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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷25及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 25及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0,则( )(分数:2.00)A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0 或 P(B)=03.设 A 1 ,A 2 和 B是任意事件,且 0P(B)1,P (A 1 A 2 )|B=P(A 1 |B)+ P(A 2 |B),则( )(分数:2.00)A.P(A 1 A 2 )=P(A 1

2、 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A|B)+P(A 2 B)D.P(A 1 A 2 ) 4.A、B、C 三个随机事件必相互独立,如果它们满足条件( )(分数:2.00)A.A,B,C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(AB)=1D.P(AB)=05.假设 X为随机变量,则对任意实数 a,概率 PX=a=0的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数6.设随机变量 X的密度函数为 (x),且

3、(x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数a,有( )(分数:2.00)A.F(a)=1 0 (x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)17.设随机变量 X和 Y独立同分布,已知 PX=k=p(1p) k1 ,k=1,2,0p1,则 PXY的值为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2,则随机变量 3X2Y的方差是( )(分数:2.00)A.8B.16C.28D.449.已知(X,Y)服从二维正态分布,E(X)=E(Y)=,D(X)=D(Y)= 2 ,X 和 Y的相关系数=0,则 X和 Y(

4、 )(分数:2.00)A.独立且有相同的分布B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布10.设 X 1 ,X 2 ,X m 和 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(, 2 )的两个相互独立的简单随机样本,记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ,则统计量 T=(n1)(S X 2 +S Y 2 )的方差 D(r)=( )(分数:2.00)A.2n 4B.2(n1) 4C.4n 4D.4(n1) 4二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 (分数:2.00)填空

5、项 1:_12.三个箱子,第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球,第二个箱中有 3个黑球和 3个白球,第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子,从中任取 1个球,则这个球为白球的概率是 1;若已发现取出的这个球是白球,则它不是取自第二个箱子的概率是 2。(分数:2.00)填空项 1:_13.设随机变量 x服从几何分布 G(,其中 01,若 PX2= (分数:2.00)填空项 1:_14.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=0025,则概率P|X|4= 1。(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_15.已

6、知(X,Y)的概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_16.设(X,Y)N(,; 2 , 2 ;0),则 PXY= 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.已知随机变量 X服从(1,2)上的均匀分布,在 X=x条件下 Y服从参数为戈的指数分布,则 E(XY)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= (分数:2.00)填空项 1:_19.假设总体 X服从标准正态分布,X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X的简单随机样本,则统计量 Y

7、1 = (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.设事件 A与 B互不相容,P(4)=04,P(B)=03,求 (分数:2.00)_22.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数,求:()在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率;()二维随机变量(X,Y)的概率分布。(分数:2.00)_24.

8、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= (分数:2.00)_25.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,试求: ()U=XY 的概率密度 f U (u); ()V=|XY|的概率密度 f V ()。(分数:2.00)_26.设 A,B 为随机事件,且 (分数:2.00)_27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位:毫米)服从正态分布 N(,1),内径小于 10或大于12的为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位:元)与销售零件的内径 X有如下关系: (分数:2.00)_28.根据以往经验,某种电器元件的寿命

9、服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1 920小时的概率。(分数:2.00)_29.设总体 X的分布函数为 (分数:2.00)_30.设总体 X的概率分布为 其中 (0 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 25答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0,则( )(分数:2.00)A.A和 B不相容(互斥)B.

10、AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P(A)=0 或 P(B)=0解析:解析:不可能事件与零概率事件之间的区别和联系:不可能事件发生的概率为零,但零概率事件未必是不可能事件。由 P(AB)=0 不能推出 AB是不可能事件,故选 C。3.设 A 1 ,A 2 和 B是任意事件,且 0P(B)1,P (A 1 A 2 )|B=P(A 1 |B)+ P(A 2 |B),则( )(分数:2.00)A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A|B)+P(A 2 B) D.P(A

11、 1 A 2 ) 解析:解析:由题设知,P(A 1 A 2 |B)=0,但是这不能保证 P(A|A 2 )=0 和 P(A 1 A 2 |B)=0,故选项 A和 D不成立。由于 P(A 1 |B) +P(A 2 |B)=P(A 1 A 2 ) |B)未必等于 P(A 1 +A 2 ),因此 B一般也不成立。由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 ) |B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B),可见选项 C成立: 4.A、B、C 三个随机事件必相互独立,如果它们满足条件( )(分数:2.00)A.A,B,C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(AB)=1 D.P(AB)

12、=0解析:解析:当 P(AB)=1 成立时,5.假设 X为随机变量,则对任意实数 a,概率 PX=a=0的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析:解析:对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件,因此选项 B、D 不能选,又离散型随机变量必有 a使 PX=a0,选项 A不能选,故正确选项是 C。事实上,PX=a=0 F(a)F(a0)=0 对任意实数 a,F(a)=F(a0)6.设随机变量 X的密度函数为 (x),且 (x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任

13、意实数a,有( )(分数:2.00)A.F(a)=1 0 (x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)1解析:解析:如图 324所示,F(一 a)= a (x)dx= 一 a 0 (x)dx,而 a 0 (x)dx= a 0 (x)dx,所以 F(a)= 0 a (x)dx。故选项 B正确。 7.设随机变量 X和 Y独立同分布,已知 PX=k=p(1p) k1 ,k=1,2,0p1,则 PXY的值为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:根据对称性得知 PXY=PXY= 1PX=Y。8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2,则随机

14、变量 3X2Y的方差是( )(分数:2.00)A.8B.16C.28D.44 解析:解析:根据方差的运算性质 D(C)=0(C 为常数),D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)可得 D(3X2Y)=9D(X) +4D(Y)=44。故选项 D正确。9.已知(X,Y)服从二维正态分布,E(X)=E(Y)=,D(X)=D(Y)= 2 ,X 和 Y的相关系数=0,则 X和 Y( )(分数:2.00)A.独立且有相同的分布 B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布解析:解析:二维正态分布独立和不相关等价,故首先可以得到

15、 X和 Y独立;又(X,Y)服从二维正态分布,故其边缘分布服从一维正态分布,且 XN(, 2 ),YN(, 2 )。所以选 A。10.设 X 1 ,X 2 ,X m 和 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(, 2 )的两个相互独立的简单随机样本,记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ,则统计量 T=(n1)(S X 2 +S Y 2 )的方差 D(r)=( )(分数:2.00)A.2n 4B.2(n1) 4C.4n 4D.4(n1) 4 解析:解析:根据已知可得 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之

16、差的绝对值小于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:这是一个几何概型,设 x,y 为所取的两个数,则样本空间 =(x,y)|0 x,y1,记 A=(x,y)|(x,y),|xy| 。 所以 P(A)= 12.三个箱子,第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球,第二个箱中有 3个黑球和 3个白球,第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子,从中任取 1个球,则这个球为白球的概率是 1;若已发现取出的这个球是白球,则它不是取自第二个箱子的概率是 2。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:设事件 A i =“取到第 i

17、箱”,i=1,2,3,B=“取到白球”,则第一个空应为 P(B),第二个空应为 显然 A 1 ,A 2 ,A 3 是一完备事件组,由题意可得 P(A i )= ,i=1,2,3,P(B|A 1 ) = 根据全概率公式和贝叶斯公式,可得 13.设随机变量 x服从几何分布 G(,其中 01,若 PX2= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:PX2 =PX=1 +PX=2 =(1) 11 + (10) 21 =2 2 = 解得 (舍),故 PX=3=(1 一 ) 2 = 14.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=0025,则

18、概率P|X|4= 1。(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0294 6)解析:解析:要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率,首先必须求出分布参数 与 。根据题意有15.已知(X,Y)的概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:03)解析:解析:由于 01 +02+Q+p +01 +02=06 +a+=1,即 +=04, 又 05=PX 2 + Y 2 =1=PX 2 =0,Y 2 =1 +PX 2 =1,Y 2 =0 =PX=0,Y=1+PX=0,Y=一 1+PX=1,Y=0 =+01 +01。 故

19、=03,=01。 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1,Y 2 =1=PX=1,Y=l+PX=1,Y=1 =02+=03。16.设(X,Y)N(,; 2 , 2 ;0),则 PXY= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:17.已知随机变量 X服从(1,2)上的均匀分布,在 X=x条件下 Y服从参数为戈的指数分布,则 E(XY)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:根据题设知 f Y|X (y|x)= 所以(X,Y)的联合密度函数 f(x,y)=fx(x)f Y|X (y|x)= E(XY)= + + xy

20、f(xy)dxdy= 1 2 dx 0 + xyxe xy dy= 1 2 2x 18.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,则 X 1 2 ,X 2 2 ,X 3 2 相互独立。又因 E(X i )=0,E(X 1 2 )=D(X 1 )= 2 。故 D(y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 一 E 2 (X 1 X 2 X

21、 3 ) =EX 1 2 X 2 2 X 3 2 E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 19.假设总体 X服从标准正态分布,X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X的简单随机样本,则统计量 Y 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t)填空项 1:_ (正确答案:2)填空项 1:_ (正确答案:n1)解析:解析:根据简单随机样本的性质,X 1 ,X 2 ,X n 是相互独立且同服从分布 N(0,1),所以 X 1 X 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立,X 1 与 X i

22、 2 也相互独立,且有 X 1 X 2 N(0,2), N(0,1),X 3 2 +X 4 2 X 2 (2), X i 2 2 (n1),所以 三、解答题(总题数:11,分数:22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.设事件 A与 B互不相容,P(4)=04,P(B)=03,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 A与 B互不相容,所以 )解析:22.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x1 时,F(x)=0;当 1x2 时,则 当 x2 时,F(x)=1。综上所述,X 的分布函数 F(x)

23、为 )解析:23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数,求:()在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率;()二维随机变量(X,Y)的概率分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()P Y=mX=n=C n m p m (1p) nm ,0 m, n,n=0,1,2,。 )解析:24.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()当 x0 时,f X (x)=0;当 x0 时,f X (x)=e y dy=e x ,即

24、 当y0 时,f Y (y)=0;当 f 1 (x)f 2 (x)=0 时,f Y (y)= 0 x e y dx=ye y ,即 ()X1,Y1 所对应的区域如图 333所示: )解析:25.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,试求: ()U=XY 的概率密度 f U (u); ()V=|XY|的概率密度 f V ()。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据 X与 Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度。 ()分布函数法。根据题设知(X,Y)联合概率密度 f(x,y)=f X (x)f Y (y)= 所以 U=X

25、Y的分布函数为(如图 339所示) F U (M)=PXYu= (1)当u0 时,F U (u)=0;当 u1 时,F U (u)=1; (2)当 0u1 时, ()公式法。设Z=XY=X+(Y)。其中 X与(Y)独立,概率密度分别为 根据卷积公式得 Z的概率密度 f Z (z)= + (xy)f Y (y)dy= 1 0 f X (xy)dy V=|XY|=|Z|的分布函数为 F V (v)=P|Z|,可得 当 0 时,F V ()=0;当 0 时,F V ()=PvZ= (z)dz。 由此知,当 01 时, F V ()= 1 (z+l)dz+ 0 (1z)dz=2 一 2 ; 当 1 时

26、, F V ()= 1 0dz+ 1 0 (z+1)出+ 0 1 (1 一 z)dz+ 1 0dz=1。 综上可得 )解析:26.设 A,B 为随机事件,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 故(X,Y)的概率分布为 )解析:27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位:毫米)服从正态分布 N(,1),内径小于 10或大于12的为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位:元)与销售零件的内径 X有如下关系: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有 E(T)=1PX10+20P10

27、X125PX12 =(10 一 )+20(12 一 )一 (10 一 )51(12) =25(12 一 )21(10 一 )5, 可知销售利润的数学期望 E(T)是 的函数。要求 E(T)的最大值,令其一阶导数为 0,有 因实际问题一定可取到最值,所以当=11 )解析:28.根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只,设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1 920小时的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据独立同分布中心极限定理,假设 X表示电器元件的寿命,则 X的概率密度为 随机取出 16只元件,其寿命分别用 X

28、 1 ,X 2 ,X 16 表示,且它们相互独立,同服从均值为100的指数分布,则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= 其中 E(X i )=100D(X i )=100 2 ,由此得 由独立同分布中心极限定理可知,Y 近似服从正态分布 N(1 600,16100 2 ),于是 P Y 1 920 =1P Y 1 920 =1 )解析:29.设总体 X的分布函数为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 的概率密度为 当 x i 1(i=1,2,n)时,L()0,取对数可得 )解析:30.设总体 X的概率分布为 其中 (0 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E(X)=0 2 +12(1) +2 2 +3(12) =34,= 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算 (3 +1 +3 +0 +3 +1 +2 +3)=2。 因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L()=4 6 (1) 2 (12) 4 , InL() =ln4+6ln+2ln(1)+4ln(12), 令 =0,得方程 12 2 14+3=0,解得 于是 的最大似然估计值为 )解析:

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