1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 25及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P（AB）=0，则（ ）（分数：2.00）A.A和 B不相容（互斥）B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P（A）=0 或 P（B）=03.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P（B）1，P （A 1 A 2 ）|B=P（A 1 |B）+ P（A 2 |B），则（ ）（分数：2.00）A.P（A 1 A 2 ）=P（A 1
2、 ）+P（A 2 ）B.P（A 1 A 2 ）=P（A 1 |B）+P（A 2 |B）C.P（A 1 BA 2 B）=P（A|B）+P（A 2 B）D.P（A 1 A 2 ） 4.A、B、C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（ ）（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）C.P（AB）=1D.P（AB）=05.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数6.设随机变量 X的密度函数为 （x），且
3、（x）=（x），F（x）为 X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）（分数：2.00）A.F（a）=1 0 （x）dxB.F（a）= C.F（a）=F（a）D.F（a）=2F（a）17.设随机变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p（1p） k1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X2Y的方差是（ ）（分数：2.00）A.8B.16C.28D.449.已知（X，Y）服从二维正态分布，E（X）=E（Y）=，D（X）=D（Y）= 2 ，X 和 Y的相关系数=0，则 X和 Y（
4、 ）（分数：2.00）A.独立且有相同的分布B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布10.设 X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N（， 2 ）的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，则统计量 T=（n1）（S X 2 +S Y 2 ）的方差 D（r）=（ ）（分数：2.00）A.2n 4B.2（n1） 4C.4n 4D.4（n1） 4二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空
5、项 1:_12.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 x服从几何分布 G（，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X服从正态分布 N（， 2 ），已知 PX2=0062，PX9=0025，则概率P|X|4= 1。（154）=0938，（196）=0975）（分数：2.00）填空项 1:_15.已
6、知（X，Y）的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_16.设（X，Y）N（，； 2 ， 2 ；0），则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知随机变量 X服从（1，2）上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为戈的指数分布，则 E（XY）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N（0， 2 ），如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D（Y）= （分数：2.00）填空项 1:_19.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y
7、1 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设事件 A与 B互不相容，P（4）=04，P（B）=03，求 （分数：2.00）_22.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 （0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：（）在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（）二维随机变量（X，Y）的概率分布。（分数：2.00）_24.
8、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （分数：2.00）_25.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： （）U=XY 的概率密度 f U （u）； （）V=|XY|的概率密度 f V （）。（分数：2.00）_26.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_27.设由流水线加工的某种零件的内径 X（单位：毫米）服从正态分布 N（，1），内径小于 10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_28.根据以往经验，某种电器元件的寿命
9、服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1 920小时的概率。（分数：2.00）_29.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率分布为 其中 （0 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 25答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A和 B同时出现的概率 P（AB）=0，则（ ）（分数：2.00）A.A和 B不相容（互斥）B.
10、AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P（A）=0 或 P（B）=0解析：解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P（AB）=0 不能推出 AB是不可能事件，故选 C。3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P（B）1，P （A 1 A 2 ）|B=P（A 1 |B）+ P（A 2 |B），则（ ）（分数：2.00）A.P（A 1 A 2 ）=P（A 1 ）+P（A 2 ）B.P（A 1 A 2 ）=P（A 1 |B）+P（A 2 |B）C.P（A 1 BA 2 B）=P（A|B）+P（A 2 B） D.P（A
11、 1 A 2 ） 解析：解析：由题设知，P（A 1 A 2 |B）=0，但是这不能保证 P（A|A 2 ）=0 和 P（A 1 A 2 |B）=0，故选项 A和 D不成立。由于 P（A 1 |B） +P（A 2 |B）=P（A 1 A 2 ） |B）未必等于 P（A 1 +A 2 ），因此 B一般也不成立。由 P（B）0 及 P（A 1 A 2 ） |B）=P（A 1 |B）+P（A 2 |B），可见选项 C成立： 4.A、B、C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（ ）（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）C.P（AB）=1 D.P（AB）
12、=0解析：解析：当 P（AB）=1 成立时，5.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析：解析：对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a使 PX=a0，选项 A不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F（a）F（a0）=0 对任意实数 a，F（a）=F（a0）6.设随机变量 X的密度函数为 （x），且 （x）=（x），F（x）为 X的分布函数，则对任
13、意实数a，有（ ）（分数：2.00）A.F（a）=1 0 （x）dxB.F（a）= C.F（a）=F（a）D.F（a）=2F（a）1解析：解析：如图 324所示，F（一 a）= a （x）dx= 一 a 0 （x）dx，而 a 0 （x）dx= a 0 （x）dx，所以 F（a）= 0 a （x）dx。故选项 B正确。 7.设随机变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p（1p） k1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性得知 PXY=PXY= 1PX=Y。8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机
14、变量 3X2Y的方差是（ ）（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：根据方差的运算性质 D（C）=0（C 为常数），D（CX）=C 2 D（X）以及相互独立随机变量的方差性质 D（XY）=D（X）+D（Y）可得 D（3X2Y）=9D（X） +4D（Y）=44。故选项 D正确。9.已知（X，Y）服从二维正态分布，E（X）=E（Y）=，D（X）=D（Y）= 2 ，X 和 Y的相关系数=0，则 X和 Y（ ）（分数：2.00）A.独立且有相同的分布 B.独立且有不相同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不相同的分布解析：解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到
15、 X和 Y独立；又（X，Y）服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且 XN（， 2 ），YN（， 2 ）。所以选 A。10.设 X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N（， 2 ）的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，则统计量 T=（n1）（S X 2 +S Y 2 ）的方差 D（r）=（ ）（分数：2.00）A.2n 4B.2（n1） 4C.4n 4D.4（n1） 4 解析：解析：根据已知可得 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之
16、差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间 =（x，y）|0 x，y1，记 A=（x，y）|（x，y），|xy| 。 所以 P（A）= 12.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设事件 A i =“取到第 i
17、箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P（B），第二个空应为 显然 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P（A i ）= ,i=1，2，3，P（B|A 1 ） = 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得 13.设随机变量 x服从几何分布 G（，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX2 =PX=1 +PX=2 =（1） 11 + （10） 21 =2 2 = 解得 （舍），故 PX=3=（1 一 ） 2 = 14.设随机变量 X服从正态分布 N（， 2 ），已知 PX2=0062，PX9=0025，则
18、概率P|X|4= 1。（154）=0938，（196）=0975）（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0294 6）解析：解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 。根据题意有15.已知（X，Y）的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）解析：解析：由于 01 +02+Q+p +01 +02=06 +a+=1，即 +=04， 又 05=PX 2 + Y 2 =1=PX 2 =0，Y 2 =1 +PX 2 =1，Y 2 =0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一 1+PX=1，Y=0 =+01 +01。 故
19、=03，=01。 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2 =1=PX=1，Y=l+PX=1，Y=1 =02+=03。16.设（X，Y）N（，； 2 ， 2 ；0），则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.已知随机变量 X服从（1，2）上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为戈的指数分布，则 E（XY）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设知 f Y|X （y|x）= 所以（X，Y）的联合密度函数 f（x，y）=fx（x）f Y|X （y|x）= E（XY）= + + xy
20、f（xy）dxdy= 1 2 dx 0 + xyxe xy dy= 1 2 2x 18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N（0， 2 ），如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D（Y）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，则 X 1 2 ，X 2 2 ，X 3 2 相互独立。又因 E（X i ）=0，E（X 1 2 ）=D（X 1 ）= 2 。故 D（y）=D（X 1 X 2 X 3 ）=E（X 1 X 2 X 3 ） 2 一 E 2 （X 1 X 2 X
21、 3 ） =EX 1 2 X 2 2 X 3 2 E（X 1 ）E（X 2 ）E（X 3 ） 2 =E（X 1 2 ）E（X 2 2 ）E（X 3 2 ）=（ 2 ） 3 = 19.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 是相互独立且同服从分布 N（0，1），所以 X 1 X 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立，X 1 与 X i
22、 2 也相互独立，且有 X 1 X 2 N（0，2）， N（0，1），X 3 2 +X 4 2 X 2 （2）， X i 2 2 （n1），所以 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设事件 A与 B互不相容，P（4）=04，P（B）=03，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A与 B互不相容，所以 )解析：22.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，F（x）=0；当 1x2 时，则 当 x2 时，F（x）=1。综上所述，X 的分布函数 F（x）
23、为 )解析：23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 （0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求：（）在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（）二维随机变量（X，Y）的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）P Y=mX=n=C n m p m （1p） nm ，0 m， n，n=0，1，2，。 )解析：24.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）当 x0 时，f X （x）=0；当 x0 时，f X （x）=e y dy=e x ，即
24、 当y0 时，f Y （y）=0；当 f 1 （x）f 2 （x）=0 时，f Y （y）= 0 x e y dx=ye y ，即 （）X1，Y1 所对应的区域如图 333所示： )解析：25.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： （）U=XY 的概率密度 f U （u）； （）V=|XY|的概率密度 f V （）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度。 （）分布函数法。根据题设知（X，Y）联合概率密度 f（x，y）=f X （x）f Y （y）= 所以 U=X
25、Y的分布函数为（如图 339所示） F U （M）=PXYu= （1）当u0 时，F U （u）=0；当 u1 时，F U （u）=1； （2）当 0u1 时， （）公式法。设Z=XY=X+（Y）。其中 X与（Y）独立，概率密度分别为 根据卷积公式得 Z的概率密度 f Z （z）= + （xy）f Y （y）dy= 1 0 f X （xy）dy V=|XY|=|Z|的分布函数为 F V （v）=P|Z|，可得 当 0 时，F V （）=0；当 0 时，F V （）=PvZ= （z）dz。 由此知，当 01 时， F V （）= 1 （z+l）dz+ 0 （1z）dz=2 一 2 ； 当 1 时
26、， F V （）= 1 0dz+ 1 0 （z+1）出+ 0 1 （1 一 z）dz+ 1 0dz=1。 综上可得 )解析：26.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故（X，Y）的概率分布为 )解析：27.设由流水线加工的某种零件的内径 X（单位：毫米）服从正态分布 N（，1），内径小于 10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E（T）=1PX10+20P10
27、X125PX12 =（10 一 ）+20（12 一 ）一 （10 一 ）51（12） =25（12 一 ）21（10 一 ）5， 可知销售利润的数学期望 E（T）是 的函数。要求 E（T）的最大值，令其一阶导数为 0，有 因实际问题一定可取到最值，所以当=11 )解析：28.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1 920小时的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，假设 X表示电器元件的寿命，则 X的概率密度为 随机取出 16只元件，其寿命分别用 X
28、 1 ，X 2 ，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= 其中 E（X i ）=100D（X i ）=100 2 ，由此得 由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N（1 600，16100 2 ），于是 P Y 1 920 =1P Y 1 920 =1 )解析：29.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 当 x i 1（i=1，2，n）时，L（）0，取对数可得 )解析：30.设总体 X的概率分布为 其中 （0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E（X）=0 2 +12（1） +2 2 +3（12） =34，= 的矩估计量为 根据给定的样本观察值计算 （3 +1 +3 +0 +3 +1 +2 +3）=2。 因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L（）=4 6 （1） 2 （12） 4 ， InL（） =ln4+6ln+2ln（1）+4ln（12）， 令 =0，得方程 12 2 14+3=0，解得 于是 的最大似然估计值为 )解析：
