1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 3及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.以下 4个结论：(1)教室中有 r个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将 C，C，E，E，J，N，S 共 7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单
2、词 SCIENCE的概率是 ；(4)袋中有编号为 1到 10的 10个球，今从袋中任取 3个球，则 3个球的最小号码为 5的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设 A，B 是任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(AB)B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)5.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1p 1 p 2B.1p 1 p 2C.1p 1 p 2 +p 1 p 2D.(1p 1 )+(1p 2 )二、填空题(总题数：6，
3、分数：12.00)6.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_7.事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 65”的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.一
4、批产品共有 10个正品和 2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球；(2)B=每个盒子中最多只有一个球；(3)C=某个指定的盒子不空（分数：2.
5、00）_14.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率（分数：2.00）_15.设 AB （分数：2.00）_16.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_17.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C独立（分数：2.00）_18.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_19.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中
6、任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_20.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_21.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_22.设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中
7、，则是甲命中的概率（分数：2.00）_23.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有 2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_24.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_25.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决
8、定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_26.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_27.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数：2.00）_28.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止
9、，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_29.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 3答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设
10、A=两件产品中有一件是不合格品)，A 1 =两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品)，A 2 =两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品)，则 A=A 1 A 2 ，A 1 A 2 = ， 求概率 P(A 1 A) P(A 1 A)=P(A 1 )= P(A)=P(A 1 )+P(A 2 )= 所以 P(A 1 A)= 3.以下 4个结论：(1)教室中有 r个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将 C，C，E，E，J，N，S 共 7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 ；(4)袋中有编号为
11、 1到 10的 10个球，今从袋中任取 3个球，则 3个球的最小号码为 5的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：对于 4个结论分别分析如下： (1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r个球随机放入不同的 r个盒子中的概率”设 A 1 =他们的生日都不相同)，则 P(A 1 )= ，正确； (2)设 A 2 =至少有两个人的生日在同一个月)，则考虑对立事件， P(A 2 )=1 ，正确； (3)设A 3 =恰好排成 SCIENCE，将 7个字母排成一列的一
12、种排法看做基本事件，所有的排法：字母 C在 7个位置中占两个位置，共有 C 7 2 种占法，字母 E在余下的 5个位置中占两个位置，共有 C 5 2 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3个位置上全排列的方法共 3！种，故基本事件总数为 C 7 2 C 5 2 3！=1260， 而 A 3 中的基本事件只有一个，故 P(A 3 )= ，错误； (4)设 A 4 =最小号码为 5，则 P(A 4 )= 4.设 A，B 是任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(AB) B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)解析：解析：由于 A5.一种零件的加工由两道工序组
13、成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1p 1 p 2B.1p 1 p 2C.1p 1 p 2 +p 1 p 2 D.(1p 1 )+(1p 2 )解析：解析：设 A=(成品零件，A i =第 i道工序为成品)，i=1，2 P(A 1 )=1p 1 ，P(A 2 )=1p 2 ， P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )=(1p 1 )(1p 2 )=1p 1 p 2 +p 1 p 2 故选(C)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为
14、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知事件 A与 B独立，且 P(AB)= ，P(AB)=P(BA)，故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)=P(B)， ， 所以 1P(AB)= 即7.事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1a)(1b)）解析：解析：“事件 C发生必然导致 A与 B同时发生”AB ，于是 8.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 P(AB
15、C)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P( ) =3P(A)3P(A) 2 = 故 P(ABC)的最大值为 9.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：10.在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 65”的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A=两数
16、之和小于 65，两数分别为 x，y，由几 何概率如图 3-2所示11.一批产品共有 10个正品和 2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A i 表示“第 i次取的是次品”，i=1，2则有 由全概率公式得 P(A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )+ 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒
17、将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球；(2)B=每个盒子中最多只有一个球；(3)C=某个指定的盒子不空（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：每个球都有 10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 5 (1)5 个球放入指定的 5个盒子中，事件 A包含的基本事件数为 5！个，所以 P(A)= =00012； (2)事件 B是从10个盒子中任选 5个(共有 C 10 5 种选法)，然后将选定的 5个盒子中各放入一个球(共有 5！种放法)，由乘法法则，事件 B包
18、含 C 10 5 5！个基本事件，所以 P(B)= =03024； (3)事件 C的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球”，即“5 个球都放入其他 9个盒子中”， 包含的基本事件数为 9 5 ，所以 P(C)=1 )解析：14.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A=从 10件产品中任取两件，有 i件不合格品，i=0，1，2记 B=A 1 A 2 ， 按题意所求概率为 P(A 2 B)而 P(A 1 )= ，P(A 2 )= P(B)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P
19、(A 2 )= 因为 B A 2 ，所以 P(A 2 B)=P(A 2 )，应用条件概率公式得 P(A 2 B)= )解析：15.设 AB （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB )解析：16.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，若 A、B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以A、B 不相互独立；另一方面，若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是 AB )解析：17.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C独
20、立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(AB)C)=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)P(AB)P(C) =P(AB)P(C)， 即 AB 与 C独立 P(AB)C)= )解析：18.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=发现是同一颜色，B=全是白色，C=全是黑色，则 A=B+C， 所求概率为 P(CA)= )解析：19.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，今从甲
21、袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从乙袋中取出的是白球，B i =从甲袋中取出的两球恰有 i个白球，i=0，1，2 由全概率公式 P(A)=P(B 0 )P(AB 0 )+P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 ) = )解析：20.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i次命中目标，i=1；2，所以 故 P乙获胜=1P(甲获胜)=1
22、)解析：21.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i次中奖(i=1，2，520)， p=P在一次购买彩票中中奖 则事件 A 1 ，A 2 ，A 520 相互独立，且 p=10 5 所以 P连续购买十年从未中奖= = )解析：22.设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标
23、被命中，则是甲命中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲 ，A 乙 ；射击，B=目标被命中则 P(A 甲 B) (2)该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中， 则 P(A 甲 B) )解析：23.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有 2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)
24、设 A i =抽取的一箱中含有 i件次品i=0，1，2，则 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，且 P(A 0 )=08，P(A 1 )=015，P(A 2 )=005设 B=一次通过验收，则 P(BA 0 )=1，P(BA 1 )= 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式得 )解析：24.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=飞机被击落，B i =飞机中 i弹，i=1，2，3则 P(A)=
25、P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 )+P(B 3 )P(AB 3 ) =02P(B 1 )+06P(B 2 )+P(B 3 ) 设 C i =第i个人命中，i=1，2，3，则 P(B 1 )= =040503+0605 07+060503=036， P(B 2 )= )解析：25.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=该生能借到此书，B i =从第 i馆借到，i=
26、1，2，3则 P(B 1 )=P(B 2 )=P(B 3 )=P第 i馆有此书且能借到= 于是 P(A)= )解析：26.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=下一代有 L条，B k =产 k个卵，k=L，L+1，则 )解析：27.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=第一次取到 1号球，B=第二次取到 k号球，C=第一次取到 k号球，则 有 P(A
27、)= (1)当 k=1时，因为 所以 (2)当 k1 时，因为 所以 )解析：28.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲最终获胜，B=乙最终获胜在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为 C 1 ，则 P(AC 1 )=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C 2 ，则 P(AC 2 )=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为 C 3 ，则前两个回合打平，从第三回合起，
28、比赛相当于从头开始一样，所以 P(AC 3 )=P(A) 显然 P(C 1 )= 2 ，P(C 2 )= 2 ，P(C 3 )=2， 由全概率公式 P(A)=P(AC 1 )P(C 1 )+P(AC 2 )P(C 2 )+P(AC 3 )P(C 3 ) = 2 +0+2P(A) 得 P(A)= 同理有 P(B)=P(BC 1 )P(C 1 )+P(BC 2 )P(C 2 )+P(BC 3 )P(C 3 ) =0+ 2 +2P(B)， 可得 P(B)= 因 P(A)+P(B)= )解析：29.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 3-6所示，F(x)=PXx)= ，0xr，所以 )解析：
