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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 3及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 10件产品中有 4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.以下 4个结论:(1)教室中有 r个学生,则他们的生日都不相同的概率是 ;(2)教室中有 4个学生,则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ;(3)将 C,C,E,E,J,N,S 共 7个字母随机地排成一行,恰好排成英文单

2、词 SCIENCE的概率是 ;(4)袋中有编号为 1到 10的 10个球,今从袋中任取 3个球,则 3个球的最小号码为 5的概率为 (分数:2.00)A.1B.2C.3D.44.设 A,B 是任意两个事件,且 A (分数:2.00)A.P(A)P(AB)B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)5.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ,第二道工序的废品率为 p 2 ,则该零件加工的成品率为 ( )(分数:2.00)A.1p 1 p 2B.1p 1 p 2C.1p 1 p 2 +p 1 p 2D.(1p 1 )+(1p 2 )二、填空题(总题数:6,

3、分数:12.00)6.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_7.事件 A与 B相互独立,P(A)=a,P(B)=b,如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生,则 A,B,C 都不发生的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设事件 A,B,C 两两独立,三个事件不能同时发生,且它们的概率相等,则 P(ABC)的最大值为 1(分数:2.00)填空项 1:_9.设 A,B 是任意两个事件,则 (分数:2.00)填空项 1:_10.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 65”的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_11.一

4、批产品共有 10个正品和 2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:18,分数:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设有大小相同、标号分别为 1,2,3,4,5 的五个球,同时有标号为 1,2,10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中,设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的,并且每个空盒可以放五个以上的球,计算下列事件的概率:(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球;(2)B=每个盒子中最多只有一个球;(3)C=某个指定的盒子不空(分数:2.

5、00)_14.设 10件产品中有 4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率(分数:2.00)_15.设 AB (分数:2.00)_16.设 P(A)0,P(B)0证明:A,B 互不相容与 A,B 相互独立不能同时成立(分数:2.00)_17.证明:若三事件 A,B,C 相互独立,则 AB 及 AB 都与 C独立(分数:2.00)_18.袋中有 5只白球 6只黑球,从袋中一次取出 3个球,发现都是同一颜色,求这颜色是黑色的概率(分数:2.00)_19.甲袋中有 3个白球 2个黑球,乙袋中有 4个白球 4个黑球,今从甲袋中任取 2球放入乙袋,再从乙袋中

6、任取一球,求该球是白球的概率(分数:2.00)_20.有两名选手比赛射击,轮流对同一个目标进行射击,甲命中目标的概率为 ,乙命中目标的概率为 甲先射,谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?(分数:2.00)_21.某彩票每周开奖一次,每次提供十万分之一的中奖机会,且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票,坚持十年(每年 52周),那么他从未中奖的可能性是多少?(分数:2.00)_22.设有甲、乙两名射击运动员,甲命中目标的概率是 06,乙命中目标的概率是 05,求下列事件的概率:(1)从甲、乙中任选一人去射击,若目标被命中,则是甲命中的概率;(2)甲、乙两人各自独立射击,若目标被命中

7、,则是甲命中的概率(分数:2.00)_23.验收成箱包装的玻璃器皿,每箱 24只装统计资料表明,每箱最多有 2只残品,且含 0,1,2 件残品的箱各占 80,15,5现在随意抽取一箱,随意检验其中 4只;若未发现残品则通过验收,否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率;(2)通过验收的箱中确实无残品的概率(分数:2.00)_24.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击,他们的命中率分别为 04,05,07设飞机中一弹而被击落的概率为 02,中两弹而被击落的概率为 06,中三弹必然被击落,今三人各射击一次,求飞机被击落的概率(分数:2.00)_25.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲,决

8、定到三个图书馆去借,对每一个图书馆而言,有无这本书的概率相等;若有,能否借到的概率也相等,假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立,求该生能借到此书的概率(分数:2.00)_26.设昆虫产 k个卵的概率为 (分数:2.00)_27.盒子中有 n个球,其编号分别为 1,2,n,先从盒子中任取一个球,如果是 1号球则放回盒子中去,否则就不放回盒子中;然后,再任取一个球,若第二次取到的是 k(1kn)号球,求第一次取到 1号球的概率(分数:2.00)_28.甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得 1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为 ,乙胜的概率为 (+=1),比赛进行到一人比另一人多 2分为止

9、,多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?(分数:2.00)_29.向半径为 r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x),并求 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)-试卷 3答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 10件产品中有 4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是 ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:设

10、A=两件产品中有一件是不合格品),A 1 =两件产品中一件是不合格品,另一件也是不合格品),A 2 =两件产品中一件是不合格品,另一件是合格品),则 A=A 1 A 2 ,A 1 A 2 = , 求概率 P(A 1 A) P(A 1 A)=P(A 1 )= P(A)=P(A 1 )+P(A 2 )= 所以 P(A 1 A)= 3.以下 4个结论:(1)教室中有 r个学生,则他们的生日都不相同的概率是 ;(2)教室中有 4个学生,则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ;(3)将 C,C,E,E,J,N,S 共 7个字母随机地排成一行,恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 ;(4)袋中有编号为

11、 1到 10的 10个球,今从袋中任取 3个球,则 3个球的最小号码为 5的概率为 (分数:2.00)A.1B.2C.3 D.4解析:解析:对于 4个结论分别分析如下: (1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性,此问题等价于“有 365个盒子,每个盒子中可以放任意多个球,求将 r个球随机放入不同的 r个盒子中的概率”设 A 1 =他们的生日都不相同),则 P(A 1 )= ,正确; (2)设 A 2 =至少有两个人的生日在同一个月),则考虑对立事件, P(A 2 )=1 ,正确; (3)设A 3 =恰好排成 SCIENCE,将 7个字母排成一列的一

12、种排法看做基本事件,所有的排法:字母 C在 7个位置中占两个位置,共有 C 7 2 种占法,字母 E在余下的 5个位置中占两个位置,共有 C 5 2 种占法,字母 I,N,S 剩下的 3个位置上全排列的方法共 3!种,故基本事件总数为 C 7 2 C 5 2 3!=1260, 而 A 3 中的基本事件只有一个,故 P(A 3 )= ,错误; (4)设 A 4 =最小号码为 5,则 P(A 4 )= 4.设 A,B 是任意两个事件,且 A (分数:2.00)A.P(A)P(AB) B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)解析:解析:由于 A5.一种零件的加工由两道工序组

13、成第一道工序的废品率为 p 1 ,第二道工序的废品率为 p 2 ,则该零件加工的成品率为 ( )(分数:2.00)A.1p 1 p 2B.1p 1 p 2C.1p 1 p 2 +p 1 p 2 D.(1p 1 )+(1p 2 )解析:解析:设 A=(成品零件,A i =第 i道工序为成品),i=1,2 P(A 1 )=1p 1 ,P(A 2 )=1p 2 , P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )=(1p 1 )(1p 2 )=1p 1 p 2 +p 1 p 2 故选(C)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为

14、 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知事件 A与 B独立,且 P(AB)= ,P(AB)=P(BA),故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)=P(B), , 所以 1P(AB)= 即7.事件 A与 B相互独立,P(A)=a,P(B)=b,如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生,则 A,B,C 都不发生的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1a)(1b))解析:解析:“事件 C发生必然导致 A与 B同时发生”AB ,于是 8.设事件 A,B,C 两两独立,三个事件不能同时发生,且它们的概率相等,则 P(AB

15、C)的最大值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P( ) =3P(A)3P(A) 2 = 故 P(ABC)的最大值为 9.设 A,B 是任意两个事件,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:10.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 65”的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 A=两数

16、之和小于 65,两数分别为 x,y,由几 何概率如图 3-2所示11.一批产品共有 10个正品和 2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A i 表示“第 i次取的是次品”,i=1,2则有 由全概率公式得 P(A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )+ 三、解答题(总题数:18,分数:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.设有大小相同、标号分别为 1,2,3,4,5 的五个球,同时有标号为 1,2,10 的十个空盒

17、将五个球随机放入这十个空盒中,设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的,并且每个空盒可以放五个以上的球,计算下列事件的概率:(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球;(2)B=每个盒子中最多只有一个球;(3)C=某个指定的盒子不空(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:每个球都有 10种放法,所以,基本事件总数(放法总数)n=10 5 (1)5 个球放入指定的 5个盒子中,事件 A包含的基本事件数为 5!个,所以 P(A)= =00012; (2)事件 B是从10个盒子中任选 5个(共有 C 10 5 种选法),然后将选定的 5个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法),由乘法法则,事件 B包

18、含 C 10 5 5!个基本事件,所以 P(B)= =03024; (3)事件 C的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球”,即“5 个球都放入其他 9个盒子中”, 包含的基本事件数为 9 5 ,所以 P(C)=1 )解析:14.设 10件产品中有 4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设事件 A=从 10件产品中任取两件,有 i件不合格品,i=0,1,2记 B=A 1 A 2 , 按题意所求概率为 P(A 2 B)而 P(A 1 )= ,P(A 2 )= P(B)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P

19、(A 2 )= 因为 B A 2 ,所以 P(A 2 B)=P(A 2 ),应用条件概率公式得 P(A 2 B)= )解析:15.设 AB (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB )解析:16.设 P(A)0,P(B)0证明:A,B 互不相容与 A,B 相互独立不能同时成立(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:一方面,若 A、B 互不相容,则 AB= ,于是 P(AB)=0P(A)P(B)0,所以A、B 不相互独立;另一方面,若 A、B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)0,于是 AB )解析:17.证明:若三事件 A,B,C 相互独立,则 AB 及 AB 都与 C独

20、立(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:P(AB)C)=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C), 即 AB 与 C独立 P(AB)C)= )解析:18.袋中有 5只白球 6只黑球,从袋中一次取出 3个球,发现都是同一颜色,求这颜色是黑色的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=发现是同一颜色,B=全是白色,C=全是黑色,则 A=B+C, 所求概率为 P(CA)= )解析:19.甲袋中有 3个白球 2个黑球,乙袋中有 4个白球 4个黑球,今从甲

21、袋中任取 2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=从乙袋中取出的是白球,B i =从甲袋中取出的两球恰有 i个白球,i=0,1,2 由全概率公式 P(A)=P(B 0 )P(AB 0 )+P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 ) = )解析:20.有两名选手比赛射击,轮流对同一个目标进行射击,甲命中目标的概率为 ,乙命中目标的概率为 甲先射,谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A i =第 i次命中目标,i=1;2,所以 故 P乙获胜=1P(甲获胜)=1

22、)解析:21.某彩票每周开奖一次,每次提供十万分之一的中奖机会,且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票,坚持十年(每年 52周),那么他从未中奖的可能性是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A i =第 i次中奖(i=1,2,520), p=P在一次购买彩票中中奖 则事件 A 1 ,A 2 ,A 520 相互独立,且 p=10 5 所以 P连续购买十年从未中奖= = )解析:22.设有甲、乙两名射击运动员,甲命中目标的概率是 06,乙命中目标的概率是 05,求下列事件的概率:(1)从甲、乙中任选一人去射击,若目标被命中,则是甲命中的概率;(2)甲、乙两人各自独立射击,若目标

23、被命中,则是甲命中的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)该随机试验分为两个阶段:选人,A 甲 ,A 乙 ;射击,B=目标被命中则 P(A 甲 B) (2)该随机试验不分阶段, A 甲 =甲命中,A 乙 =乙命中,B=目标被命中, 则 P(A 甲 B) )解析:23.验收成箱包装的玻璃器皿,每箱 24只装统计资料表明,每箱最多有 2只残品,且含 0,1,2 件残品的箱各占 80,15,5现在随意抽取一箱,随意检验其中 4只;若未发现残品则通过验收,否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率;(2)通过验收的箱中确实无残品的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)

24、设 A i =抽取的一箱中含有 i件次品i=0,1,2,则 A 0 ,A 1 ,A 2 构成完备事件组,且 P(A 0 )=08,P(A 1 )=015,P(A 2 )=005设 B=一次通过验收,则 P(BA 0 )=1,P(BA 1 )= 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式得 )解析:24.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击,他们的命中率分别为 04,05,07设飞机中一弹而被击落的概率为 02,中两弹而被击落的概率为 06,中三弹必然被击落,今三人各射击一次,求飞机被击落的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=飞机被击落,B i =飞机中 i弹,i=1,2,3则 P(A)=

25、P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 )+P(B 3 )P(AB 3 ) =02P(B 1 )+06P(B 2 )+P(B 3 ) 设 C i =第i个人命中,i=1,2,3,则 P(B 1 )= =040503+0605 07+060503=036, P(B 2 )= )解析:25.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲,决定到三个图书馆去借,对每一个图书馆而言,有无这本书的概率相等;若有,能否借到的概率也相等,假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立,求该生能借到此书的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=该生能借到此书,B i =从第 i馆借到,i=

26、1,2,3则 P(B 1 )=P(B 2 )=P(B 3 )=P第 i馆有此书且能借到= 于是 P(A)= )解析:26.设昆虫产 k个卵的概率为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=下一代有 L条,B k =产 k个卵,k=L,L+1,则 )解析:27.盒子中有 n个球,其编号分别为 1,2,n,先从盒子中任取一个球,如果是 1号球则放回盒子中去,否则就不放回盒子中;然后,再任取一个球,若第二次取到的是 k(1kn)号球,求第一次取到 1号球的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=第一次取到 1号球,B=第二次取到 k号球,C=第一次取到 k号球,则 有 P(A

27、)= (1)当 k=1时,因为 所以 (2)当 k1 时,因为 所以 )解析:28.甲、乙两人比赛射击,每个射击回合中取胜者得 1分,假设每个射击回合中,甲胜的概率为 ,乙胜的概率为 (+=1),比赛进行到一人比另一人多 2分为止,多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A=甲最终获胜,B=乙最终获胜在前两次比赛中,若“甲连胜两个回合”,记为 C 1 ,则 P(AC 1 )=1;若“乙连胜两个回合”,记为 C 2 ,则 P(AC 2 )=0;若“甲、乙各胜一个回合”,记为 C 3 ,则前两个回合打平,从第三回合起,

28、比赛相当于从头开始一样,所以 P(AC 3 )=P(A) 显然 P(C 1 )= 2 ,P(C 2 )= 2 ,P(C 3 )=2, 由全概率公式 P(A)=P(AC 1 )P(C 1 )+P(AC 2 )P(C 2 )+P(AC 3 )P(C 3 ) = 2 +0+2P(A) 得 P(A)= 同理有 P(B)=P(BC 1 )P(C 1 )+P(BC 2 )P(C 2 )+P(BC 3 )P(C 3 ) =0+ 2 +2P(B), 可得 P(B)= 因 P(A)+P(B)= )解析:29.向半径为 r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x),并求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 3-6所示,F(x)=PXx)= ,0xr,所以 )解析:

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