1、考研数学三微积分-2 及答案解析(总分：260.00，做题时间：90 分钟)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则(A) x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点(B) x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点(C) x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点(D) x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则(A) f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极
2、小值(C) 点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D) f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：10.00）_4.设 x(0，1)，证明：(1)(1+x)ln2(1+x)x 2； (2) （分数：10.00）_5.设 （分数：10.00）_6.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.B.C.D.7.讨论曲线 y=4lnx+k与 y=4x+ln4x的交点个数（分数：10.00）_8.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， 试
3、证(1)存在 （分数：10.00）_9.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_10.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_11.设函数 f(x)在闭区间-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点 ，使 f“()=3（分数：10.00）_12.设某商品的需求函数为 Q=100
4、-5p，其中价格 p(0，20)，Q 为需求量()求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；()推导 （分数：10.00）_13.一商家销售某种商品的价格满足关系 p=7-0.2x(万元/吨)，x 为销量(单位：吨)，商品的成本函数是c=3x+1(万元)(1)若每销售一吨商品，政府需征税 t(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量，(2)t为何值时，政府税收最大（分数：10.00）_14.求 （分数：10.00）_15.设 （分数：10.00）_16. （分数：10.00）_17.设在区间a，b上，f(x)0，f(x)0，f“(x)0，记 （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 （分数：4.0
5、0）A.B.C.D.19. （分数：4.00）填空项 1:_20.计算 （分数：10.00）_21.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：10.00）_22.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 f(x)是奇函数。除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示 M的充分必要条件是 N，则必有(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数；(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数；(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数；(D) F(x)
6、是单调函数 （分数：4.00）A.B.C.D.25.设 f(x)连续， （分数：10.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足（分数：10.00）_27.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：10.00）_28. （分数：4.00）填空项 1:_29.计算 （分数：10.00）_30.如图，C 1和 C2分别是 和 y=ex的图像，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数图像过 C2上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x轴和 y轴的直线 Lx和 Ly记 C1，C 2与 Lx所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3与 Ly所围图形的面积为 S2(y)如果总有
7、S1(x)=S2(y)，求曲线 C3的方程 x=(y)（分数：10.00）_31.已知曲线 L的方程为： （分数：10.00）_32.设 D1由抛物线 y=2x2和直线 x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域；D 2是由抛物线 y=2x2和直线 y=0，x=a所围成的平面区域，其中 0a2(1)试求 D1绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2绕 y轴旋转而成旋转体体积 V2；(2)问当 a为何值时，V 1+V2取得最大值?试求此最大值（分数：10.00）_考研数学三微积分-2 答案解析(总分：260.00，做题时间：90 分钟)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则(A) x=0是 f
8、(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点(B) x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点(C) x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点(D) x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 f(x)=|x(1-x)|0，f(0)=0，则 x=0为 f(x)的极小值点，又当 x0 时，f(x)=-x(1-x)=x 2-x，f“(x)=20当 x0 时，f(x)=x(1-x)=x-x 2，f“(x)=-20所以(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点故应选
9、(C)分析二 曲线 y=x(1-x)是过点(0，0)和(1，0)且开口向下的二次抛物线，而曲线 y=|x(1-x)|是将 x轴下方的图形对称翻向 x轴上方(如图)从图中不难看出 x=0是 f(x)的极小值点，(0，0)为曲线 y=f(x)的拐点2.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则(A) f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C) 点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D) f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在关系式 f“(x)+
10、f(x)2=x中令 x=0，得 f“(0)=0，等式 f“(x)+f(x)2=x两端对 x求导得f“(x)+2f(x)f“(x)=1在上式中令 x=0，得 f“(0)=10，由拐点的第二充分条件得(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，故应选(C)3.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：10.00）_正确答案：(解 x(t)=t 2+1，x“(t)=2t，y(t)=t 2-1，y“(t)=2t则)解析：4.设 x(0，1)，证明：(1)(1+x)ln2(1+x)x 2； (2) （分数：10.00）_正确答案：(证明 (1)令 (x)=x 2-(1+x)ln2(1+x)，则(x)=2x-
11、ln 2(1+x)-2ln(1+x)又x x(0，1)则 “(x)0 x(0，1)(x)(0)=0 x(0，1)(x)(0)=0 x(0，1)故(1+x)ln 2(1+x)x 2(2)令由(1)知 f(x)0， x(0，1)则 f(x)在(0，1)上单调减，f(1)f(x)f(0 +) x(0，1)解析：5.设 （分数：10.00）_正确答案：(证法一 由于由泰勒公式得又 f“(x)0，则 f(x)x证法二 同证法一，由f(x)=f(x)-f(0)=f(c)x (c介于 0与 x之间)由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，若 x0，则 f(c)f(0)=1，从而 f(c)xf(0)x=x若
12、x0，则 f(c)f(0)=1，从而 f(c)xf(0)x=x 则对一切 x有 f(x)x证法三 令 F(x)=f(x)-x，只要证明 F(x)0，由于 F(x)=f(x)-1由 知，f(0)=0，f(0)=1 则F(0)=f(0)-1=0又 F“(x)=f“(x)0，则 F(x)单调增，从而 x=0为 F(x)唯一的驻点，又F“(0)=f“(0)0，则 F(x)在 x=0处取极小值，且 x为 F(x)在(-，+)上唯一的极值点，则有 F(0)为 F(x)在(-，+)上的最小值，又 F(0)=f(0)-0=0，则对一切 x有f(x)x证法四 由 f“(x)0 知，曲线 y=f(x)是凹的，则曲
13、线在其任一点的切线上方由 )解析：6.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 ，则 f(x)是偶函数，因此，只须讨论 f(x)在(0，+)内零点个数。则 f(x)在(0，)内有且仅有一个零点当 x 时 ，则 f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点，故方程7.讨论曲线 y=4lnx+k与 y=4x+ln4x的交点个数（分数：10.00）_正确答案：(分析 问题等价于讨论方程 ln4x-4lnx+4x-k=0在(0，+)内实根的个数解 令 (x)=ln 4x-4lnx+4x-k，则显然，(1)=0，且当 0x1 时，(x)0，(x)单调减，当 1x+时，(x)
14、0，(x)单调增又 )解析：8.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， 试证(1)存在 （分数：10.00）_正确答案：(证明 (1)要证 f()=，即要证 f()-=0，令 F(x)=f(x)-x，由题设知 F(x)在0，1上连续，又 ，F(1)=f(1)-1=-10，由连续函数零点定理知，存在 )解析：9.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(分析 这种证明存在两个点 ，(a，b)(即双中值)，又不要求 ，往往在(a，b)上要用两次中值定理，一般是用拉格朗
15、日中值定理和柯西中值定理，为此，把含有 和含有 的项分离到等式两边作分析，即 证明 对 f(x)在a，b上用拉格朗日中值定理，存在 (a，b)，使对 f(x)和 ex在a，b上用柯西中值定理，存在 (a，b)，使即从而有故 )解析：10.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_正确答案：(证明 ()令 F(x)=f(x)-1+x x0，1由题设知，F(x)在0，1上连续，又F(0)=f(0)-1=-10，F(1)=f(1)=
16、10由连续函数的零点定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即f()=1-()在区间0，和，1上分别对 f(x)用拉格朗日中值定理得此时， )解析：11.设函数 f(x)在闭区间-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点 ，使 f“()=3（分数：10.00）_正确答案：(证明 由于 f(x)三阶可导，可考虑泰勒公式，又 f(0)=0，应在 x=0处展开在上式中分别取 x=1和 x=-1，两式相减得由于 f“(x)连续，则 f“(x)在闭区间 2， 1上有最大值 M和最小值 m则由连续函数介值定理知，存在 2， 1
17、(-1，1)，使)解析：12.设某商品的需求函数为 Q=100-5p，其中价格 p(0，20)，Q 为需求量()求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)；()推导 （分数：10.00）_正确答案：()由 R=PQ得又由 ，得 P=10当 10P20 时，E d1，于是 )解析：13.一商家销售某种商品的价格满足关系 p=7-0.2x(万元/吨)，x 为销量(单位：吨)，商品的成本函数是c=3x+1(万元)(1)若每销售一吨商品，政府需征税 t(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量，(2)t为何值时，政府税收最大（分数：10.00）_正确答案：(解 设 T为总税额，则 T=tx商品销售总收入为R=
18、px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2利润函数为=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1(x)=-0.4x+(4-t)令 (x)=0 得由于 “(x)=-0.40，因此， 时，利润 (x)最大，即为利润最大的销售量(2)将 代入 T=tx得， )解析：14.求 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 令则计算积分 还有另一方法注意：这里用了积分公式解法二 令 ex=t，则解法三 令 arcsinex=t，则 x=lnsint，)解析：15.设 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 令 sin2x=u，则 ，于是解法二 令 sin2t=x，则)解析
19、：16. （分数：10.00）_正确答案：( )解析：解析 17.设在区间a，b上，f(x)0，f(x)0，f“(x)0，记 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于本题的几何意义很清楚，所以，可利用几何意义求解。由题设知，曲线 y=f(x)在 x轴上方，单调减且是凹的，如图所示S1表示曲边梯形 ABCD的面积，S 2表示矩形 ABCE的面积，S 3表示梯形 ABCD的面积，由图不难看出S2S 1S 3分析二 排除法：选择一个符合题设条件的具体 f(x)，排除其中的三个选项18.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由基本不等式 ，19. （分数：4.00）填空项 1
20、:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 x3cos2x为奇函数，sin 2xcos2x为偶函数，则20.计算 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 令 x=sint，则 dx=costdx解法二 移项得则 )解析：21.设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，求 （分数：10.00）_正确答案：(分析 本题要计算的积分 的被积函数 f(x)没给出，但给出了一个关于 f(x)的变上限积分的等式 ，通常是等式两端求导可解出 f(x)解 令 u=2x-t，则 du=-dt于是得等式两端对 x求导得即令 x=1得故 )解析：22.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解
21、析：解析 先作变量代换将被积式中 x换出来，然后再求导令 x2-t2=u，则则故应选(A)分析二 排除法：取 f(x)1，显然满足题设条件，而23.设 f(x)是奇函数。除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 排除法：选一个符合题设条件的具体函数，取则是一个连续的偶函数，排除选项(A)，(C)，(D)，故应选(B)分析二 利用变上限积分函数的两个基本结论：1)若 f(x)为a，b上的可积函数，则 为a，b上的连续函数；2)若 f(x)是奇函数，则 为偶函数；若 f(x)是偶函数，则 为奇函数由于 f(x)是奇函数，则 为偶函数；又 f
22、(x)除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 f(x)可积，从而 为连续函数；即 为连续的偶函数，故应选(B)24.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示 M的充分必要条件是 N，则必有(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数；(B) F(x)是奇函数 f(x)是偶函数；(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数；(D) F(x)是单调函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 若 F(x)是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”知，F(x)=f(x)为奇函数，反之若 f(x)为奇函数，则 为偶函数，f(x)的任一原函数
23、 F(x)可表示为则 F(x)是偶函数故应选(A)分析二 排除法：取 f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x+1，显然 f(x)连续，F(x)=f(x)，且 f(x)是偶函数，周期函数，但 F(x)不是奇函数(F(0)0)，也不是周期函数，排除(B)和(C)选项若取 f(x)=x， ，排除(D)，故应选(A)25.设 f(x)连续， （分数：10.00）_正确答案：(分析 首先通过变量代换将 (x)化为积分上限的函数，然后求 (x)并讨论 (x)的连续性解 由 及 f(x)的连续性知，f(0)=0，从而有当 x0 时，令 xt=u，则由于则 (0)在 x=0处连续)解析：26.设 f(
24、x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足（分数：10.00）_正确答案：(分析 注意积分 的被积函数 xe1-xf(x)的导数ze1-xf(x)=xe1-xf(x)+e1-xf(x)-xe1-xf(x)=xe1-xf(x)-(1-x-1)f(x)注意就是本题要证的结论，所以，令 F(x)=xe1-xf(x)，只要证明 F(x)满足罗尔定理条件，本题就可得以证明证 令 F(x)=e1-xf(x)，则 F(1)=f(1)，由积分中值定理知，存在 ，使由题设 )解析：27.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(证法一 由 及积分中值定理知，存在 (0，)使 f(
25、1)=0若在(0，)内 f(x)只有一个零点 1，则由 知，f(x)在(0， 1)与( 1，)内异号不妨设在(0， 1)内 f(x)0，在( 1，)内 f(x)0，又在(0， 1)内(cosx-cos 1)0，在( 1，)内(cosx-cos 1)0，则另一方面由矛盾，原题得证证法二 令 ，则有 F(0)=0，F()=0又 )解析：28. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 29.计算 （分数：10.00）_正确答案：(解 而则或故 )解析：30.如图，C 1和 C2分别是 和 y=ex的图像，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数图像过 C2上任一点 M(x，y)
26、分别作垂直于 x轴和 y轴的直线 Lx和 Ly记 C1，C 2与 Lx所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3与 Ly所围图形的面积为 S2(y)如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3的方程 x=(y)（分数：10.00）_正确答案：(分析 先写出 S1(x)和 S2(y)的积分表达式，然后等式 S1(x)=S2(y)两边对 x求导，解出x=(y)解 由题设知又 S1(x)=S2(y)，则即等式两端对 x求导，得由 y=ex得于是从而故曲线 C3的方程为 )解析：31.已知曲线 L的方程为： （分数：10.00）_正确答案：(分析 为确定 L的凹凸性，须先求二阶导数 并确定其正负，
27、要解第()问，首先要求出曲线上点(x 0，y 0)对应的参数 t0处的斜率，然后求出切线方程，由()和()可知所求平面图形的基本形状，从而求出其面积解法一 ()由于()当 t=0时，x(0)=0，y(0)=4，x(0)=1，y(0)=0，则 t=0时，L 在对应点处切线方程为 x=1，不合题意，故设切点(x 0，y 0)对应的参数为 t00，则 L在(x0，y 0)处的切线方程为令 x=1，y=0，得解得 t0=1或 t0=-2(舍去)由 t0=1知，切点为(2，3)，且切线方程为 y=x+1()令 y=4t-t2=0，得 t1=0，t 2=4，对应曲线 L与 x轴的两个交点(1，0)和(17
28、，0)，由以上讨论知曲线 L和所求的切线如图所示，故所求平面图形的面积为解法二 ()同解法一()由由于当 x0=1时，L 在对应点处切线方程为 x=1，不合题意，故可设 L在点(x 0，y 0)处的切线方程为将 x=1，y=0 代入上式，得即 整理得解得 x0=2，并得 y0=3，因此切线方程为 y=x+1()在 中令 y=0，得 L与 x轴的交点为(1，0)和(17，0)，故所求平面图形的面积为)解析：32.设 D1由抛物线 y=2x2和直线 x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域；D 2是由抛物线 y=2x2和直线 y=0，x=a所围成的平面区域，其中 0a2(1)试求 D1绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2绕 y轴旋转而成旋转体体积 V2；(2)问当 a为何值时，V 1+V2取得最大值?试求此最大值（分数：10.00）_正确答案：(解 (1)D 1与 D2如图所示，则(2)=1时 V最大，且最大值为 )解析：
