填空项 1:_44.设 y=y(x)是微分方程 =xdy 满足初值 y(1)=0 的特解，则 （分数：2.00）填空项 1:_45.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_46.已知连续函数 f(x)满足 f(
8、t)dt=x+sinx+ （分数：2.00）填空项 1:_47.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=t2+ （分数：2.00）填空项 1:_48.设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件：f(x)=g(x)，g(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=x+1，则 F(x)的表达式是_（分数：2.00）填空项 1:_49.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-4x，且由曲线 y=f(x)与直线 x=1 以及 x 轴可围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项
9、1:_50.设 y“-y=x2的解 y=(x)当 x0 时是较 x2高阶的无穷小量，则 (x)=_（分数：2.00）填空项 1:_51.设 y=y(x)是二阶常系数线性微分方程 y“+2my+n2y=0 满足 y(0)=a 与 y(0)=b 的特解，其中常数mn0，ab，则 （分数：2.00）填空项 1:_52.微分方程 y“-2y+2y=ex的通解 y=_（分数：2.00）填空项 1:_53.y“+4y=cos2x 的通解为 y=_（分数：2.00）填空项 1:_54.已知 y1=cos2x- xcos2x，y 2=sin2x- （分数：2.00）填空项 1:_55.方程 y“+y-2y=(
10、6x+2)ex满足 y(0)=3，y(0)=0 的特解 y*=_（分数：2.00）填空项 1:_56.差分方程 yt+1-4yt=204t满足 y0=3 的特解为_（分数：2.00）填空项 1:_57.差分方程 yt+1 +5yt-3t2+t=0 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_58.某公司每年投入研究开发新品的费用总额在比上一年增加 30%的基础上再追加 4 百万元若以 Wt表示第 t 年的研发新品费用总额(单位：百万元)，则 Wt满足的差分方程是_（分数：2.00）填空项 1:_考研数学三-微积分(九)答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：58，
11、分数：116.00)1.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且方程 确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：z）解析：解析 利用一阶全微分形式不变性，可得由此可解出2.设 z=z(x，y)是由方程 3xy+2x-4y-z=ez确定的隐函数，且 z(1，1)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用一阶全微分形式不变性，将方程两边求全微分，可得3(xdy+ydx)+2dx-4dy-dz=ezdz由此即知于是继续求二阶混合偏导数 ，有在上式中令 x=1，y=1，并利用 z(1，1)=0 与 即得3.设 z=z(x，y)是
12、由方程 x+y+z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将方程两端求一阶全微分，由一阶全微分形式不变性得dx+dy+dz=e-x2y2z2d(xyz)=e-x2y2z2(yzdx+xzdy+xydz)，由此可得(1-xye-x2y2z2)dz=(yze-x2y2z2-1)dx+(xze-x2y2z2-1)dy，从而也可以把 dz 写成如下形式：4.设函数 z=3axy-x3-y3，则当 a 为_时，点(a，a)为 z 的极大值点，当 a 为_时，点(a，a)为 z的极小值点（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正数；负数）解析：解析 由 知(a，a)为驻点，
13、且 ，知当 a0 时，0，且 ，知(a，a)为极大值点当 a0 时，0 且5.设函数 z=x4+y4-x2-2xy-y2，则 z 的驻点为_，极小值点为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：，(1，1)，(-1，-1)；(1，1)与(-1，-1)）解析：解析 令6.函数 f(x，y)=x 2+y2在区域 D=(x，y)|x 2+y2+8x-6y200 上的最小值与最大值分别是_与_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0；400）解析：解析 首先求 f(x，y)在区域 D 内的驻点或至少有一个偏导数不存在的点处的函数值由于 f 在D 内可导，因而不存在偏导数不存在的点令 =2
14、x=0 与 =2y=0，可得 f 在 D 内有且仅有一个驻点(0，0)，且 f(0，0)=0其次求 f(x，y)在区域 D 的边界 x2+y2+8x-6y=200 上的最大值与最小值，这是求函数 f(x，y)=x 2+y2在条件x2+y2+8x-6y-200=0 之下的最值问题，用拉格朗日乘数法，引入拉格朗日函数 F(x，y，)=x2+y2+ 2+y2+8x-6y-200)，求F(x，y，)的驻点，令由于当 =0 时由，分别得到 x=0，y=0 不可能满足条件，因而 0由，消去 即得把 代入方程可得7.某公司有商业用房 10000 平方米，拟分隔为面积为 x 平方米的店面出租若每个店面月租金
15、R(元)与其面积 x(平方米)满足函数关系 R=100 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：100）解析：解析 用拉格朗日乘数法求解引入拉格朗日函数求 L 的驻点，令由，两式消去 可得 R= ，代入式有8.交换累次积分的次序可得 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题设知对应的二重积分 I= f(x，y)d 的积分区域 D=D1+D2，且D1=(x，y)|0x1，0yx 2，D2=(x，y)|1x3，0y (3-x)，画出积分区域 D 如图由此可见在区域 D 中最高点的纵坐标为 1，最低点的纵坐标为 0，左边界的方程是，右边界的方程是 x=3-2y从而积分
16、区域 D 又可表成D=(x，y)|0y1， x3-2y故交换积分与次序得9.交换累次积分的积分次序可得 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x，y)dx ）解析：解析 记 ，于是积分区域 D 的 X型表示为 D=(x，y)|0x1， y1+ 为写出 D 的 Y型表示，可用直线 y=1 把 D 分割成上、下两个部分区域 D1与 D2，如图在 D1中最低点的纵坐标为 y=1，最高点的纵坐标为 y=2，左边界的方程是 x=0，右边界的方程是 y=1+ ，即 D1=(x，y)|1y2，0x ，在 D2中最低点的纵坐标为 y=0，最高点的纵坐标为 y=1，左边界的方程仍为x=0，而右边界的
17、方程是即D2=(x，y)|0y1，0x1- 从而二重积 可化为累次积分 f(x，y)dy 或 f(x，y)dx设 x=a 以是积分区域 D 中最左点的横坐标，x=b 是 D 中最右点的横坐标，y= 1(x)是 D 的下边界方程，y= 2(x)是 D 的上边界方程，即 D 的不等式表示为 D=(x，y)|cxb， 1(x)y 2(x)时设 y=c 是积分区域 D 中最低点的纵坐标，y=d 是 D 中最点的纵坐标，x= 1(y)是 D 的左边界方程，x= 2(y)是D 的右边界方程，即 D 的不等式表示为 D=(x，y)|cyd， 1(y)x 2(y)时10.将直角坐标中的累次积分转换成极坐标系下
18、的累次积分并计算（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，可得积分区域于是：11.f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=|xy|- （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 A= f(x，y)d，从而 f(x，y)=|xy|-A 代入即得A= f(x，y)d= (|xy|-A)d= |xy|d-A d其中 d=D 的面积=设 D1是 D 在第一象限的部分区域，即 D1=(x，y)|x0，y0，x 2+y21，利用|xy|分别关于 x，关于 y 是偶函数，故从而 A= -A，即 A= 故 f(x，y)=|xy
19、|-12.设积分区域 D 由曲线 y=lnx 以及直线 x=2，y=0 围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2）解析：解析 由题设知积分区域 D=(x，y)|1x2，0ylnx，从而13.设 f(u)是连续函数，平面区域 D=(x，y)|x0，y0，1x 2+y24，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中 D=(r，)| 0 ，1r2，=r，d=rdrd，故14.设 D 表示全平面，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题设知于是，令 D1=(x，
20、y)|0x1，0y-x 21=(x，y)|0x1，x 2yx 2+1，则15.设积分区域 D 是由直线 y=0，y=x 与曲线 围成的平面图形，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系，在极坐标系(r，)中积分区域 D=(r，)|0 ，4cosr9cos，从而16.设 f(x，y)连续，且 f(0，0)0，又 I(R)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 因 f(x，y)连续，积分区域 DR=(x，y)|x 2+y2R 2是闭区域，从而存在 f(x，y)在 DR上的最小值 m(R)与最大值 M(R
21、)使得m(R)f(x，y)M(R)，(x，y)D R，于是令 ，则有rm(R) f(x，y)rM(R)，(x，y)D R按二重积分的性质即得注意从而令 R0 可得 ，按夹逼定理就有17.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：I 2，I 1，I 3）解析：解析 积分区域 D1是中心在坐标原点，两边分别与 x 轴、y 轴平行的边长为 2R 的正方形，D 2是中心在坐标原点且半径为 R 的圆域，D 3是中心在坐标原点且半径为 的圆域，如图，由于三个二重积分中的被积函数同为正值连续函数 ，所以它们积分值的大小由积分区域的包含关系决定，即从小到大的次序为 I2，I 1，I 318.设 x=r
22、cos，y=rsin，将二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由原累次积分的积分限可知 D=(r，)| ，0r2acos)如图所示，其中 r=2acos 的直角坐标方程为 x2+y2=2ax故I=若化为先对 x 后对 y 的累次积分有19.设 D=(x，y)|-1x1，0y2，则二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是带有绝对值的二重积分，可通过分割积分区域的办法去掉绝对值符号如图，将区域 D 分成 D1和 D2两部分，其中D1=(x，y)|-1x1，0yx 2，D2=(x，y)|-1x1，x 2y2，(x，y)D 1
23、时，(x，y)D 2时， 所以在计算中利用了积分区域 D1与 D2关于 y 轴的对称性以及被积函数 与20.设积分区域 D=(x，y)|1x 2+y2e 2)，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 I= x2ln(x2+y2)d，J= y2ln(x2+y2)d，由于积分区域 D=(x，y)|1x 2+y2e 2关于直线 y=x 对称，故21.设积分区域 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于积分区域 D 分别关于 x 轴，y 轴对称，而被积函数 f(x，y)= 分别是自变量 x 与y 的偶函数若记 D1是 D 在第一象限
24、的部分，即 D1=(x，y)|x0，y0， 1=(x，y)|0x1，0y(1- )2，则又因积分区域 D1关于直线 y=x 对称，从而又有于是在计算二重积分时，要注意利用被积函数与积分区域的特点来简化计算：(1)若区域 D 关于 y 轴对称，则其中 D1=Dx0(2)若区域 D 关于 x 轴对称，则其中 D2=Dy0(3)若区域 D 关于直线 y=x 对称，则除此之外，在计算二重积分时还要注意利用二重积分的几何意义：22.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(fx)(a-x)dx ）解析：解析 被积函数仅是 x 的函数，
25、交换积分次序即可化为定积分由二次积分的积分限可知 D=(x，y)|0ya，0xy=(x，y)|0xa，xya，故23.设区域 D=(x，y)|x 2+y22x，则二重积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：+4(1-sin2-cos2) ）解析：解析 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，被积函数，f(x，y)关于 y 是偶函数，从而可以利用对称性化为在区域 D1=Dy0上的积分的二倍计算，即其中故 I=24.设 a 和 b 是两个常数，积分区域 D=(x，y)|x|+|y|1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b）解析：解析 令 f(x，y)= ，因积分区
26、域 D 关于直线 y=x 对称(如图)，从而其中|D|表示积分区域 D 的面积，由于 D 是边长为 的正方形区域(如图)，因此其面积|D|=2故所求二重积分25.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)dx=A，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 ，则积分区域 D1=(x，y)|0x1，xy1，F(x，y)=f(x)f(y)将 I 中的 x与 y 对换即得其中积分区域 D2=(x，y)|0y1，yx1不难发现积分区域 D1与 D2关于直线 y=x 对称，如图由于积分区域 D1与 D1关于直线 y=x 对称，被积函数 F(x，y)=f(x)f(y
27、)关于自变量 x 与 y 对称，即 F(x，y)=F(y，x)，从而26.设 D 是由直线 y=0，y=1-x 以及曲线 y=e-x在第一象限围成的无界区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 注意 D=D1+D2，且 D1=(x，y)|0x1，1-xye -x)，D 2=(x，y)|1x+，0ye -x，如图，于是从而计算无穷积分 可得故若 D 是无界区域，则常用有界区域DR=Dx 2+y2R 2或=D|x|R，|y|R|上的二重积分 f(x，y)d 或 f(x，y)d 当 R的极限来计算 D 上的二重积分27.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
28、案：ae；0ae）解析：解析 因为 ，所以 ae 时级数收敛，0ae 时级数发散p 级数28.若级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 当 n=2，3，4，时 ，从而 对任何常数 p 成立，于是由此可见 绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛又因当 n时 ，于是当 时 ，这时 必发散当 时故当 时级数 收敛，当 时 发散综合即得级数 绝对收敛的常数 p 的取值范围是29.在级数（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 分别计算四个级数的前 n 项部分和可得，对级数有从而 ，即级数收敛对级数有故 ，这表明级数也收敛对级数有可见级数也收敛对级数有但 S
29、2n+1=S2n+30.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 设 t=x+1，由于幂级数 an(x+1)n在 x=3 处条件收敛，所以幂级数 antn在 t=4 处条件收敛，所以幂级数 antn的收敛半径为 R=4如若不然，R4 时，则存在 t04，使幂级数 antn在 t=t0处收敛根据阿贝尔定理知 antn在|t|t 0内绝对收敛从而推出 antn在 t=4 处绝对收敛，这与 antn在 t=4 处条件收敛矛盾若 R4 时，由阿贝尔定理级数 antn在|t|R 时发散与幂级数31.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4，-4，4)）解析：
30、解析 把幂级数中 xn项的系数 记为 an，其中 n=1，2，3，由于故幂级数的收敛半径 R=4当 x=4 时幂级数成为正项级数 由于 ，按正项级数比较判别法的极限形式及调和级数 发散可知正项级数 发散，即幂级数 在点 x=4 处发散当 x=-4 时幂级数成为交错级数 ，其一般项可分解为由于交错级数 与正项级数 都收敛，所以幂级数32.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(-5，3）解析：解析 令 x+1=t，显然幂级数 的收敛半径当 x+1=-4 时幂级数变为数项级数由于 且级数 发散，可见幂级数当 x+1=-4 即 x=-5 时发散当 x+1=4 即 x=3 时幂级数变为
31、数项级数由于级数 条件收敛，而 且级数 收敛故级数 绝对收敛，综合又得幂级数当 x=3 时收敛于是幂级数33.已知幂级数 在 x=2 处发散，在 x=-1 处收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 令 ，由题设知幂级数 antn在 处发散，在 处收敛，故其收敛半径 R 同时满足 ，即 进而可得幂级数 antn的收敛域为 ，令 t=x-1 代入即得幂级数an(x-1)n的收敛域为 x-1 即 34.设幂级数 anxn的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(-2，4)）解析：解析 考察两幂级数的关系令 t=x-1，则由于逐项
32、求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径，且 anxn的收敛半径为 3，所以 (antn)的收敛半径为 3，从而 t2 (antn)= antn+1的收敛半径为 3收敛区间为(-3，3)回到原级数nan(x-1)n+1，它的收敛区间为-3x-13，即(-2，4)请看下面的解法：所以 的收敛半径为 3，从而 的收敛半径 R=3，得到了同样的结果若作为论证题，上面的证明是错误的，我们知道，对于 ，若 ，则它的收敛半径是 但是若只知它的收敛半径为 因为 可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形)但是，上面的讨论对于选择题成填空题也有可取之处，它是在加强了条件(设35.把函数 f(x)= （分数：2.00
33、）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 36.函数 f(x)=ln(3-2x-x2)的麦克劳林展开式为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 3-2x-x2=(3+x)(1-x)知ln(3-2x-x2)=1n(3+x)+ln(1-x)展开式的成立范围是-1 1 与-1x1 的公共部分，即-1x1必须记住五个基本初等函数的麦克劳林展开式：37.设 f(x)=xarctanx- （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设 g(x)=arctanx 则 g(x)= (-1)nx2n，x(-1，1)于是 arctanx=g(x)-g(0)= g(
34、t)dt在 x=1 处级数 收敛，又函数 arctanx 在 x=1 处连续，所以arctanx=x- +(-1)n +，(-1x1)由 ln(1+x)= ，(-1x1)得 ln(1+x2)= ，(-1x 21，即-1x1)故f(x)=xarctanx- ln(1+x2)38.已知幂级数 anxn的收敛半径为 R0(0)，且 b 为非零常数，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：|b|R ）解析：解析 令 ，则 化为 已知 有收敛半径 R0故当|t|R 0时 绝对收敛，当|t|R 0时 发散所以当 R 0，即|x|b|R 0时 绝对收敛当 R 0即|x|b|R 0时 发散故
35、的收敛半径为|b|R 0因为不知道 是否存在，所以不能由 来论证 R=|b|R0但若加强条件，设 存在，此法可得填空题的正确答案39.设幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x( ）解析：解析 和函数故 S(x)=( - -1)=x(40.交错级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 幂级数 的和函数 S(x)在 的值就是常数项级数 的和设而从而故利用几何级数求和分式直接求和注意把二者相加，并利用几何级数求和公式即得从而 S=41.已知 y=y(x)在任意 x0 处的增量 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：6+21n2）解析：解析 因
36、为 ，令 x0 可得微分方程用积分因子 同乘方程两端得求积分可得通解=C+ln(1+x) y=C(1+x)+(1+x)ln(1+x)，在通解表达式中令 x=0，y(0)=3 可解出常数 C=3，于是42.设微分方程 x2y+2xy=1 满足条件 y(1)=2 的特解是 y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 将微分方程作恒等变形得 (x2y)=1，故方程的通解为 x2y=x+C，当 x0 时，通解可写成 ，其中 C 是积分常数利用初值 y(1)=2 可确定常数 C=1，故所求特解是 求积分即得43.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_（分数：2
37、.00）填空项 1:_ （正确答案：(x+C)cosx）解析：解析 本题所给方程是一阶线性方程由线性方程通解公式得44.设 y=y(x)是微分方程 =xdy 满足初值 y(1)=0 的特解，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题中的方程是齐次微分方程，由初值 y(1)=0 知应在 x0 处求解令 y=xu 可得dy=xdu+udx，代入原方程并化简即得 ，分离变量即得 积分知方程的通解为 ，从而原方程的通解为 由初值 y(1)=0 可确定常数 C=1，从而所求初值问题的特解满足 当 x0 时有由此可解出满足 y(1)=0 的特解为 y= (x2-1)求积分即得故
38、应填 45.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：xy=2(x+y) 3）解析：解析 题设的方程是齐次微分方程令 y=xu 代入可得即两边积分得即 ln|u|-31n|1+u|=ln|Cx|46.已知连续函数 f(x)满足 f(t)dt=x+sinx+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 可以转化为如下形式：代入原方程得由 f(x)连续可知以上各变限积分均可导，将方程两端对 x 求导有在上式中令 x=0 可得 f(0)=2，由上式还可见 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得f(x)=-sinx+f(x)故 y=f(x)是一阶线性微分方程初值问
39、题的特解解之可得 y=f(x)=47.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=t2+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于等式两边都含有未知函数 f(t)，要求出 f(t)的表达式，必须对等式两边求导数得到一个微分方程，再解此微分方程即可得到 f(t)的表达式注意等式右侧含有二重积分，积分区域 D 是以原点为中心，半径为 t 的圆域 x2+y2t 2，被积函数 是以 x2+y2为变量的函数，可化为极坐标系下的二重积分来计算令 x=rcos，y=rsin，则于是 f(t)=t2+2 rf(r)dr，两边对 t 求导得一阶线性微分方程 f(t)=2t+
40、2tf(t)，可解得f(t)=Cet2 - 又由原方程得 f(0)=0，由此可确定常数 C= 于是 f(t)=48.设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件：f(x)=g(x)，g(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=x+1，则 F(x)的表达式是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x)=f(x)+g(x)2-2f(x)g(x)=(x+1)2-2F(x)，故函数 F(x)满足一阶线性微分方程 F(x)+2F(x)=(x+1)2解该微分方程
41、得将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式得 C=于是49.设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-4x，且由曲线 y=f(x)与直线 x=1 以及 x 轴可围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 f(x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4x-5x 2）解析：解析 一阶线性微分方程 xy-2y=-4x 可化为标准形式 y- y=-4，其通解为 y=Cx2+4x由于对任何常数 C 都有 y(0)=0，从而由曲线 y=Cx2+4x 与直线 x=1 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积由于50.设 y“-y=x2的解 y=(x)当 x0 时是较 x2高阶的无穷小量，则 (x)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e x+e-x-x2-2）解析：解析 二阶常系数线性微分方程 y“-y=
