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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷44及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 44及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B,C 为随机事件,且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生,则有( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A,B 为随机事件,P(B)0,则( )(分数:2.00)A.P(AB)P(A)+P(B)B.P(A一 B)P(A)一 P(B)C.P(AB)P(A)P(B)D.P(A|B)4.设随机事件 A,B,C 两两独立,且 P(A),P(B),P(C)(0,

2、1),则必有( )(分数:2.00)A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 B D.A C 与 B 5.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )(分数:2.00)A.3p(1一 p) 2B.6p(1一 p) 2C.3p 2 (1一 p) 2D.6p 2 (1一 p) 26.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=1,b=一 1C.a=一 1,b=1D.a=0,b=17.设随机变量 X服从正太分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 P|X一 |应该( )(分

3、数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则( )(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,一 Y)未必服从正态分布10.已知随机变量 X与 Y均 l服从 0一 1分布,且 E(XY)= ,则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.11.设随机事件 A与 B互不相容,0P(A)1,0P(B)1,记 (分数:2.00)A.

4、p=0B.p=1C.P0D.p012.设随机变量 Xt(n)(n1),Y= (分数:2.00)A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n,1)D.YF(1,n)二、填空题(总题数:11,分数:22.00)13.袋中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 1。(分数:2.00)填空项 1:_14.设每次射击命中概率为 03,连续进行 4次射击,如果 4次均未击中,则目标不会被摧毁;如果击中1次、2 次,则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06;如果击中 2次以上,则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的

5、概率 p= 1。(分数:2.00)填空项 1:_15.假设 X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1一 X。已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_17.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量,则随机变量 Y=X一 (分数:2.00)填空项 1:_18.假设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 相互独立且都服从 0一 1分布:PX i =1=p,PX i =0=1一p(i=1,2,3,4,0p1),已知二阶行列式 的值大于零的概率

6、等于 (分数:2.00)填空项 1:_19.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_20.设随机变量 x概率分布为 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_21.假设随机变量 X服从一 1,1上的均匀分布,a 是区间一 1,1上的一个定点,Y 为点 X到 a的距离,当 a= 1时,随机变量 X与 Y不相关。(分数:2.00)填空项 1:_22.D(x)=2,则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X)|2 1。(分数:2.00)填空项 1:_23.设随机变量 X和 Y相互独立,且 XN(0,2),YN(0,3),则 D(X 2 +Y 2 )= 1。(分数:2.0

7、0)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_25.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布,写出 X的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。(分数:2.00)_26.设随机变量 (分数:2.00)_27.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:2.00)_28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_29.设随机变量 U服从二项分布 ,随机变量 (分数:2.00)_30.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_31.设 X服从a,b上的均匀分布

8、,X 1 ,X n 为简单随机样本,求 a,b 的最大似然估计量。(分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 44答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B,C 为随机事件,且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生,则有( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:B 与 C最多有一个发生(即 B与 C同时发生的反面)等价于事件 BC。当 A发生时必导致 B与 C最多有一个发生,说明3.设 A,B 为随机事件,P(B

9、)0,则( )(分数:2.00)A.P(AB)P(A)+P(B)B.P(A一 B)P(A)一 P(B) C.P(AB)P(A)P(B)D.P(A|B)解析:解析:根据概率运算性质可知,P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B),选项 A不成立。P(AB)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B),故正确选项为 B。而 P(A|B)= ,所以选项 D不成立。至于选项 C,它可能成立也可能不成立,如果 AB= ,P(A)0,P(B)0,则 P(AB)=0P(A)P(B);如果 A4.设随机事件 A,B,C 两两独立,且 P(A),P(B),P(C)(0,1),则必有( )(分

10、数:2.00)A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 B D.A C 与 B 解析:解析:对于选项 A、B: P(C(AB)=P(A C)=P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC), P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C)。 尽管 A,B,C 两两独立,但未知 A,B,C 是否相互独立,从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立,故选项 A、B 均不正确。 如果 AC 与 B独立,则5.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4次射击恰好第 2次命中

11、目标的概率为( )(分数:2.00)A.3p(1一 p) 2B.6p(1一 p) 2C.3p 2 (1一 p) 2 D.6p 2 (1一 p) 2解析:解析:根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标,第 4次击中目标 =C 3 1 p(1一 P) 2 p=3p 2 (1一 p) 2 , 故正确答案为 C。6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=1,b=一 1 C.a=一 1,b=1D.a=0,b=1解析:解析: (a+be x )=a=1。F(x)为连续型随机变量 X的分布,故 F(x)必连续,那么 F(x)在x=0连续。所以 7.设随机变量

12、X服从正太分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 P|X一 |应该( )(分数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析:解析:若 XN(, 2 ),则 N(0,1),因此 P|X 一 |=P 8.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据题设知(X,Y)的概率密度函数为 因 Pmax(X,Y)0=1 一 Pmax(X,Y)0=1 一PX0,Y09.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则( )(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C

13、.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,一 Y)未必服从正态分布 解析:解析:选项 A不成立,例如,若 Y=一 X,则 X+Y=0不服从正态分布。选项 C不成立,(X,Y)不一定服从正态分布,因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B也不成立,因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布,但是因为边缘分布一般不能决定联合分布,故(X,一 Y)未必服从正态分布。10.已知随机变量 X与 Y均 l服从 0一 1分布,且 E(XY)= ,则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析

14、:解析:因为 X与 Y均服从 01分布,所以可以列出(X,Y)的联合分布如下: 又已知 E(XY)= ,即 P 22 = ,从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 11.设随机事件 A与 B互不相容,0P(A)1,0P(B)1,记 (分数:2.00)A.p=0B.p=1C.P0 D.p0解析:解析:选项 B不能选,否则选项 D必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑,即考虑 P的符号,而相关系数符号取决于 Cov(X,Y)=E(XY)一 E(X)E(Y),根据题设知 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),XY12.设随机变量 Xt(n)(n1),Y= (分

15、数:2.00)A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n,1) D.YF(1,n)解析:解析:因 Xt(n),故根据 t分布定义知 X= 其中 UN(0,1),V 2 (n)。于是 Y= 二、填空题(总题数:11,分数:22.00)13.袋中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设事件 A=第一个人取出的球是黄色的,事件 B=第一个人取出的球是白色的,事件C=第二个人取出的球是黄色的,则有 根据全概率公式可得 P(C)

16、=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)14.设每次射击命中概率为 03,连续进行 4次射击,如果 4次均未击中,则目标不会被摧毁;如果击中1次、2 次,则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06;如果击中 2次以上,则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0407 1)解析:解析:设事件 A k =“射击 4次命中 k次”,k=0,1,2,3,4,B=“目标被摧毁”,则根据 4重伯努利试验概型公式,可知 P(A i )=C 4 i 03 i 07 4i ,i=0,1,2,3,4,则 P(A 0 )=07 4 =0240 1,

17、P(A 1 )=04116,P(A 2 )=0264 6,P(A 3 )=0075 6,P(A 4 )=0008 1。 由于 A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 是一完备事件组,且根据题意得 P(B|A 0 )=0,P(B|A 1 )=04,P(B|A 2 )=06,P(B|A 3 )=P(B|A 4 )=1。 应用全概率公式,有 P(B)= 15.假设 X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1一 X。已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0.71)解析:解析:由于 PYk=P1 一

18、Xk=PX1 一 k=1一 PX1 一 k=025,所以 PX1 一 k=1025=075。又因 PX029=075,得 1一 k=029,即 k=071。16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题设,可知17.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量,则随机变量 Y=X一 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:XE(2),所以其概率密度函数为 f Y (x)= 令 Y=X一 ,所以 F Y (y)=PYy=PX一 所以 f Y (y)=F Y (y)=F X (y+ 18.假

19、设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 相互独立且都服从 0一 1分布:PX i =1=p,PX i =0=1一p(i=1,2,3,4,0p1),已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:记= =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ,则 p应使 P0=PX 1 X 4 一 X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ,因为 X i 仅能取 1或 0,且相互独立,故事件X 1 X 4 X 2 X 3 =X 1 X 4 =1,X 2 X 3 =0,所以 =PX 1 =1,X 4 =1,X 2 =0,X 3

20、=0+PX 1 =1,X 4 =1,X 2 =0,X 3 =1+PX 1 =1,X 4 =1,X 2 =1,X 3 =0=p 2 (1一 p) 2 +p 3 (1一 p)+p 3 (1一 p)=p 2 (1一 p 2 )=p 2 一p 4 ,则 p 4 一 p 2 + 19.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:20)解析:解析:由于 D(X 2 )=E(X 4 )一 E 2 (X 2 )。 E(X 2 )= + x 2 f(x)dx=2 0 + x 2 . e |x| dx= 0 + x 2 e x dx=2!, E(X)= + x

21、 4 f(x)dx=2 0 + x 4 . 20.设随机变量 x概率分布为 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由概率密度的性质 PX=k=1,有 即 PX=k= 21.假设随机变量 X服从一 1,1上的均匀分布,a 是区间一 1,1上的一个定点,Y 为点 X到 a的距离,当 a= 1时,随机变量 X与 Y不相关。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:已知 Xf(x)= E(X)=0,依题意 Y=|Xa|,a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0。其中 E(XY)=E(XX一 a|)= 1 1 x|x一 a|

22、= 1 a x(ax)dx+ a 1 x(x一 a)dx 令E(XY)= (a 2 一 3)=0,解得 a=0(a= 22.D(x)=2,则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X)|2 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据切比雪夫不等式,有 P|XE(X)| 于是可得 P|XE(X)|223.设随机变量 X和 Y相互独立,且 XN(0,2),YN(0,3),则 D(X 2 +Y 2 )= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:26)解析:解析:因 XN(0,2),故 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)24.解答题解答应写出文

23、字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:25.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布,写出 X的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意可知,Xp(02),X 的概率函数为 将 x=0,1,2,3代入函数,可得 p(0)0818 7,P(1)0163 7, p(2)0016 4,p(3)0001 1, p(4)0000 1,P(5)0。 X 的概率分布表如下: )解析:26.设随机变量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 P|X|Y|=1 知,P|X|=|Y|=0。由此可得 X与 Y的联

24、合分布律为因为 PX=一 1,Y=一 1PX=一 1PY=一 1,所以 X与 Y不独立。 ()由(X,Y)的联合分布律知 PU=V=一 1=PX=一 1,Y=0= PU=一 1,V=1=PX=0,Y=一 1= PU=1,V=一 1=PX=0,Y=1=PU=V=1=PX=1,Y=0= 所以 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析:27.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据分布函数的性质 + + f(x,y)dxdy= 0 + 0 + Ae (2x+3y) = =1,解得 A=6。 ()将 A=6代入得(X,Y)的联合概率密度为 所以当x

25、0,y0 时, F(x,y)= 0 x 0 x 6e (2x+3y) dud=6 0 x e 2u du 0 y e 3 d=(1 一 e 2x )(1一 e 3y ), 而当 x和 y取其它值时,F(x,y)=0。 综上所述,可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时,X 的边缘密度为 f X (x)= 0 + 6e (2x+3y) dy=2e 2x , 当 x0 时,f X (x)=0。因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 ()根据公式 已知R:x0,y0,2x+3y6,将其转化为二次积分,可表示为 P(X,Y)R= 6e (2x+3y) dxdy=6 0 3 e 2x

26、 )解析:28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知 X,Y 的概率密度,所以 ()先求 Z的分布函数: F Z (z)=P(X+YZ)= (1)当 z0 时,F Z (0)=0; (2)当 0z1 时,F Z (z)= 0 z dy 0 zy (2一 x一 y)dx=z 2 一 (3)当 1z2 时,F Z (z)=1P(X+YZ)=1 一 z1 1 dy zy 1 (2一 x一 y)dx =1一 (2一 z) 3 ; (4)当 z2 时,F X (z)=1。 故 Z=X+Y的概率密度为 f Z (z)=F Z (z)= )解析:29.设随

27、机变量 U服从二项分布 ,随机变量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布。即 PX=一 1=PU0=PU=0=PY=一 1=PU2=1 一 PU=2= pXY=一 1=PX=一 1,Y=1+PX=1,Y=一 1=0+ PXY=1=1一 PXY=一 1= 其次计算 E(X),E(Y),D(X),D(Y)与 E(XY)。即 E(XY)=一 PXY=一 1+PXY=1=0。 最后应用公式可得 Cov(X,Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= )解析:30.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:总体 X的数学期望是 E(X

28、)= + xf(x)dx= 0 1 (+1)x +1 dx= 令 得到参数 的矩估计量为 设 x 1 ,x 2 ,x n 是相对于样本 X 1 ,X 2 ,X n 的一组观测值,所见似然函数为 当 0x i 1(i=1,2,3,n)时,L0 且 lnL=nln(+1)+ 令 lnx i =0,解得 的极大似然估计为 )解析:31.设 X服从a,b上的均匀分布,X 1 ,X n 为简单随机样本,求 a,b 的最大似然估计量。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 X的样本观测值为 x 1 ,x n ,则似然函数 显然 0,且 b一 a越小 L值越大,但是bx i ,i=1,n=bmax(x 1 ,x n ),同理ax i ,i=1,n=a (x 1 ,x n ),所以只有当 b=maxx i ,a=min x i 时,L 才达到最大值,所以 a,b 的最大似然估计值为 最大似然估计量是 )解析:

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