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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 1及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机事件 A与 B互不相容,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A,B 为随机事件,P(A)0,则 P(B|A)=1 不等价于( )(分数:2.00)A.P(AB)=0B.P(BA)=0C.P(AB)0D.P(BA)04.某射手的命中率为 p(0p1),该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )(分数:2.00)A.p k (1p) nkB.C

2、n k p k (1p) nkC.C n1 k1 p k (1p nkD.C n1 k1 p k1 (1p) nk5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量,Y 是连续型随机变量,则随机变量 X+Y的分布函数( )(分数:2.00)A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点6.设随机变量 X的密度函数为 f X (x),Y=2X +3,则 Y的密度函数为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PX x,Yy等于( )(分数:2.00)A.1F(x,y)B.1F

3、X (x)F Y (y)C.F(x,y)F X (x)F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (y)+F(x,y)18.设相互独立的两随机变量 X,Y 均服从0,3上的均匀分布,则 P1max(X,Y)2的值为( )(分数:2.00)A.B.C.D.9.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n (n1)独立同分布,且其方差 2 0,令 Y= 则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于( )(分数:2.00)A.1B.0C.D.111.设 X 1 ,X 2 ,X m 是取自正态总体 N(0

4、, 2 )的简单随机样本,X 与 S 2 分别是样本均值与样本方差,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)12.若在区间(0,1)上随机地取两个数 u,则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_13.每箱产品有 10件,其中次品数从 0到 2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为 2 ,一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品,通过验收的概率 p= 1。(分数:2.00)填空项 1:_14.

5、假设 X服从参数 的指数分布,对 X做三次独立重复观察,至少有一次观测值大于 2的概率为(分数:2.00)填空项 1:_15.设随机变量 XN(, 2 ),且二次方程 y 2 +4y +X=0无实根的概率为 05,则 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_17.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布,则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1。(分数:2.00)填空项 1:_18.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a,b)上的均匀分布,则圆盘面积的数学期望为 1。(分数:2.00)填空

6、项 1:_19.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,其中 X服从区间0,6上的均匀分布,X 2 服从正态分布N(0,2 2 ),X 3 服从参数为 3的泊松分布,则 D(X 1 2X 2 +3X 3 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设 X 1 ,X 2 ,X n 为取自总体 XN(, 2 )的简单随机样本,记样本方差为 S 2 ,则D(S 2 ) 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.已知 P(A)=05,P(B)=07,则()在怎样的条件下,P

7、(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下,P(AB)取得最小值?最小值是多少?(分数:2.00)_23.随机地向圆 x 2 + y 2 =2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角,求 X的分布函数和概率密度。(分数:2.00)_24.袋中有 1个红球,2 个黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1|Z=0;()求二维随机变量(X,Y)的概率分布。(分数:2.00)_25.设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布,当 X取

8、到 x(0x1)时,随机变量 Y等可能地在(x,1)上取值。试求:()(X,Y)的联合概率密度;()关 Y的边缘概率密度函数;()PX+Y1。(分数:2.00)_26.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i =1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)= 记 Z=X+ Y。 ()求 (分数:2.00)_27.某箱装有 100件产品,其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件,现在从中随机抽取一件,记 (分数:2.00)_28.设各零件的质量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为 05kg,均方差为01kg,问 5 000只零件的总质量超过

9、 2 510kg的概率是多少?(分数:2.00)_29.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_30.设总体 X服从几何分布: p(x;p)=p(1 一 p) x1 (x=1,2,3,), 如果取得样本观测值为 x 1 ,x 2 ,x n ,求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。(分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 1答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设随机事件 A与 B互不相容,则( ) (分数:2.00)A.B.C.

10、D. 解析:3.设 A,B 为随机事件,P(A)0,则 P(B|A)=1 不等价于( )(分数:2.00)A.P(AB)=0B.P(BA)=0 C.P(AB)0D.P(BA)0解析:解析:P(B|A)= P(AB)=P(A),然而 P(BA)=P(B)P(AB),所以选项 B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的,事实上:4.某射手的命中率为 p(0p1),该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )(分数:2.00)A.p k (1p) nkB.C n k p k (1p) nkC.C n1 k1 p k (1p nk D.C n1 k1 p k1 (1p) nk解析:解析:

11、n 次射击视为 n次重复独立试验,每次射击命中概率为 p,没有命中的概率为 1p,设事件 A=“射击 n次命中 k次”=“前 n1次有 k1次击中,且第 n次也击中”,则 P(A)=C k1 n1 p k1 (1p) n1(k1) p=C k1 n1 p k (1p) nk 。 应选 C。5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量,Y 是连续型随机变量,则随机变量 X+Y的分布函数( )(分数:2.00)A.是连续函数 B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点解析:解析:对任意实数 t,根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t,X=a+JPX+Y=t,X=b =PY=ta,X

12、=a+PY=tb,X=b PY=ta+PY=tb, 又 Y是连续型随机变量,所以对任意实数 c,有PY=c=0。故对任意实数 t,PX+Y=t=06.设随机变量 X的密度函数为 f X (x),Y=2X +3,则 Y的密度函数为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:y=2x+3 是 x的单调可导函数,其反函数 x=h(y)= 根据随机变量函数的公式:7.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PX x,Yy等于( )(分数:2.00)A.1F(x,y)B.1F X (x)F Y (y)C.F(x,y)F X (x)

13、F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (y)+F(x,y)1解析:解析:记事件 A=Xx,B=Yy,则 PX x,Yy =P( 8.设相互独立的两随机变量 X,Y 均服从0,3上的均匀分布,则 P1max(X,Y)2的值为( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:P1max(X,Y)2=Pmax(X,Y)2Pmax(X,Y)1 =PX2,Y2PX1,Y1 =PX2Py2一 PX1Py19.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n (n1)独立同分布,且其方差 2 0,令 Y= 则( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:因为 Cov(X 1 ,Y)= Cov(

14、X 1 ,X i ) 。而由 X 1 ,X 2 ,X n 相互独立,可得 Cov(X 1 ,X i )=0,i=2,3,n。所以 Cov(X 1 ,Y)= 10.将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于( )(分数:2.00)A.1 B.0C.D.1解析:解析:根据题意,Y=nX,故 XY =1。应选 A。一般来说,两个随机变量 X与 y的相关系数 XY 满足| XY |1。若 Y=aX+b(a,b 为常数),则当 a0 时, XY =1,当 a0 时, XY =1。11.设 X 1 ,X 2 ,X m 是取自正态总体 N(0, 2 )的

15、简单随机样本,X 与 S 2 分别是样本均值与样本方差,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据正态总体抽样分布公式知二、填空题(总题数:9,分数:18.00)12.若在区间(0,1)上随机地取两个数 u,则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设事件 A=“方程 x 2 2x+u=0 有实根”,因 u, 是从(0, 1)中任意取的两个数,因此点(u,)与正方形区域 D内的点一一对应(如图 313所示), 其中 D=(u,)|0u1,01。事件 A=(u,)|(2) 2 4

16、u0,(u,)D,阴影 D 1 满足事件 A,其中 D 1 =(u,)| 2 u,0u,1。利用几何型概率公式,有 13.每箱产品有 10件,其中次品数从 0到 2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为 2 ,一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品,通过验收的概率 p= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0892)解析:解析:设事件 A=“一件产品能够通过验收”,则 P(A)=p。事件 B=“任取一件产品为正品”, =“任取一件产品为次品”,则 A= 根据题设可知 =

17、098P(B)+1P(B)01 =01+088P(B)。 显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关,利用全概率公式计算 P(B)。 设 C i =“每箱产品含 i件次品”(i=0,1,2),则 C 0 ,C 1 ,C 2 是一完备事件组,P(C 1 )= ,故B=C 0 B C 1 BC 2 B,且 P(B)=P(C 0 )P(B| C 0 )+P(C 1 )P(B|C 1 )+P(C 2 )P(B|C 2 ) 14.假设 X服从参数 的指数分布,对 X做三次独立重复观察,至少有一次观测值大于 2的概率为(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据独立试验序列概

18、型,可求得结果。事实上,已知 记 A=X2,Y 为对 X做三次独立重复观察事件 A发生的次数,则 YB(3,p),其中 p=PX2= 2 + e x dx=e 2 ,依题意 PY1=1PY=0=1 一(1 一 p) 3 = 15.设随机变量 XN(, 2 ),且二次方程 y 2 +4y +X=0无实根的概率为 05,则 = 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y +X=0无实根”,则 A=164X0=X4,依题意,有P(A)=Px4= 。 而 16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= (分数:2.0

19、0)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),求满足一定条件的概率 Pg(X,Y)z 0 ,一般可转化为二重积分 Pg(X, 17.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布,则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意可知,XYN(0,2),其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0处,最大值为18.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a,b)上的均匀分布,则圆盘面积的数学期望为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案

20、:*)解析:解析:设圆盘直径为 X,其概率密度为19.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,其中 X服从区间0,6上的均匀分布,X 2 服从正态分布N(0,2 2 ),X 3 服从参数为 3的泊松分布,则 D(X 1 2X 2 +3X 3 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:46)解析:解析:根据题设可知,D(X 1 )= 20.设 X 1 ,X 2 ,X n 为取自总体 XN(, 2 )的简单随机样本,记样本方差为 S 2 ,则D(S 2 ) 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据性质 2 (n1)及 D 2

21、 (n1)=2(n1), 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22.已知 P(A)=05,P(B)=07,则()在怎样的条件下,P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下,P(AB)取得最小值?最小值是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 )解析:23.随机地向圆 x 2 + y 2 =2x内投一点,该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比,令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角,求 X的分布函数和概率密度。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)为

22、X的分布函数,则 F(x)=PXx,由于 F(x)=0 的取值范围为0, ,因此当 x0 时,F(x)=0;当 x 时,F(x)=1。 当 0x ,Xx 所代表的区域如图 325中阴影部分。 现计算它的面积,如图所示,阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 每个扇形的面积均为 S 2 = 2x1 2 =z,则阴影部分的总面积 S(x)=sin2x+2x,所以 )解析:24.袋中有 1个红球,2 个黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1|Z=0;()求二维随机变量(X,Y)的概率

23、分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()在没有取白球的情况下取了一次红球,根据压缩样本空间原则,相当于只有 1个红球,2 个黑球放回摸两次,其中摸了一个红球。所以 )解析:25.设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布,当 X取到 x(0x1)时,随机变量 Y等可能地在(x,1)上取值。试求:()(X,Y)的联合概率密度;()关 Y的边缘概率密度函数;()PX+Y1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据题设 X在(0,1)上服从均匀分布,因此其概率密度函数为 而变量 Y,在 X=x的条件下,在区间(x,1)上服从均匀分布,所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的

24、定义,可得联合概率密度 f(x,y)=f X (x)f Y|X (y|x)= ()根据求得的联合概率密度,不难求出关于 Y的边缘概率密度 f Y (y)=f(x,y)dx= =ln(1y)。 ()如图334所示 )解析:26.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i =1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)= 记 Z=X+ Y。 ()求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.某箱装有 100件产品,其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件,现在从中随机抽取一件,记 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()(X 1 ,X 2 )是

25、二维离散型随机变量,其可能的取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。 当(X 1 ,X 2 )=(0,0)时,说明随机抽取的一件不是一等品,也不是二等品,则必为三等品,故 PX 1 =0,X 2 =0=PX 3 =1=01。 类似地 PX 1 =0,X 2 =1=PX 2 =1=01, PX 1 =1,X 2 =0=PX 1 =1=08, PX 1 =1,X 2 =1=P =0, 故 X 1 与 X 2 的联合分布: ()由()知,X 1 和 X 2 的边缘分布均为 01分布。由 01分布的期望和方差公式得 E(X 1 )=PX 1 =1=08,D(X 1 )=PX 1 =1PX

26、 1 =0=0802=016, E(X 2 )=PX 2 =1=01,D(X 2 )=PX 2 =lPX 2 =0=0109=009, E(X 1 X 2 )=0001 +0101 +1008 +11 x0=0 Cov(X 1 ,X 2 )=E(X 1 X 2 )E(X 1 )E(X 2 )=008, 则相关系数 )解析:28.设各零件的质量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为 05kg,均方差为01kg,问 5 000只零件的总质量超过 2 510kg的概率是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据独立同分布中心极限定理,设 X i 表示第 i只零件的质量(

27、i=1,2,5 000),且 E(X i )=05,D(X i )=01 2 。设总质量为 Y= 则有 E(Y) =5 00005 =2 500,D(Y) =5 00001 2 =50,根据独立同分布中心极限定理可知 Y近似服从正态分布 N(2 500,50),而 近似服从标准正态分布 N(0,1)所求概率为 )解析:29.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记似然函数为 L(),则 两边取对数得 lnL()=Nln+(nN)ln(l), )解析:30.设总体 X服从几何分布: p(x;p)=p(1 一 p) x1 (x=1,2,3,), 如果取得样本观测值为 x 1 ,x 2 ,x n ,求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:已知总体 X的概率函数的未知参数为 p,且总体 X的一阶原点矩为 用样本一阶原点矩的观测值 作为 1 (X)的估计值,则可得参数 p的估计值为 所以可得参数 p的矩估计值为 参数 p的似然函数为 两边同时取对数,并对参数 p求导,令导函数取值为 0, 解上述含参数 p的方程,即得到 p的最大似然估计值为 )解析:

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