1、考研数学三-微积分(二)及答案解析(总分：1580.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：158，分数：1580.00)1. （分数：10.00）_2. （分数：10.00）_3. （分数：10.00）_4. （分数：10.00）_5. （分数：10.00）_6. （分数：10.00）_7. （分数：10.00）_8. （分数：10.00）_9.若 （分数：10.00）_10.确定常数 a和 b的值，使 （分数：10.00）_11.确定常 a与 b的值，使得（分数：10.00）_12.已知常数 a0，6c0，使得（分数：10.00）_13.设 ，则 （分数：10.00）_14.已知
2、，则 （分数：10.00）_15.已知 （分数：10.00）A.B.C.D.16.设 f(x)是满足 的连续函数，且当 x0 时 （分数：10.00）_17.设 f(x)连续，且当 x0 时 （分数：10.00）_18. （分数：10.00）A.B.C.D.19.确定常数 a和 b0 的值，使函数（分数：10.00）_20.函数 （分数：10.00）A.B.C.D.21.设 f(x)在 x=1处连续，且 （分数：10.00）_22.设函数 f(x)在点 x=0处二阶可导，且 （分数：10.00）_23.设 f(x)是周期为 3的连续函数，f(x)在点 x=1处可导，且满足恒等式f(1+tanx
3、)-4f(1-3tanx)=26x+g(x)，其中 g(x)当 x0 时是比 x高阶的无穷小量求曲线 y=f(x)在点(4，f(4)处的切线方程（分数：10.00）_24.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足（分数：10.00）_25.设某品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，需求对价格的弹性记为 EP() 求证：边际收益 （分数：10.00）_26.设 （分数：10.00）_27.设 y=y(x)是由 （分数：10.00）_28.设函数 f具有二阶导数，且 f1求由方程 x2ey=ef(y)确定的隐函数 y=y(x)的一、二阶导数（分数：10.0
4、0）_29.设 y=y(x)是由方程 （分数：10.00）_30.设 （分数：10.00）_31.设 （分数：10.00）_32.设函数 f(x)与 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：() 当 f(x0)0 时，F(x)在点 x=x0处必可导；() 当 f(x0)=0时，F(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 f(x0)g(x0)=0（分数：10.00）_33.设 f(x)在(-1，1)内具有连续的二阶导数，且函数 （分数：10.00）_34.求下列函数的 n阶导数：() y=ln(6x 2+7x-3)，(n1)；() y=sin 2(2x)，(n1)（分数：10
5、.00）_35.函数 （分数：10.00）_36.下列命题中正确的是（分数：10.00）A.设 x0(a，b)，函数 f(x)满足 f(x)0(axx 0)和 f(x)0(x 0xb)，则 f(x)在点 x=x0处取得它在(a，b)上的最大值B.设 f(x)在点 x=x0取得极大值，则存在正数 0，使函数 f(x)在(x 0-，x 0)中单调增加，在(x0，x 0+)中单调减少C.设 f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 x=0必是 f(x)的一个极值点D.设 f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中 a0 是一个常数)，则 f(0)=037.已知函数 f
6、(x)当 x0 时满足 f“(x)+3f(x)2=xlnx，且 f(1)=0，则（分数：10.00）A.f(1)是函数 f(x)的极大值B.f(1)是函数 f(x)的极小值C.(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是函数 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 y=f(x)的拐点38.设函数 f(x)在(-，+)连续，其导函数 f(x)的图形如图(1)所示，则（分数：10.00）A.B.C.D.39.设函数 f(x)在(-，+)上可导，且 y=f(x)的图形如下，则 f(x)的导函数 y=f(x)的图形为（分数：10.00）A.B.C.D.40.求函数 f(x)=x+2cos
7、x 在 （分数：10.00）_41.函数 （分数：10.00）_42.如图 6-1，设曲线段 L是抛物线 y=6-2x2在第一象限内的部分在 L上求一点 M，使过 M点 L的切线 AB与两坐标轴和 L所围图形的面积为最小（分数：10.00）_43.设某种产品的需求函数是 Q=a-bP，其中 Q是该产品的销售量，P 是该产品的价格，常数(a0，b0，且该产品的总成本函数为 已知当边际收益 MR=56以及需求价格弹性 （分数：10.00）_44.设 f(x)在包含原点在内的某区间(a，b)内有二阶导数，且 （分数：10.00）_45.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(x)0 在(0，+)成
8、立求证：对任何 x1x 20有x1f(x2)x 2f(x1)（分数：10.00）_46.证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx2(x-1) 2（分数：10.00）_47.证明不等式(a+b)e a+bae 2a+be2b当 ba0 时成立（分数：10.00）_48.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，0f(x)1(0x1)求证：（分数：10.00）_49.设函数 f(x)在0，+)有连续的一阶导数，在(0，+)二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，又当 x0 时满足不等式xf“(x)+4ef(x)2ln(1+x)求证：当 x0 时 f(x)x 2成立（分数：
9、10.00）_50.设 f(x)是区间a，b上单调减少的连续函数，且 f(x)0 在a，b上成立求证：在(a，b)内存在唯一的 c，使在区间a，c上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积与在c，b上以 f(c)为高的矩形面积相等（分数：10.00）_51.若方程 x3-6x2-15x+k=0恰有三个实根，则 k的取值范围是_（分数：10.00）_52.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1， （分数：10.00）_53.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)，其中 c是(a，b)内
10、的一点，且 f(x)在a，b内的任何区间 I上 f(x)都不恒等于常数求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使 f“()0（分数：10.00）_54.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0求证：至少存在一点 (0，1)，使得(2+1)f()+f()=0（分数：10.00）_55.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=2，f(1)=0求证：存在 01，使得f()f()=4（分数：10.00）_56.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0，求证：存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_57.设函数 f(x)在a，b上一阶
11、可导，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0求证：() 使得 f()=f()；() （分数：10.00）_58.求 e-x2与(x 2+1)e-x2的带皮亚诺余项的麦克劳林公式（分数：10.00）_59.求 ln(1+x-x2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到 x4项（分数：10.00）_60.求极限 （分数：10.00）_61.确定常数 a和 b的值，使 f(x)=x-(a+bex2)sinx当 x0 时是 x的 5阶无穷小量（分数：10.00）_62.设函数 f(x)在 x=0的某邻域中二阶可导，且 （分数：10.00）_63.设 f(x)在 x=a的某邻域内
12、具有 n阶导数，且 （分数：10.00）_64.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：10.00）_65.设函数 f(x)在(-，+)三阶可导，且存在正数 M，使得|f(x)|M，|f“(x)|M 对 （分数：10.00）_66.设 f(x)在-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，求证： （分数：10.00）_67.设 f(x)在0，1上可导，且 f(x)0，f(x)0求证：函数 满足（分数：10.00）_68.设函数 f(x)在(-，+)上连续，f(0)=0，且
13、对任何 x，t(-，+)满足 （分数：10.00）_69. （分数：10.00）_70. （分数：10.00）_71.求f(x)dx，其中 （分数：10.00）_72.设 x(-，+)，求 （分数：10.00）_73.求下列不定积分：（分数：10.00）_74.求下列不定积分：（分数：10.00）_75.求下列积分：（分数：10.00）_76.求下列积分：（分数：10.00）_77.若在 （分数：10.00）_78. （分数：10.00）_79.求 （分数：10.00）_80.求 （分数：10.00）_81. （分数：10.00）_82. （分数：10.00）_83.计算定积分 （分数：10.
14、00）_84.设 n是正整数，则 （分数：10.00）_85. （分数：10.00）_86. （分数：10.00）_87.设非负函数 f(x)在区间0，1上连续且单调非增，常数 a与 b满足 0ab1求证： （分数：10.00）_88.反常积分 （分数：10.00）_89.反常积分 （分数：10.00）_90.判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的，要求出反常积分的值（分数：10.00）_91.设直线 y=c与曲线 y=8x-x4在第一象限中交于两点 A和 B，且使得图中两个阴影区域的面积 S1与 S2相等，求常数 c的值（分数：10.00）_92.如图 13-2，设单位圆 x2+y2=1上点
15、 M(x0，y 0)处的切线 L与抛物线 y=x2-2围成的图形的面积 S达到最小，求点 M的坐标和切线 L的方程（分数：10.00）_93.设平面图形 D由 x2+y22x 与 x+y2 所确定，求平面图形 D绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_94.设由曲线 与直线 x=a(0a1)以及 y=0，y=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点（分数：10.00）_95.设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域定义，且满足 f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x-x0)+b(y-y0)+o()(0)
16、，其中a，b 为常数， ，则（分数：10.00）_96.设() 求 （分数：10.00）_97.设 f(xy)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在(0，0)点连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：10.00）A.连续，不可偏导B.不连续，可偏导C.可微D.不可微98.设二元函数 y=f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f(x，y)=_（分数：10.00）_99.已知函数的全微分 df(x，y)=(3x 2+4xy-y2+1)dx+(2x2-2xy+3y2-1)dy，则 f(x，y)=_（分数：10.00
17、）_100.设 z=f(x，y)，其中 f满足恒等式 ，则 （分数：10.00）_101.设 z=z(x，y)由方程确定，其中 F有连续偏导数，求 （分数：10.00）_102.设 ，而中间变量 u满足关系式 ，其中 u(x，y)和 f(u)均为可微函数，如果 （分数：10.00）_103.设 （分数：10.00）_104.设 u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程z=x+y(z)确定，其中 f(x，z)有连续偏导数，(z)有连续导数且 1-y(z)0，求 du（分数：10.00）_105.设 ，其中 f有连续的二阶偏导数，求 dz和 （分数：10.00）_106.设 u=f(x，y，z)，
18、u=sinx，(x，e y，z 2)=0，其中 f， 可微，求 （分数：10.00）_107.设方程 ez=y+xz+x2+y2确定隐函数 z=z(x，y)，求 dz与 z“xy（分数：10.00）_108.设 u=u(x，y)在区域 D=|(x，y)|x0，-y+有连续偏导数，则在区域 D上，u(x，y)=的充要条件是 （分数：10.00）_109.设 y=g(x，z)，而 z=z(z，y)是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求（分数：10.00）_110.设 f(u)有二阶连续导数且 z=f(eycosx)满足（分数：10.00）_111.设 F(x，y)有二阶连续偏导数，满足 ，且在极坐标系下可表成 f(x，y)=g(r)，其中 （分数：10.00）_112.函数 z=(1+ey)cosx-yey（分数：10.00）A.无极值点B.只有无穷多个极大值点C.只有无穷多个极小值点D.有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点113.求函数 （分数：10.00）_
