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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷50及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 50及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.在电炉上安装了 4个温控器,其显示温度的误差是随机的。在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ,电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”,而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件 E=( )(分数:2.00)A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 3.设 A,B 为随

2、机事件,0P(A)1,0P(B)1,则 A,B 相互独立的充要条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1 =掷第一次出现正面,A 2 =掷第二次出现正面,A 3 =正反面各出现一次,A 4 =正面出现两次,则事件( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.A 2 ,A 3 ,A 4 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立D.A 2 ,A 3 ,A 4 两两独立5.假设 X为随机变量,则对任意实数 a,概率 PX=a=0的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的

3、分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数6.设随机变量 X的密度函数为 (x),且 (一 x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.00)A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 17.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PXx,Yy等于( )(分数:2.00)A.1一 F(x,y)B.1一 F X (x)一 F Y (y)C.F(x,y)一 F X (x)一 F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (Y)

4、+F(x,y)一 18.设相互独立的两随机变量 X,Y 均服从0,3上的均匀分布,则 P1max(X,Y)2的值为( )(分数:2.00)A.B.C.D.9.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n (n1)独立同分布,且方差 2 0,记 X i ,则 X 1 一 (分数:2.00)A.一 1B.0C.D.110.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0,Z=aX+b,则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )(分数:2.00)A.a=1,b 为任意实数B.a0,b 为任意实数C.a0,b 为任意实数D.a0,b 为任意实数11.设随机变量 X 1 ,X n ,相互独立,记 Y n =X

5、2n 一 X 2n1 (n1),根据大数定律,当 n时 (分数:2.00)A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X n (n2)为取自总体的简单随机样本,则对应的统计量 T 1 = (分数:2.00)A.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )13.设 X 1 ,X 2 ,X n

6、是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 是样本均值,记 S 1 2 = , 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:9,分数:18.00)14.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则“两数之积小于 (分数:2.00)填空项 1:_15.已知 X,Y 为随机变量且 PX0,Y0= ,PX0=PY0= (分数:2.00)填空项 1:_16.设随机变量 X服从几何分布 G(),其中 01,若 PX2= (分数:2.00)填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=002

7、5,则概率 P|X|4= 1。(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_18.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_19.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布,则随机变量 X一 Y的概率密度函数的最大值等于 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1),则 E(X)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_21.已知随机变量 XN(2

8、,9),Y 服从参数为 05 的指数分布,且 XY =一 025,则 D(2X一 3Y)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_22.设总体 X的概率分布为 ,其中 (0 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_24.设 P(A)0,P(B)0,将下列四个数:P(A),P(AB),P(AB),P(A)+P(B),按由小到大的顺序排列,用符号“”联系它们,并指出在什么情况下可能有等式成立。(分数:2.00)_25.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_26.袋中有 1个红球,2 个

9、黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1 | Z=0;()求二维随机变量(X,Y)的概率分布。(分数:2.00)_27.设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布,当 X取到 x(0x1)时,随机变量 Y等可能地在(x,1)上取值。试求:()(X,Y)的联合概率密度;()关于 Y的边缘概率密度函数;()PX+Y1。(分数:2.00)_28.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y。 ()求 PZ= (分数:2

10、.00)_29.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 (分数:2.00)_30.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 50答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.在电炉上安装了 4个温控器,其显示温度的误差是随机的。在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ,电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”,而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件

11、E=( )(分数:2.00)A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 解析:解析:由于 T 1 T 2 T 3 T 4 ,所以 T 1 t 0 T 2 t 0 T 3 t 0 3.设 A,B 为随机事件,0P(A)1,0P(B)1,则 A,B 相互独立的充要条件是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由于 0P(A)1,0P(B)1,所以 A与 B相互独立 P(A|B)=P(A| )=1一4.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A 1 =掷第一次出现正面,A 2 =掷第二次出现正面,A 3 =正反面各出现一次,A 4 =正面出现两次,则事件

12、( )(分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立B.A 2 ,A 3 ,A 4 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A 3 两两独立 D.A 2 ,A 3 ,A 4 两两独立解析:解析:显然 P(A 1 )=P(A 2 )= ,且 A 1 与 A 2 相互独立。 由于 A 3 =A 1 A 2 ,A 4 =A 1 A 2 , 所以 P(A 3 )=P(A 1 )+P( A 2 ) =P(A 1 ) P(A 2 )= ; P(A 4 )=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )= 。 从而 P(A 1 A 2 )= ,P(A 1 A 3 )=P(A 1 ; P(A 2 A

13、 3 )=P( A 2 )= ; P(A 2 A 4 )=P(A 1 A 2 )= 5.假设 X为随机变量,则对任意实数 a,概率 PX=a=0的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析:解析:对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件,因此选项 B、D 不能选,又离散型随机变量必有 a使 PX=a0,选项 A不能选,故正确选项是 C。事实上,PX=a=0 F(a)一 F(a一 0)=0 对任意实数 a,F(a)=F(a 一 0)6.设随机变量 X的密度函数为 (x)

14、,且 (一 x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.00)A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析:解析:如图 324所示,F(一 a)= a (x)dx= 一 a 0 (x)dx,而 a 0 (x)dx= 0 a (x)dx,所以 F(一 a)= 一 0 a (x)dx。故选项 B正确。 7.设随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),边缘分布为 F X (x)和 F Y (y),则概率 PXx,Yy等于( )(分数:2.00)A.1一 F(x,y)B.1一 F X

15、 (x)一 F Y (y)C.F(x,y)一 F X (x)一 F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (Y)+F(x,y)一 1解析:解析:记事件 A=Xx,B=Yy,则 PXx,Yy= 8.设相互独立的两随机变量 X,Y 均服从0,3上的均匀分布,则 P1max(X,Y)2的值为( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:P1max(X,Y)2=Pmax(X,Y)2一 Pmax(X,Y)1 =PX2,Y2一PX1,Y1 =PX2PY2一 PX1PY19.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n (n1)独立同分布,且方差 2 0,记 X i ,则 X 1 一 (分数:2.0

16、0)A.一 1B.0 C.D.1解析:解析:由于 X i 独立同分布,所以 D(X i )= 2 , ,Cov(X 1 ,X i )=0(i1), 10.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0,Z=aX+b,则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )(分数:2.00)A.a=1,b 为任意实数B.a0,b 为任意实数 C.a0,b 为任意实数D.a0,b 为任意实数解析:解析:直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项。由于 Cov(Y,Z)=Coy(Y,aX+b)=aCov(X,Y),D(Z)=D(aX+b)=a 2 D(X),所以 11.设随机变量 X 1 ,X n ,相互独立,记

17、 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1),根据大数定律,当 n时 (分数:2.00)A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析:解析:因为 X n 相互独立,所以 Y n 相互独立。选项 A缺少“同分布“条件;选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件,因此它们都不满足辛钦大数定律,所以选择 B。事实上,若 E(X n )=,D(X n )= 2 存在,则 根据切比雪夫大数定理:对任意 0 有 即 12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X n (n2)为取自总体的简单随机样本,则对应的统计量 T 1 = (分数:

18、2.00)A.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 ),D(T 1 )D(T 2 ) 解析:解析:因为 X服从参数为 (0)的泊松分布,那么 E(X i )=A,D(X i )=,i=1,2,n, 则 13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是取自正态总体 N(0, 2 )的简单随机样本, 是样本均值,记 S 1 2 = , 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解

19、析:由于 2 (n一 1),且这两个随机变量相互独立,故 t(n 一 1), 因此选B。而 二、填空题(总题数:9,分数:18.00)14.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则“两数之积小于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*(1+ln2))解析:解析:记(0,1)中任取的两个数为 X,Y,则(x,Y)=(x,y)|0x1,0y1, 为基本事件全体,并且取 中任何一点的可能性都一样,故该试验是几何概型,如图 312所示,事件A=“两数之积小于 (X,Y) A =(x,y)|xy ,0x1,0y1,由几何概型可得 15.已知 X,Y 为随机变量且 PX0,Y0= ,PX

20、0=PY0= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:首先分析事件的关系,用简单事件运算去表示复杂事件,后应用概率性质计算概率。 由于A=max(X,Y)0=X,y 至少有一个大于等于 0=X0Y0,所以 P(A)=PX0+PY0一PX0,Y0= 又max(X,Y)0 min(X,Y)0,则 B=max(X,Y)0,min(X,Y)0=max(X,Y)0= 。 从而 P(B)= =1一 P(A)=1一 根据全集分解式知:A=max(X,Y)0=max(X,Y)0,min(X,Y)0+max(X,Y)0,rain(X,Y)0=C+X0,Y0,故 P(C)=P(A)

21、一PX0,Y0=16.设随机变量 X服从几何分布 G(),其中 01,若 PX2= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:PX2=PX=1+PX=2=0(1 一 ) 11 +(1 一 ) 21 =2 2 = , 解得 (舍),故 PX=3=(1 一 ) 2 = 17.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=0025,则概率 P|X|4= 1。(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0.2946)解析:解析:要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率,首先必须求出分布

22、参数 与 。根据题意有 由题意已知,可得 于是 P|X|4=P一 4X418.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),求满足一定条件的概率 Pg(X,Y)z 0 ,一般可转化为二重积分 Pg(X,Y)z 0 = f(x,y)dxdy 进行计算。 根据题设可得,如图331所示, 19.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布,则随机变量 X一 Y的概率密度函数的最大值等于 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意可知,

23、XYN(0,2),其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0处,最大值为20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1),则 E(X)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0.4)解析:解析:已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数,记其对应的随机变量为 X 2 ,其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数,且 X 2 = ,记随机变量 X 2

24、的分布函数为 F 2 (x),概率密度函数为 f 2 (x),所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x), 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x),于是 + xf(x)dx=04 + xf 1 (x)dx+06 + xf 2 (x)dx, 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+ 21.已知随机变量 XN(2,9),Y 服从参数为 05 的指数分布,且 XY =一 025,则 D(2X一 3Y)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:90)解析:解析:D(2X 一 3Y)=4D

25、(X)+9D(Y)一 2Cov(2X,3Y) =4D(X)+9D(Y)一 12 XY 22.设总体 X的概率分布为 ,其中 (0 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:根据矩估计,最(极)大似然估计及经验分布函数定义,即可求得结果。事实上,设 E(X)= E(X)=2(1 一 )+2(1 一 ) 2 =2(1一 )。 令 2(1一 )= ,解得 的矩估计量 ,由样本值,可得 ( 51+32+20) = 故 矩估计值为 又样本似然函数L()= p(x i ;)=2(1 一 ) 5 (1一 ) 2 3 2 2 =2 5 9 (1一 ) 11 ,则有 lnL=5ln

26、2+9ln+1lln(1 一 ), 令 即 最大似然估计值为 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.设 P(A)0,P(B)0,将下列四个数:P(A),P(AB),P(AB),P(A)+P(B),按由小到大的顺序排列,用符号“”联系它们,并指出在什么情况下可能有等式成立。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A、AB、AB 之间的所属关系为 AB A AB, 故有 P(AB)P(A)P(AB), 根据概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB),得 P(AB)P(A)+P(B), 因此四

27、个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)。 P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A,即 A B。 P(A)=P(AB)成立的条件是 A=AB,即 B A。 P(AB)=P(A)+P(B)成立的条件是 P(AB)=0,即 AB=)解析:25.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x1 时,F(x)=0;当 1x2 时,则 当 x2 时,F(x)=1。 综上所述,X的分布函数 F(x)为 )解析:26.袋中有 1个红球,2 个黑球和 3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白

28、球的个数。()求 PX=1 | Z=0;()求二维随机变量(X,Y)的概率分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()在没有取白球的情况下取了一次红球,根据压缩样本空间原则,相当于只有1个红球,2 个黑球放回摸两次,其中摸了一个红球。所以 P(X=1|Z=0)= ()X,Y 取值范围为0,1,2,故 )解析:27.设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布,当 X取到 x(0x1)时,随机变量 Y等可能地在(x,1)上取值。试求:()(X,Y)的联合概率密度;()关于 Y的边缘概率密度函数;()PX+Y1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据题设 X在(0,1)上服从均

29、匀分布,因此其概率密度函数为 而变量Y,在 X=x的条件下,在区间(x,1)上服从均匀分布,所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义,可得联合概率密度 f(x,y)= f X (x) f Y|X (y|x)= ()根据求得的联合概率密度,不难求出关于 Y的边缘概率密度 当 0y1 时,f Y (y)= + f(x,y)dx= 0 y =一 ln(1一 y); 当 y0 或 y1 时,f Y (y)=0,所以 f Y (y)= ()如图 334所示 )解析:28.设随机变量 X与 Y相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1,0,1),Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X

30、+Y。 ()求 PZ= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 P(X 2 =Y 2 )=1,因此 P(X 2 Y 2 )=0。 故 P(X=0,Y=1)=0,可知 P(X=1,Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1,Y=0)=0 可知 P(X=0,Y=0)=P(x=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=P(Y=0)= 同理,由 P(X=0,Y=一 1)=0可知 P(X=1,Y=一 1)=P(X=1,Y=一 1)+P(X=0,Y=一 1)=P

31、(Y=一 1)= 这样,就可以写出(X,Y)的联合分布如下: ()Z=XY 可能的取值有一 1,0,1。其中 P(Z=一 1)=P(X=1,Y=一 1)= ,P(Z=1)=P(X=1,Y=1)= 则有P(Z=0)= 。 因此,Z=XY 的分布律为 ()E(X)= ,E(Y)=0,E(XY)=0,Cov(X,Y)=E(XY)一E(X).E(Y)=0, 所以 )解析:30.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 令 E(X)= ,得到矩估计量 ()对于总体 X的样本值 x 1 ,x 2 ,x n ,其似然函数为 L(x 1 ,x 2 ,x n ;)=f(x 1 ;)f(x 2 ;)f(x n ;)= 2n (x 1 x 2 ,x n ) 3 lnL=2nln31n(x 1 2 ,x n )一 得到最大似然估计量为 )解析:

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