1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 44及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)+P(B)B.P(A一 B)P(A)一 P(B)C.P(AB)P(A)P(B)D.P(A|B)4.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，
2、1)，则必有( )（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 B D.A C 与 B 5.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1一 p) 2B.6p(1一 p) 2C.3p 2 (1一 p) 2D.6p 2 (1一 p) 26.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=一 1C.a=一 1，b=1D.a=0，b=17.设随机变量 X服从正太分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该( )（分
3、数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布10.已知随机变量 X与 Y均 l服从 0一 1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.
4、p=0B.p=1C.P0D.p012.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n，1)D.YF(1，n)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的
5、概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X一 （分数：2.00）填空项 1:_18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1一p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率
6、等于 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 x概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_21.假设随机变量 X服从一 1，1上的均匀分布，a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_22.D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X)|2 1。（分数：2.00）填空项 1:_23.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X 2 +Y 2 )= 1。（分数：2.0
7、0）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_26.设随机变量 （分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_31.设 X服从a，b上的均匀分布
8、，X 1 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 44答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：B 与 C最多有一个发生(即 B与 C同时发生的反面)等价于事件 BC。当 A发生时必导致 B与 C最多有一个发生，说明3.设 A，B 为随机事件，P(B
9、)0，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)+P(B)B.P(A一 B)P(A)一 P(B) C.P(AB)P(A)P(B)D.P(A|B)解析：解析：根据概率运算性质可知，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)，选项 A不成立。P(AB)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B)，故正确选项为 B。而 P(A|B)= ，所以选项 D不成立。至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 AB= ，P(A)0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 A4.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（分
10、数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 B D.A C 与 B 解析：解析：对于选项 A、B： P(C(AB)=P(A C)=P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C)。 尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确。 如果 AC 与 B独立，则5.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中
11、目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1一 p) 2B.6p(1一 p) 2C.3p 2 (1一 p) 2 D.6p 2 (1一 p) 2解析：解析：根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标 =C 3 1 p(1一 P) 2 p=3p 2 (1一 p) 2 ， 故正确答案为 C。6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=一 1 C.a=一 1，b=1D.a=0，b=1解析：解析： (a+be x )=a=1。F(x)为连续型随机变量 X的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在x=0连续。所以 7.设随机变量
12、X服从正太分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 XN(， 2 )，则 N(0，1)，因此 P|X 一 |=P 8.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为 因 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1 一PX0，Y09.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C
13、.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布 解析：解析：选项 A不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0不服从正态分布。选项 C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布。10.已知随机变量 X与 Y均 l服从 0一 1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析
14、：解析：因为 X与 Y均服从 01分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下： 又已知 E(XY)= ，即 P 22 = ，从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 11.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.p=0B.p=1C.P0 D.p0解析：解析：选项 B不能选，否则选项 D必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 P的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，XY12.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分
15、数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n一 1)C.YF(n，1) D.YF(1，n)解析：解析：因 Xt(n)，故根据 t分布定义知 X= 其中 UN(0，1)，V 2 (n)。于是 Y= 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的，事件C=第二个人取出的球是黄色的，则有 根据全概率公式可得 P(C)
16、=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)14.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0407 1）解析：解析：设事件 A k =“射击 4次命中 k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据 4重伯努利试验概型公式，可知 P(A i )=C 4 i 03 i 07 4i ，i=0，1，2，3，4，则 P(A 0 )=07 4 =0240 1，
17、P(A 1 )=04116，P(A 2 )=0264 6，P(A 3 )=0075 6，P(A 4 )=0008 1。 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(B|A 0 )=0，P(B|A 1 )=04，P(B|A 2 )=06，P(B|A 3 )=P(B|A 4 )=1。 应用全概率公式，有 P(B)= 15.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.71）解析：解析：由于 PYk=P1 一
18、Xk=PX1 一 k=1一 PX1 一 k=025，所以 PX1 一 k=1025=075。又因 PX029=075，得 1一 k=029，即 k=071。16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，可知17.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：XE(2)，所以其概率密度函数为 f Y (x)= 令 Y=X一 ，所以 F Y (y)=PYy=PX一 所以 f Y (y)=F Y (y)=F X (y+ 18.假
19、设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1一p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记= =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，则 p应使 P0=PX 1 X 4 一 X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ，因为 X i 仅能取 1或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3 =X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0，所以 =PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3
20、=0+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =1，X 3 =0=p 2 (1一 p) 2 +p 3 (1一 p)+p 3 (1一 p)=p 2 (1一 p 2 )=p 2 一p 4 ，则 p 4 一 p 2 + 19.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：由于 D(X 2 )=E(X 4 )一 E 2 (X 2 )。 E(X 2 )= + x 2 f(x)dx=2 0 + x 2 . e |x| dx= 0 + x 2 e x dx=2!， E(X)= + x
21、 4 f(x)dx=2 0 + x 4 . 20.设随机变量 x概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由概率密度的性质 PX=k=1，有 即 PX=k= 21.假设随机变量 X服从一 1，1上的均匀分布，a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=|Xa|，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0。其中 E(XY)=E(XX一 a|)= 1 1 x|x一 a|
22、= 1 a x(ax)dx+ a 1 x(x一 a)dx 令E(XY)= (a 2 一 3)=0，解得 a=0(a= 22.D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X)|2 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据切比雪夫不等式，有 P|XE(X)| 于是可得 P|XE(X)|223.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X 2 +Y 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：26）解析：解析：因 XN(0，2)，故 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文
23、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为 将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)0818 7，P(1)0163 7， p(2)0016 4，p(3)0001 1， p(4)0000 1，P(5)0。 X 的概率分布表如下： )解析：26.设随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0。由此可得 X与 Y的联
24、合分布律为因为 PX=一 1，Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X与 Y不独立。 ()由(X，Y)的联合分布律知 PU=V=一 1=PX=一 1，Y=0= PU=一 1，V=1=PX=0，Y=一 1= PU=1，V=一 1=PX=0，Y=1=PU=V=1=PX=1，Y=0= 所以 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析：27.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据分布函数的性质 + + f(x，y)dxdy= 0 + 0 + Ae (2x+3y) = =1，解得 A=6。 ()将 A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当x
25、0，y0 时， F(x，y)= 0 x 0 x 6e (2x+3y) dud=6 0 x e 2u du 0 y e 3 d=(1 一 e 2x )(1一 e 3y )， 而当 x和 y取其它值时，F(x，y)=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时，X 的边缘密度为 f X (x)= 0 + 6e (2x+3y) dy=2e 2x ， 当 x0 时，f X (x)=0。因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 ()根据公式 已知R：x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为 P(X，Y)R= 6e (2x+3y) dxdy=6 0 3 e 2x
26、 )解析：28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X，Y 的概率密度，所以 ()先求 Z的分布函数： F Z (z)=P(X+YZ)= (1)当 z0 时，F Z (0)=0； (2)当 0z1 时，F Z (z)= 0 z dy 0 zy (2一 x一 y)dx=z 2 一 (3)当 1z2 时，F Z (z)=1P(X+YZ)=1 一 z1 1 dy zy 1 (2一 x一 y)dx =1一 (2一 z) 3 ； (4)当 z2 时，F X (z)=1。 故 Z=X+Y的概率密度为 f Z (z)=F Z (z)= )解析：29.设随
27、机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布。即 PX=一 1=PU0=PU=0=PY=一 1=PU2=1 一 PU=2= pXY=一 1=PX=一 1，Y=1+PX=1，Y=一 1=0+ PXY=1=1一 PXY=一 1= 其次计算 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)与 E(XY)。即 E(XY)=一 PXY=一 1+PXY=1=0。 最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的数学期望是 E(X
28、)= + xf(x)dx= 0 1 (+1)x +1 dx= 令 得到参数 的矩估计量为 设 x 1 ，x 2 ，x n 是相对于样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组观测值，所见似然函数为 当 0x i 1(i=1，2，3，n)时，L0 且 lnL=nln(+1)+ 令 lnx i =0，解得 的极大似然估计为 )解析：31.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X的样本观测值为 x 1 ，x n ，则似然函数 显然 0，且 b一 a越小 L值越大，但是bx i ，i=1，n=bmax(x 1 ，x n )，同理ax i ，i=1，n=a (x 1 ，x n )，所以只有当 b=maxx i ，a=min x i 时，L 才达到最大值，所以 a，b 的最大似然估计值为 最大似然估计量是 )解析：
