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【考研类试卷】考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 1及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.微分方程 xdy=(y )dx(x0)满足 y(1)=0的特解是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解 C 1 ,C 2 是任意常数,则该方程的通解是 ( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2

2、y 2 (C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 34.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0,+)上有界,则实数 b的取值范围是 ( )(分数:2.00)A.0,+)B.(,0C.(,4D.(,+)5.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =zxe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(分数:2.00)A.y yy+y=0B.y+ yyy=0C.y6 y+11y6y=0D.y2 yy+2y=06.函数 y=

3、Cx+ (其中 C是任意常数)对微分方程 (分数:2.00)A.是通解B.是特解C.是解,但既非通解也非特解D.不是解二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.设 y 1 =e x ,y 2 =x 2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解,则该微分方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设 p(x),q(x)与 f(x)均为连续函数,f(x)0设 y 1 (x),y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3个解,且 (分数:2.00)填空项 1:_9.微分方程 满足初值条件 y(0)=0,y(0)= (分数:2.00)填空项 1:_

4、10.设 f(x)在(,+)内有定义,且对任意 x(,+),y(,+),f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x 成立,且 f(0)存在等于 a,a0,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x)在(,+)上可导,且其反函数存在,记为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1,则当x+时 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.微分方

5、程 3e x tanydx+(1e x )sec 2 ydy=0的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_15.微分方程 ytanx=ylny 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解,并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ,记 y 0 =y(x 0 )证明: (1)y(x)y 0 arctanx 0 ;(2) (分数:2.00)_18.设 a0,函数 f(x)在0,+)上连续有界证明:微分方

6、程 y+ay=f(x)的解在0,+)上有界(分数:2.00)_19.已知曲线 y=y(x)经过点(1,e 1 ),且在点(x,y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy,求该曲线方程的表达式(分数:2.00)_20.求解(1+ (分数:2.00)_21.设 (x)是以 2 为周期的连续函数,且 (x)=(x),(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cosx 的通解; (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由(分数:2.00)_22.设有方程 y+P(x)y=x 2 ,其中 P(x)= (分数:2.00)_23.设 (1)用变限积分表示满足上述初值

7、条件的解 y(x);(2)讨论 (分数:2.00)_24.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1的特解(分数:2.00)_25.求微分方程(4x+y)dx(2xy)dy=0 的通解(分数:2.00)_26.求微分方程 (分数:2.00)_27.求微分方程 (分数:2.00)_28.求微分方程 y2ye 2x =0满足条件 y(0)=1,y(0)=1 的特解(分数:2.00)_29.求微分方程 y+2y+y=xe x 的通解(分数:2.00)_考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 1答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选

8、择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.微分方程 xdy=(y )dx(x0)满足 y(1)=0的特解是 ( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:将原方程变形为 这是齐次微分方程,令 u= ,代入原方程得 分离变量得,两端积分得 ln(u+ )=1nx+C由 u(1)=0可得 C=0,进而导出 u+ 代入得到 y+3.设线性无关的函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解 C 1 ,C 2 是任意常数,则该方程的通解是 ( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2

9、y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 解析:解析:由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 y 3 )+C 2 (y 2 y 3 )+y 3 , 其中 y 1 y 3 和 y 2 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解,又 y 3 是原方程的一个特解,所以(D)是原方程的通解4.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0

10、,+)上有界,则实数 b的取值范围是 ( )(分数:2.00)A.0,+) B.(,0C.(,4D.(,+)解析:解析:因为当 b2 时,y(x)= ,所以,当 b 2 40 时,要想使 y(x)在区间(0,+)上有界,只需要 b+ 0,且 b 0,即 b2; 当 b 2 40 时,要想使 y(x)在区间(0,+)上有界,只需要 b+ 与 b 5.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =zxe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(分数:2.00)A.y yy+y=0B.y+ yyy=0 C.y6 y+11y6y=0D.y2 yy+2y=0解析:解析:根据题设条件,

11、1,1 是特征方程的两个根,且1 是重根,所以特征方程为(1)(+1) 2 = 3 + 2 1=0,故所求微分方程为 y+yyy=0,故选(B) 或使用待定系数法,具体为: 设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y+ay+by+cy=0 由于 y 1 =e x ,y 2 =2xe x y 3 =3e x 是上述方程的解,所以将它们代入方程后得 6.函数 y=Cx+ (其中 C是任意常数)对微分方程 (分数:2.00)A.是通解B.是特解C.是解,但既非通解也非特解 D.不是解解析:解析:(1)因原方程阶数为二,通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 2 x+ ); (2)特解中不

12、含有任意常数(y * = 为特解);(3)Cx+ 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.设 y 1 =e x ,y 2 =x 2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解,则该微分方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y+*=0)解析:解析:由于方程形状已知,故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求的二阶齐次线性微分方程为 y+p(x)y+q(x)y=0 分别以 y 1 =e x ,y 2 =x 2 代入,得 解得 p(x)= ,q(x)= ,所求方程为 y+ 8.设 p(x),q(x)与 f(x)均为连续函数,f(x)0设 y 1 (x),y 2 (x)与

13、 y 3 (x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3个解,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 (y 1 y 2 )+C 2 (y 2 y 3 )+y 1 ,其中 C 1 ,C 2 为任意常数)解析:解析:由非齐次线性方程的两个解,可构造出对应的齐次方程的解,再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 y 2 与 y 2 y 3 均是式对应的线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上,若它们线性相关,则存在两个不全为零的常数 k 1 与 k 2 使 k 1 (y 1 y 2 )+k 2 (y 2 y

14、 3 )=0 设 k 1 0,又由题设知 y 2 y 3 0,于是式可改写为 9.微分方程 满足初值条件 y(0)=0,y(0)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x=e y e y )解析:解析:熟悉反函数的导数的读者知道, 原方程可化为 x关于 y的二阶常系数线性方程将式代入原方程,原方程化为 x=siny, 解得 x关于 y的通解为 x=C 1 e y +C 2 e y siny, 以 x=0时,y=0 代入上式,得 0=C 1 +C 2 再将式两边对 y求导,有 x=0时, ,代入上式,有 解得 C 1 =1,C 2 =1,于是得通解 x=e y e y 10.

15、设 f(x)在(,+)内有定义,且对任意 x(,+),y(,+),f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x 成立,且 f(0)存在等于 a,a0,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:axe x)解析:解析:由 f(0)存在,设法去证对一切 x,f(x)存在,并求出 f(x) 将 y=0代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ,得 f(x)=f(x)+f(0)e x , 所以 f(0)=0 11.设 f(x)在(,+)上可导,且其反函数存在,记为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1,则当

16、x+时 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:未知函数含于积分之中的方程称为积分方程现在此积 分的上限为变量,求此方程的解的办法是将方程两边对 x求导数化成微分方程解之注意,积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中,读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x求导,有 gf(x)f(x)+f(x)=xe x 因 gf(x)x,所以上式成为 xf(x)+f(x)=xe x 以 x=0代入上式,由于 f(0)存在,所以由上式得 f(0)=0当 x0 时,上式成为 f(x)+ f(x)=e x 解得 由于 f(x)在 x=0处可导,所以连续令 x0,得 0=

17、f(0)=1+ , 所以 =1,从而知 C=1于是得 12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(x+C)cosx,其中 C为任意常数)解析:解析:属于一阶非齐次线性方程,直接根据一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案13.微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:C 1 e 2x +(C 2 + )解析:解析:y4y=0 的特征根 =2,则其通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 2x 设其特解 y * =Axe 2x 代入 y4y=e 2x ,可解得 A=

18、 所以 y4y=e 2x 的通解为 C 1 e 2x +(C 2 + 14.微分方程 3e x tanydx+(1e x )sec 2 ydy=0的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:tany=C(e x 1) 3 ,其中 C为任意常数)解析:解析:方程分离变量得 15.微分方程 ytanx=ylny 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=e Csinx ,其中 C为任意常数)解析:解析:原方程分离变量,有 三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:1

19、7.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解,并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ,记 y 0 =y(x 0 )证明: (1)y(x)y 0 arctanx 0 ;(2) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题以微分方程的概念为载体,考查一元微积分学的综合知识,是一道有一定难度的综合题 (1)将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 变形为 0,则 y=y(x)为严格单调增函数,根据单调有界准则,只要证明 y(x)有界即可 对 dy= dx两边从 x 0 到 x积分,得 设 xx 0 ,则 y(x)y(x 0 )+ =y(x 0 )+arct

20、anxarctanx 0 y 0 + arctanx 0 (2)y(x)有上界,所以 y(x)存在 同理可证,当 xx 0 时,y(x)有下界,所以 y(x)也存在 故 y(x)存在, )解析:18.设 a0,函数 f(x)在0,+)上连续有界证明:微分方程 y+ay=f(x)的解在0,+)上有界(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:原方程的通解为、 y(x)=e ax (C+ 0 x f(t)e at dt), 设 f(x)在0,+)上的上界为 M,即f(x)M,则当 x0 时,有 y(x)=e ax (C+ 0 x f(t)e at dt) Ce ax +e ax 0 x f(t)e

21、at dt C+Me ax 0 x e at dt =C+ (1e at ) C+ )解析:19.已知曲线 y=y(x)经过点(1,e 1 ),且在点(x,y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy,求该曲线方程的表达式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题以几何问题为载体,让考生根据问题描述建立微分方程,然后求解,是一道简单的综合题,是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x,y)处的切线方程为 Yy=y(Xx),令X=0,得到截距为 xy=yxy,即 xy=y(1x), 此为一阶可分离变量的方程,于是, ,lny=lnCxx,得到 y= ,又 y(1)=e 1 ,故 C=1,于

22、是曲线方程为 y= )解析:20.求解(1+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程化为 此为齐次方程,故令 u= ,则 x=uy, +u,代入上述方程得 整理得 积分得 ln(u+e u )=lny+C 1 , (u+e u )y=C, 将 u= =C,故原方程的通解为 x+ )解析:21.设 (x)是以 2 为周期的连续函数,且 (x)=(x),(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cosx 的通解; (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题考查微分方程的求解与解的讨论,尤其是(2)关于

23、解的讨论,是考生在考场上的难点,请复习备考的学生重视 (1)该方程为一阶线性微分方程,通解为 y=e sinxdx (x)e cosx e sinxdx dx+C =e cosx (x)e cosx .e cosx dx+C =e cosx (x)dx+C=e cosx (x)+C(其中 C为任意常数) (2)因为 (x)=(x),所以 (x)= 0 x (t)dt+C 1 又 (0)=0,于是,(x)= 0 x (t)dt而 (x+2)= 0 x+2 (t)dt= 0 x (t)dt+ x x+2 (t)dt=(x)+ 0 2 (t)dt,所以,当 0 2 (t)dt=0 时,(x+2)=(

24、x),即 (x)以 2 为周期 因此,当 0 2 (t)dt=0 时,方程有以 2 为周期的解)解析:22.设有方程 y+P(x)y=x 2 ,其中 P(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题虽是基础题,但其特色在于当 z的取值范围不同时,系数 P(x)不同,这样所求解的方程就不一样,解的形式自然也会不一样,最后要根据解 y=y(x)是连续函数,确定任意常数 当x1 时,方程及其初值条件为 求解得 y=e 1dx (x 2 e 1dx dx+C)=e x (x 2 e x dx+C)=x 2 2x+2+Ce x 由 y(0)=2得 C=0,故 y=x 2 2x+2 当 x1 时

25、,方程为 y+ y=x 2 ,求解得 综上,得 又 y(x)在(,+)内连续,有 f(1 )=f(1 + )=f(1),即 12+2= +C,从而 C= 所以 )解析:23.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x);(2)讨论 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:一般认为,一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 而本题是要求写成变限积分形式 请考生仔细分辨这里的变量表达形式 由于本题表达形式比较复杂,且写出表达式后还要进行极限讨论,故本题对于考生是一道难题 (1)初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式,有: 若 y 1 e ,则 y(x)=; 若 y

26、1 =e ,则 )解析:24.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对应的齐次方程 xy+y=0 的通解是 y= 设其中 C为 x的函数,则 y= 代入原方程,得 (C=xe x , C=xe x e x +C 1 , 故原方程的通解为 y= 当 x=1,y=1时,C 1 =1,所以特解为 y= )解析:25.求微分方程(4x+y)dx(2xy)dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程化为 设 x=X+h,y=Y+k,代入方程,并令 解得 h=3,k=1,此时原方程化为 令 代入上式,得 )解析:26.求微分方程

27、 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:此为齐次方程,只要作代换 u= 解之即可方程变形为 令 两边积分,得 uarctanu 所以有 uarctanu ln(1+u 2 )=lnx+lnC,即uarctanu=lnCx 代回 u= 得 即得原方程通解为 C )解析:27.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:变形和作适当代换后变为可分离变量的方程 方程两边同除以 x,得 当x0 时, ,解之得 arcsinu=lnCx 再以 u= 代回,便得原方程的通解:arcsin )解析:28.求微分方程 y2ye 2x =0满足条件 y(0)=1,y(0)=1 的特解(分数:2.0

28、0)_正确答案:(正确答案:齐次方程 y2y=0 的特征方程为 2 2=0,由此求得特征根 1 =0, 2 =2对应齐次方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x ,设非齐次方程的特解为 y * =Axe 2x ,则 (y * )=(A+2Ax)e 2x , (y * )=4A(1+x)e 2x 代入原方程,求得 A= ,从而 y * = xe 2x 于是,原方程通解为 y= +y * =C 1 +(C 2 + x)e 2x 将 y(0)=1和 y(0)=1代入通解求得 从而,所求解为 y= )解析:29.求微分方程 y+2y+y=xe x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:特征方程 r 2 +2r+1=0的两个根为 r 1 =r 2 =1 对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e x 设所求方程的特解为 y * =(ax+b)e x ,则 y * =(ax+a+b)e x , y * (ax+2a+b)e x , 代入所给方程,有(4ax+4a+4b)e x =xe x 解得 ,而 y * = (x1)e x 最后得所求通解为 y=(C 1 C 2 x)e x + )解析:

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