1、考研数学三微积分-3 及答案解析(总分：220.00，做题时间：90 分钟)1.二元函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4条性质：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P推出性质 Q，则有(A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_4.设函数 f(u，v)
2、由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_5.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_6.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_8.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：10.0
3、0）_10.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：10.00）_11.求函数 u=x2+y2+z2在约束条件 z=z2+y2和 x+y+z=4下的最大和最小值。（分数：10.00）_12. _（分数：4.00）A.B.C.D.13.设平面区域 D由直线 y=x，圆 x2+y2=2y及 y轴所围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_15.求 ，
4、其中 D是由圆 x2+y2=4和(x+1) 2+y2=1所围成的平面区域(如图)（分数：10.00）_16.设区域 D=x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则(A) ab (B) (C) (a+b) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.17.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_18.设 D=(x，y)|x 2+y2 ，x0，y0，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2的最大整数计算二重积分（分数：10.00）_19.设 a0， 而 D表示全平面，则 I= （分数：4.00）填空项 1:_2
5、0.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.21.计算二重积分 ，其中 D= （分数：10.00）_22.设 为正项级数，下列结论中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.23.设有两个数列 an，b n，若 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.24.已知幂级数 在 x=0处收敛，在 x=-4处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_25.设数列 an单调减少， 无界，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.26.求幂级数 （分数：10.00）_27.求幂级数 （分数：10.00）_28.将函数 展开成 x的幂级数，并求级数 （分数：10.00）_
6、29.将函数 （分数：10.00）_30.微分方程 xy+2y=xlnx满足 （分数：4.00）填空项 1:_31.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_32.微分方程 y+y=e-xcosx满足条件 y(0)=0的解为_（分数：4.00）填空项 1:_33.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式（分数：10.00）_34.设 y=y(x)是区间(-，)内过 （分数：10.
7、00）_考研数学三微积分-3 答案解析(总分：220.00，做题时间：90 分钟)1.二元函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，从而 f(x，y)在(0，0)处不连续，排除(A)，(B)由偏导数的定义2.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4条性质：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P推出性质 Q，则有(A) (B) (C) (D) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 直接利用偏
8、导数与可微的相关结论3.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 在 z=e2x-3z+2y的两边分别对 x，y 求偏导，得从而所以4.设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 u=xg(y)，v=y，则 ，所以5.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由6.设函数 z=z(x，y)由方程 确
9、定，其中 F为可微函数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，则所以 ，因此应选(B)7.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 因为 ，则8.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 知，分子的极限必为零，从而有 f(0，0)=0，且f(x，y)-xy(x 2+y2)2(|x|，|y|充分小时)，于是f(x，y)-f(0，0)xy+(x 2+y2)2可见当 y=x且|x|充分小时，f(x，y)-f(0，0)x 2+4x40；而当 y=-x且|x|充分小时，f(x，y)-f(
10、0，0)-x 2+4x40故点(0，0)不是 f(x，y)的极值点，应选(A)9.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：10.00）_正确答案：(分析 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值详解 因为 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，所以令故 将上式代入 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得由于所以故 ，从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3类似地，由
11、可知 ，从而点(-9，-3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(-9，-3)=-3)解析：10.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2求 f(x，y)在椭圆域 （分数：10.00）_正确答案：(分析 根据全微分和初始条件可先确定 f(x，y)的表达式而 f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值，可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值详解 由题设，知 ，于是 f(x，y)=x 2+C(y)，且 C(y)=-2y，从而 C(y)=-y2+C，再由 f(1，1)=2，得 C=2，故 f(x，y)=x 2-y
12、2+2令 得可能极值点为 x=0，y=0且，=B 2-AC=40，所以点(0，0)不是极值点，从而也非最值点再考虑其在边界曲线 上的情形：令拉格朗日函数为，解得可能极值点 x=0，y=2，=4；x=0，y=-2，=4；x=1，y=0，=-1；x=-1，y=0，=-1代入 f(x，y)得 f(0，2)=-2，f(1，0)=3，可见 z=f(x，y)在区域 内的最大值为 3，最小值为-2)解析：11.求函数 u=x2+y2+z2在约束条件 z=z2+y2和 x+y+z=4下的最大和最小值。（分数：10.00）_正确答案：(详解 设拉格朗日函数为F(x，y，z)=x 2+y2+z2+(z-x 2-y
13、2)+(x+y+z-4)，解方程组得故最大值、最小值分别为 max=(-2)2+(-2)2+82=72， min=12+12+22=6)解析：12. _（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为所以应选(D)13.设平面区域 D由直线 y=x，圆 x2+y2=2y及 y轴所围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 易得圆的极坐标方程为 r=2sin，于是14.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 把二重积分化
14、为二次积分，用分部积分法详解 用分部积分法交换积分次序再用分部积分法所以)解析：15.求 ，其中 D是由圆 x2+y2=4和(x+1) 2+y2=1所围成的平面区域(如图)（分数：10.00）_正确答案：(分析 首先，将积分区域 D分为大圆 D1=(x，y)|x 2+y24)减去小圆 D2=(x，y)|(x+1)2+y21)，再利用对称性与极坐标计算即可详解 令 D1=(x，y)|x 2+y24)，D 2=(x，y)|(x+1) 2+y21)，由对称性，所以)解析：16.设区域 D=x，y)|x 2+y24，x0，y0，f(x)为 D上的正值连续函数，a，b 为常数，则(A) ab (B) (
15、C) (a+b) (D) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由轮换对称性，有应选(D)17.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 由于积分区域 D关于 x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可详解 积分区域 D如右图所示因为区域 D关于 x轴对称，函数 是变量 y的偶函数，函数 是变量 y的奇函数则故)解析：18.设 D=(x，y)|x 2+y2 ，x0，y0，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2的最大整数计算二重积分（分数：10.00）_正
16、确答案：(分析 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可详解 令 D1=(x，y)|0x 2+y21，x0，y0，则)解析：19.设 a0， 而 D表示全平面，则 I= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2）解析：解析 20.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知积分区域 D如右图所示，显然是 Y型域，则故选(C)21.计算二重积分 ，其中 D= （分数：10.00）_正确答案：(分析 化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分详解 直角坐标系下 D=(x，
17、y)|0x1，0yx所以)解析：22.设 为正项级数，下列结论中正确的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 取 发散，排除(A)，(D)；又取 ，排除(C)，故应选(B)23.设有两个数列 an，b n，若 ，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 取 ，排除(B)、(D)24.已知幂级数 在 x=0处收敛，在 x=-4处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1，5）解析：解析 由题设知，当|x+2|0+2|=2，即-4x0 时，幂级数收敛；而当|x+2|-4+2|=2，即x-4 或 x0 时，幂级数发散可见幂级数的收敛半径为 2于是幂级数 当|
18、x-3|2，即 1x5 时收敛，故 的收敛区间为(1，5)另外，幂级数 在 x=0处收敛，相当于幂级数 在 x=5处收敛，故所求收敛域为(1，525.设数列 an单调减少， 无界，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 幂级数 的收敛区间是以 1为中心的对称区间，排除(A)、(B)而 x=0时，由莱布尼兹判别法，级数 收敛x=2 时，由部分和数列 发散知级数26.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(分析 先求收敛半径，进而可确定收敛区间而和函数可利用逐项求导得到详解 因为 ，所以当 x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收
19、敛区间为(-1，1)记由于 S(0)=0，S(0)=0，所以又从而)解析：27.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(分析 用比值判别法确定收敛区间，进而确定收敛域；利用幂级数的逐项求导求和函数详解 因为 ，所以当 x21，即-1x1 时，原幂级数绝对收敛当 x=1时，级数为 ，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为-1，1又令则由于 f(0)=0，所以从而幂级数的收敛域为-1，1，和函数为 xarctanx，x-1，1)解析：28.将函数 展开成 x的幂级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：(分析 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、
20、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形本题可先求导，再利用函数 的幂级数展开 即可，然后取 x为某特殊值，得所求级数的和详解 因为所以因为级数 收敛，函数 f(x)在 处连续，所以令 ，得再由 ，得)解析：29.将函数 （分数：10.00）_正确答案：(分析 利用常见函数的幂级数展开式详解 比较两边系数可得 ，即而故)解析：30.微分方程 xy+2y=xlnx满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 原方程等价为，于是通解为由 得 C=0，故所求解为 31.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=Cxe -x(x0)）解析：解析 原方程等价
21、为32.微分方程 y+y=e-xcosx满足条件 y(0)=0的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -xsinx）解析：解析 微分方程的通解为33.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式（分数：10.00）_正确答案：(详解 旋转体的体积 ，侧面积 ，由题设条件知上式两端对 t求导得即由分离变量法解得即将 y(0)=1代入知 C=1故于是所求函数为 )解析：
22、34.设 y=y(x)是区间(-，)内过 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由题意知，当-x0 时， ，即 ydy=-xdx，可得y2=-x2+C由初始条件 ，得 C= 2，所以 当 0x 时，y *+y+x=0，y“+y=0的通解为 y“=C1cosx+C2sinx，令 y“+y+x=0的特解为 y1=ax+b，则有 0+ax+b+x=0，得 a=-1，b=0，故 y1=-x，因而 y“+y+x=0的通解为 y=C1cosx+C2sinx-x，由于 y=y(x)是(-，)内的光滑曲线，故 y在 x=0处连续，于是由 y(0-)=，y(0 +)=C1，故 C1= 时，y=y(x)在 x=0处连续又当-x0 时，有 2x+2yy=0得 ；当 0x 时，有 y=-C1sinx+C2cosx-1得 y+(0)=C2-1由 y+(0)=y-(0)，C 2-1=0，即 C2=1故 y=y(x)的表达式为 )解析：
