1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 1及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A与 B互不相容，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为随机事件，P（A）0，则 P（B|A）=1 不等价于（ ）（分数：2.00）A.P（AB）=0B.P（BA）=0C.P（AB）0D.P（BA）04.某射手的命中率为 p（0p1），该射手连续射击 n次才命中 k次（kn）的概率为（ ）（分数：2.00）A.p k （1p） nkB.C
2、n k p k （1p） nkC.C n1 k1 p k （1p nkD.C n1 k1 p k1 （1p） nk5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数（ ）（分数：2.00）A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点6.设随机变量 X的密度函数为 f X （x），Y=2X +3，则 Y的密度函数为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量（X，Y）的分布函数为 F（x，y），边缘分布为 F X （x）和 F Y （y），则概率 PX x，Yy等于（ ）（分数：2.00）A.1F（x，y）B.1F
3、X （x）F Y （y）C.F（x，y）F X （x）F Y （y）+1D.F X （x）+F Y （y）+F（x，y）18.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max（X，Y）2的值为（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n （n1）独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= 则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（ ）（分数：2.00）A.1B.0C.D.111.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取自正态总体 N（0
4、， 2 ）的简单随机样本，X 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.若在区间（0，1）上随机地取两个数 u，则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2 ，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.
5、假设 X服从参数 的指数分布，对 X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 XN（， 2 ），且二次方程 y 2 +4y +X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （分数：2.00）填空项 1:_17.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.某车间生产的圆盘其直径服从区间（a，b）上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空
6、项 1:_19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N（0，2 2 ），X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D（X 1 2X 2 +3X 3 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN（， 2 ）的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则D（S 2 ） 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 P（A）=05，P（B）=07，则（）在怎样的条件下，P
7、（AB）取得最大值？最大值是多少？（）在怎样的条件下，P（AB）取得最小值？最小值是多少？（分数：2.00）_23.随机地向圆 x 2 + y 2 =2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数和概率密度。（分数：2.00）_24.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求 PX=1|Z=0；（）求二维随机变量（X，Y）的概率分布。（分数：2.00）_25.设随机变量 X在区间（0，1）上服从均匀分布，当 X取
8、到 x（0x1）时，随机变量 Y等可能地在（x，1）上取值。试求：（）（X，Y）的联合概率密度；（）关 Y的边缘概率密度函数；（）PX+Y1。（分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= （i =1，0，1），Y 的概率密度为 f Y （y）= 记 Z=X+ Y。 （）求 （分数：2.00）_27.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.00）_28.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5 000只零件的总质量超过
9、 2 510kg的概率是多少？（分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_30.设总体 X服从几何分布： p（x；p）=p（1 一 p） x1 （x=1，2，3，）， 如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 1答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A与 B互不相容，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.
10、D. 解析：3.设 A，B 为随机事件，P（A）0，则 P（B|A）=1 不等价于（ ）（分数：2.00）A.P（AB）=0B.P（BA）=0 C.P（AB）0D.P（BA）0解析：解析：P（B|A）= P（AB）=P（A），然而 P（BA）=P（B）P（AB），所以选项 B正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：4.某射手的命中率为 p（0p1），该射手连续射击 n次才命中 k次（kn）的概率为（ ）（分数：2.00）A.p k （1p） nkB.C n k p k （1p） nkC.C n1 k1 p k （1p nk D.C n1 k1 p k1 （1p） nk解析：解析：
11、n 次射击视为 n次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1p，设事件 A=“射击 n次命中 k次”=“前 n1次有 k1次击中，且第 n次也击中”，则 P（A）=C k1 n1 p k1 （1p） n1（k1） p=C k1 n1 p k （1p） nk 。 应选 C。5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数（ ）（分数：2.00）A.是连续函数 B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点解析：解析：对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+JPX+Y=t，X=b =PY=ta，X
12、=a+PY=tb，X=b PY=ta+PY=tb， 又 Y是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有PY=c=0。故对任意实数 t，PX+Y=t=06.设随机变量 X的密度函数为 f X （x），Y=2X +3，则 Y的密度函数为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=2x+3 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h（y）= 根据随机变量函数的公式：7.设随机变量（X，Y）的分布函数为 F（x，y），边缘分布为 F X （x）和 F Y （y），则概率 PX x，Yy等于（ ）（分数：2.00）A.1F（x，y）B.1F X （x）F Y （y）C.F（x，y）F X （x）
13、F Y （y）+1 D.F X （x）+F Y （y）+F（x，y）1解析：解析：记事件 A=Xx，B=Yy，则 PX x，Yy =P（ 8.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max（X，Y）2的值为（ ）（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：P1max（X，Y）2=Pmax（X，Y）2Pmax（X，Y）1 =PX2，Y2PX1，Y1 =PX2Py2一 PX1Py19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n （n1）独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= 则（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 Cov（X 1 ，Y）= Cov（
14、X 1 ，X i ） 。而由 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，可得 Cov（X 1 ，X i ）=0，i=2，3，n。所以 Cov（X 1 ，Y）= 10.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（ ）（分数：2.00）A.1 B.0C.D.1解析：解析：根据题意，Y=nX，故 XY =1。应选 A。一般来说，两个随机变量 X与 y的相关系数 XY 满足| XY |1。若 Y=aX+b（a，b 为常数），则当 a0 时， XY =1，当 a0 时， XY =1。11.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取自正态总体 N（0， 2 ）的
15、简单随机样本，X 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.若在区间（0，1）上随机地取两个数 u，则关于 x的一元二次方程 x 2 2x+u=0 有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=“方程 x 2 2x+u=0 有实根”，因 u， 是从（0， 1）中任意取的两个数，因此点（u，）与正方形区域 D内的点一一对应（如图 313所示）， 其中 D=（u，）|0u1，01。事件 A=（u，）|（2） 2 4
16、u0，（u，）D，阴影 D 1 满足事件 A，其中 D 1 =（u，）| 2 u，0u，1。利用几何型概率公式，有 13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2 ，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0892）解析：解析：设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P（A）=p。事件 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 A= 根据题设可知 =
17、098P（B）+1P（B）01 =01+088P（B）。 显然 P（B）与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P（B）。 设 C i =“每箱产品含 i件次品”（i=0，1，2），则 C 0 ，C 1 ，C 2 是一完备事件组，P（C 1 ）= ，故B=C 0 B C 1 BC 2 B，且 P（B）=P（C 0 ）P（B| C 0 ）+P（C 1 ）P（B|C 1 ）+P（C 2 ）P（B|C 2 ） 14.假设 X服从参数 的指数分布，对 X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据独立试验序列概
18、型，可求得结果。事实上，已知 记 A=X2，Y 为对 X做三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB（3，p），其中 p=PX2= 2 + e x dx=e 2 ，依题意 PY1=1PY=0=1 一（1 一 p） 3 = 15.设随机变量 XN（， 2 ），且二次方程 y 2 +4y +X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y +X=0无实根”，则 A=164X0=X4，依题意，有P（A）=Px4= 。 而 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （分数：2.0
19、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y），求满足一定条件的概率 Pg（X，Y）z 0 ，一般可转化为二重积分 Pg（X， 17.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知，XYN（0，2），其概率密度函数 f（x）的最大值在 x=0处，最大值为18.某车间生产的圆盘其直径服从区间（a，b）上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
20、：*）解析：解析：设圆盘直径为 X，其概率密度为19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N（0，2 2 ），X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D（X 1 2X 2 +3X 3 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D（X 1 ）= 20.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN（， 2 ）的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则D（S 2 ） 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据性质 2 （n1）及 D 2
21、 （n1）=2（n1）， 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 P（A）=05，P（B）=07，则（）在怎样的条件下，P（AB）取得最大值？最大值是多少？（）在怎样的条件下，P（AB）取得最小值？最小值是多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于 )解析：23.随机地向圆 x 2 + y 2 =2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数和概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F（x）为
22、X的分布函数，则 F（x）=PXx，由于 F（x）=0 的取值范围为0， ，因此当 x0 时，F（x）=0；当 x 时，F（x）=1。 当 0x ，Xx 所代表的区域如图 325中阴影部分。 现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 每个扇形的面积均为 S 2 = 2x1 2 =z，则阴影部分的总面积 S（x）=sin2x+2x，所以 )解析：24.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求 PX=1|Z=0；（）求二维随机变量（X，Y）的概率
23、分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以 )解析：25.设随机变量 X在区间（0，1）上服从均匀分布，当 X取到 x（0x1）时，随机变量 Y等可能地在（x，1）上取值。试求：（）（X，Y）的联合概率密度；（）关 Y的边缘概率密度函数；（）PX+Y1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题设 X在（0，1）上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量 Y，在 X=x的条件下，在区间（x，1）上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的
24、定义，可得联合概率密度 f（x，y）=f X （x）f Y|X （y|x）= （）根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密度 f Y （y）=f（x，y）dx= =ln（1y）。 （）如图334所示 )解析：26.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= （i =1，0，1），Y 的概率密度为 f Y （y）= 记 Z=X+ Y。 （）求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）（X 1 ，X 2 ）是
25、二维离散型随机变量，其可能的取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。 当（X 1 ，X 2 ）=（0，0）时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故 PX 1 =0，X 2 =0=PX 3 =1=01。 类似地 PX 1 =0，X 2 =1=PX 2 =1=01， PX 1 =1，X 2 =0=PX 1 =1=08， PX 1 =1，X 2 =1=P =0， 故 X 1 与 X 2 的联合分布： （）由（）知，X 1 和 X 2 的边缘分布均为 01分布。由 01分布的期望和方差公式得 E（X 1 ）=PX 1 =1=08，D（X 1 ）=PX 1 =1PX
26、 1 =0=0802=016， E（X 2 ）=PX 2 =1=01，D（X 2 ）=PX 2 =lPX 2 =0=0109=009， E（X 1 X 2 ）=0001 +0101 +1008 +11 x0=0 Cov（X 1 ，X 2 ）=E（X 1 X 2 ）E（X 1 ）E（X 2 ）=008， 则相关系数 )解析：28.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5 000只零件的总质量超过 2 510kg的概率是多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，设 X i 表示第 i只零件的质量（
27、i=1，2，5 000），且 E（X i ）=05，D（X i ）=01 2 。设总质量为 Y= 则有 E（Y） =5 00005 =2 500，D（Y） =5 00001 2 =50，根据独立同分布中心极限定理可知 Y近似服从正态分布 N（2 500，50），而 近似服从标准正态分布 N（0，1）所求概率为 )解析：29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记似然函数为 L（），则 两边取对数得 lnL（）=Nln+（nN）ln（l）， )解析：30.设总体 X服从几何分布： p（x；p）=p（1 一 p） x1 （x=1，2，3，）， 如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知总体 X的概率函数的未知参数为 p，且总体 X的一阶原点矩为 用样本一阶原点矩的观测值 作为 1 （X）的估计值，则可得参数 p的估计值为 所以可得参数 p的矩估计值为 参数 p的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 p的方程，即得到 p的最大似然估计值为 )解析：
