1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 1及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 xdy=(y )dx(x0)满足 y(1)=0的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解 C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2
2、y 2 (C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 34.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+)B.(，0C.(，4D.(，+)5.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =zxe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y yy+y=0B.y+ yyy=0C.y6 y+11y6y=0D.y2 yy+2y=06.函数 y=
3、Cx+ (其中 C是任意常数)对微分方程 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）填空项 1:_
4、10.设 f(x)在(，+)内有定义，且对任意 x(，+)，y(，+)，f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x 成立，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在(，+)上可导，且其反函数存在，记为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1，则当x+时 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方
5、程 3e x tanydx+(1e x )sec 2 ydy=0的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 ytanx=ylny 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )证明： (1)y(x)y 0 arctanx 0 ；(2) （分数：2.00）_18.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界证明：微分方
6、程 y+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_19.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e 1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_20.求解(1+ （分数：2.00）_21.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由（分数：2.00）_22.设有方程 y+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_23.设 (1)用变限积分表示满足上述初值
7、条件的解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.00）_24.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1的特解（分数：2.00）_25.求微分方程(4x+y)dx(2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_26.求微分方程 （分数：2.00）_27.求微分方程 （分数：2.00）_28.求微分方程 y2ye 2x =0满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_29.求微分方程 y+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 1答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选
8、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 xdy=(y )dx(x0)满足 y(1)=0的特解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：将原方程变形为 这是齐次微分方程，令 u= ，代入原方程得 分离变量得，两端积分得 ln(u+ )=1nx+C由 u(1)=0可得 C=0，进而导出 u+ 代入得到 y+3.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解 C 1 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2
9、y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 解析：解析：由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1C 1 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 y 3 )+C 2 (y 2 y 3 )+y 3 ， 其中 y 1 y 3 和 y 2 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y 3 是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解4.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0
10、，+)上有界，则实数 b的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+) B.(，0C.(，4D.(，+)解析：解析：因为当 b2 时，y(x)= ，所以，当 b 2 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 b+ 0，且 b 0，即 b2； 当 b 2 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 b+ 与 b 5.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =zxe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（分数：2.00）A.y yy+y=0B.y+ yyy=0 C.y6 y+11y6y=0D.y2 yy+2y=0解析：解析：根据题设条件，
11、1，1 是特征方程的两个根，且1 是重根，所以特征方程为(1)(+1) 2 = 3 + 2 1=0，故所求微分方程为 y+yyy=0，故选(B) 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y+ay+by+cy=0 由于 y 1 =e x ，y 2 =2xe x y 3 =3e x 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 6.函数 y=Cx+ (其中 C是任意常数)对微分方程 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解 D.不是解解析：解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 2 x+ )； (2)特解中不
12、含有任意常数(y * = 为特解)；(3)Cx+ 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y+*=0）解析：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求的二阶齐次线性微分方程为 y+p(x)y+q(x)y=0 分别以 y 1 =e x ，y 2 =x 2 代入，得 解得 p(x)= ，q(x)= ，所求方程为 y+ 8.设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与
13、 y 3 (x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 (y 1 y 2 )+C 2 (y 2 y 3 )+y 1 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 y 2 与 y 2 y 3 均是式对应的线性齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k 1 与 k 2 使 k 1 (y 1 y 2 )+k 2 (y 2 y
14、 3 )=0 设 k 1 0，又由题设知 y 2 y 3 0，于是式可改写为 9.微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=e y e y ）解析：解析：熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x关于 y的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 x=siny， 解得 x关于 y的通解为 x=C 1 e y +C 2 e y siny， 以 x=0时，y=0 代入上式，得 0=C 1 +C 2 再将式两边对 y求导，有 x=0时， ，代入上式，有 解得 C 1 =1，C 2 =1，于是得通解 x=e y e y 10.
15、设 f(x)在(，+)内有定义，且对任意 x(，+)，y(，+)，f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x 成立，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：axe x）解析：解析：由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(x)=f(x)+f(0)e x ， 所以 f(0)=0 11.设 f(x)在(，+)上可导，且其反函数存在，记为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt+ 0 x f(t)dt=xe x e x +1，则当
16、x+时 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：未知函数含于积分之中的方程称为积分方程现在此积 分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x求导，有 gf(x)f(x)+f(x)=xe x 因 gf(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xe x 以 x=0代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为 f(x)+ f(x)=e x 解得 由于 f(x)在 x=0处可导，所以连续令 x0，得 0=
17、f(0)=1+ ， 所以 =1，从而知 C=1于是得 12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx，其中 C为任意常数）解析：解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案13.微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +(C 2 + ）解析：解析：y4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 2x 设其特解 y * =Axe 2x 代入 y4y=e 2x ，可解得 A=
18、 所以 y4y=e 2x 的通解为 C 1 e 2x +(C 2 + 14.微分方程 3e x tanydx+(1e x )sec 2 ydy=0的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tany=C(e x 1) 3 ，其中 C为任意常数）解析：解析：方程分离变量得 15.微分方程 ytanx=ylny 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e Csinx ，其中 C为任意常数）解析：解析：原方程分离变量，有 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：1
19、7.已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 )证明： (1)y(x)y 0 arctanx 0 ；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题 (1)将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 变形为 0，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可 对 dy= dx两边从 x 0 到 x积分，得 设 xx 0 ，则 y(x)y(x 0 )+ =y(x 0 )+arct
20、anxarctanx 0 y 0 + arctanx 0 (2)y(x)有上界，所以 y(x)存在 同理可证，当 xx 0 时，y(x)有下界，所以 y(x)也存在 故 y(x)存在， )解析：18.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程的通解为、 y(x)=e ax (C+ 0 x f(t)e at dt)， 设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当 x0 时，有 y(x)=e ax (C+ 0 x f(t)e at dt) Ce ax +e ax 0 x f(t)e
21、at dt C+Me ax 0 x e at dt =C+ (1e at ) C+ )解析：19.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e 1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令X=0，得到截距为 xy=yxy，即 xy=y(1x)， 此为一阶可分离变量的方程，于是， ，lny=lnCxx，得到 y= ，又 y(1)=e 1 ，故 C=1，于
22、是曲线方程为 y= )解析：20.求解(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 此为齐次方程，故令 u= ，则 x=uy， +u，代入上述方程得 整理得 积分得 ln(u+e u )=lny+C 1 ， (u+e u )y=C， 将 u= =C，故原方程的通解为 x+ )解析：21.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysinx=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于
23、解的讨论，是考生在考场上的难点，请复习备考的学生重视 (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e sinxdx (x)e cosx e sinxdx dx+C =e cosx (x)e cosx .e cosx dx+C =e cosx (x)dx+C=e cosx (x)+C(其中 C为任意常数) (2)因为 (x)=(x)，所以 (x)= 0 x (t)dt+C 1 又 (0)=0，于是，(x)= 0 x (t)dt而 (x+2)= 0 x+2 (t)dt= 0 x (t)dt+ x x+2 (t)dt=(x)+ 0 2 (t)dt，所以，当 0 2 (t)dt=0 时，(x+2)=(
24、x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 0 2 (t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解)解析：22.设有方程 y+P(x)y=x 2 ，其中 P(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题虽是基础题，但其特色在于当 z的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解 y=y(x)是连续函数，确定任意常数 当x1 时，方程及其初值条件为 求解得 y=e 1dx (x 2 e 1dx dx+C)=e x (x 2 e x dx+C)=x 2 2x+2+Ce x 由 y(0)=2得 C=0，故 y=x 2 2x+2 当 x1 时
25、，方程为 y+ y=x 2 ，求解得 综上，得 又 y(x)在(，+)内连续，有 f(1 )=f(1 + )=f(1)，即 12+2= +C，从而 C= 所以 )解析：23.设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 而本题是要求写成变限积分形式 请考生仔细分辨这里的变量表达形式 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题 (1)初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有： 若 y 1 e ，则 y(x)=； 若 y
26、1 =e ，则 )解析：24.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的齐次方程 xy+y=0 的通解是 y= 设其中 C为 x的函数，则 y= 代入原方程，得 (C=xe x ， C=xe x e x +C 1 ， 故原方程的通解为 y= 当 x=1，y=1时，C 1 =1，所以特解为 y= )解析：25.求微分方程(4x+y)dx(2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程化为 设 x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令 解得 h=3，k=1，此时原方程化为 令 代入上式，得 )解析：26.求微分方程
27、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次方程，只要作代换 u= 解之即可方程变形为 令 两边积分，得 uarctanu 所以有 uarctanu ln(1+u 2 )=lnx+lnC，即uarctanu=lnCx 代回 u= 得 即得原方程通解为 C )解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程 方程两边同除以 x，得 当x0 时， ，解之得 arcsinu=lnCx 再以 u= 代回，便得原方程的通解：arcsin )解析：28.求微分方程 y2ye 2x =0满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.0
28、0）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y2y=0 的特征方程为 2 2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x ，设非齐次方程的特解为 y * =Axe 2x ，则 (y * )=(A+2Ax)e 2x ， (y * )=4A(1+x)e 2x 代入原方程，求得 A= ，从而 y * = xe 2x 于是，原方程通解为 y= +y * =C 1 +(C 2 + x)e 2x 将 y(0)=1和 y(0)=1代入通解求得 从而，所求解为 y= )解析：29.求微分方程 y+2y+y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +2r+1=0的两个根为 r 1 =r 2 =1 对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e x 设所求方程的特解为 y * =(ax+b)e x ，则 y * =(ax+a+b)e x ， y * (ax+2a+b)e x ， 代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x =xe x 解得 ，而 y * = (x1)e x 最后得所求通解为 y=(C 1 C 2 x)e x + )解析：
