1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 50及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 3.设 A，B 为随
2、机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立5.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的
3、分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数6.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 17.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1一 F X (x)一 F Y (y)C.F(x，y)一 F X (x)一 F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (Y)
4、+F(x，y)一 18.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 X i ，则 X 1 一 （分数：2.00）A.一 1B.0C.D.110.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数11.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X
5、2n 一 X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T 1 = （分数：2.00）A.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )13.设 X 1 ，X 2 ，X n
6、是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 S 1 2 = ， 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从几何分布 G()，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9=002
7、5，则概率 P|X|4= 1。(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_18.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_19.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 X一 Y的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.已知随机变量 XN(2
8、，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =一 025，则 D(2X一 3Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X的概率分布为 ，其中 (0 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。（分数：2.00）_25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_26.袋中有 1个红球，2 个
9、黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1 | Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_27.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值。试求：()(X，Y)的联合概率密度；()关于 Y的边缘概率密度函数；()PX+Y1。（分数：2.00）_28.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X+Y。 ()求 PZ= （分数：2
10、.00）_29.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 50答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件
11、E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 解析：解析：由于 T 1 T 2 T 3 T 4 ，所以 T 1 t 0 T 2 t 0 T 3 t 0 3.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 0P(A)1，0P(B)1，所以 A与 B相互独立 P(A|B)=P(A| )=1一4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件
12、( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：显然 P(A 1 )=P(A 2 )= ，且 A 1 与 A 2 相互独立。 由于 A 3 =A 1 A 2 ，A 4 =A 1 A 2 ， 所以 P(A 3 )=P(A 1 )+P( A 2 ) =P(A 1 ) P(A 2 )= ； P(A 4 )=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )= 。 从而 P(A 1 A 2 )= ，P(A 1 A 3 )=P(A 1 ； P(A 2 A
13、 3 )=P( A 2 )= ； P(A 2 A 4 )=P(A 1 A 2 )= 5.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析：解析：对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a使 PX=a0，选项 A不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F(a)一 F(a一 0)=0 对任意实数 a，F(a)=F(a 一 0)6.设随机变量 X的密度函数为 (x)
14、，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析：解析：如图 324所示，F（一 a）= a （x）dx= 一 a 0 （x）dx，而 a 0 （x）dx= 0 a （x）dx，所以 F(一 a)= 一 0 a (x)dx。故选项 B正确。 7.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1一 F X
15、 (x)一 F Y (y)C.F(x，y)一 F X (x)一 F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (Y)+F(x，y)一 1解析：解析：记事件 A=Xx，B=Yy，则 PXx，Yy= 8.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：P1max(X，Y)2=Pmax(X，Y)2一 Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2一PX1，Y1 =PX2PY2一 PX1PY19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 X i ，则 X 1 一 （分数：2.0
16、0）A.一 1B.0 C.D.1解析：解析：由于 X i 独立同分布，所以 D(X i )= 2 ， ，Cov(X 1 ，X i )=0(i1)， 10.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数 C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数解析：解析：直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项。由于 Cov(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2 D(X)，所以 11.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记
17、 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：因为 X n 相互独立，所以 Y n 相互独立。选项 A缺少“同分布“条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E(X n )=，D(X n )= 2 存在，则 根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有 即 12.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T 1 = （分数：
18、2.00）A.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )B.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 ) 解析：解析：因为 X服从参数为 (0)的泊松分布，那么 E(X i )=A，D(X i )=，i=1，2，n， 则 13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 S 1 2 = ， 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解
19、析：由于 2 (n一 1)，且这两个随机变量相互独立，故 t(n 一 1)， 因此选B。而 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(1+ln2)）解析：解析：记(0，1)中任取的两个数为 X，Y，则(x，Y)=(x，y)|0x1，0y1， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 312所示，事件A=“两数之积小于 (X，Y) A =(x，y)|xy ，0x1，0y1，由几何概型可得 15.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX
20、0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。 由于A=max(X，Y)0=X，y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0一PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0，则 B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y)0= 。 从而 P(B)= =1一 P(A)=1一 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X，Y)0+max(X，Y)0，rain(X，Y)0=C+X0，Y0，故 P(C)=P(A)
21、一PX0，Y0=16.设随机变量 X服从几何分布 G()，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX2=PX=1+PX=2=0(1 一 ) 11 +(1 一 ) 21 =2 2 = ， 解得 (舍)，故 PX=3=(1 一 ) 2 = 17.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9=0025，则概率 P|X|4= 1。(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.2946）解析：解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布
22、参数 与 。根据题意有 由题意已知，可得 于是 P|X|4=P一 4X418.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0 ，一般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0 = f(x，y)dxdy 进行计算。 根据题设可得，如图331所示， 19.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 X一 Y的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知，
23、XYN(0，2)，其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0处，最大值为20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.4）解析：解析：已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 X 2 = ，记随机变量 X 2
24、的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x)， 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x)，于是 + xf(x)dx=04 + xf 1 (x)dx+06 + xf 2 (x)dx， 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+ 21.已知随机变量 XN(2，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =一 025，则 D(2X一 3Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：90）解析：解析：D(2X 一 3Y)=4D
25、(X)+9D(Y)一 2Cov(2X，3Y) =4D(X)+9D(Y)一 12 XY 22.设总体 X的概率分布为 ，其中 (0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果。事实上，设 E(X)= E(X)=2(1 一 )+2(1 一 ) 2 =2(1一 )。 令 2(1一 ）= ，解得 的矩估计量 ，由样本值，可得 （ 51+32+20) = 故 矩估计值为 又样本似然函数L()= p(x i ；)=2(1 一 ) 5 (1一 ) 2 3 2 2 =2 5 9 (1一 ) 11 ，则有 lnL=5ln
26、2+9ln+1lln(1 一 )， 令 即 最大似然估计值为 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A、AB、AB 之间的所属关系为 AB A AB， 故有 P(AB)P(A)P(AB)， 根据概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，得 P(AB)P(A)+P(B)， 因此四
27、个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)。 P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A，即 A B。 P(A)=P(AB)成立的条件是 A=AB，即 B A。 P(AB)=P(A)+P(B)成立的条件是 P(AB)=0，即 AB=)解析：25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，F(x)=0；当 1x2 时，则 当 x2 时，F(x)=1。 综上所述，X的分布函数 F(x)为 )解析：26.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白
28、球的个数。()求 PX=1 | Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以 P(X=1|Z=0)= ()X，Y 取值范围为0，1，2，故 )解析：27.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值。试求：()(X，Y)的联合概率密度；()关于 Y的边缘概率密度函数；()PX+Y1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设 X在(0，1)上服从均
29、匀分布，因此其概率密度函数为 而变量Y，在 X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)= f X (x) f Y|X (y|x)= ()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密度 当 0y1 时，f Y (y)= + f(x，y)dx= 0 y =一 ln(1一 y)； 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0，所以 f Y (y)= ()如图 334所示 )解析：28.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)=记 Z=X
30、+Y。 ()求 PZ= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 P(X 2 =Y 2 )=1，因此 P(X 2 Y 2 )=0。 故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(x=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=一 1)=0可知 P(X=1，Y=一 1)=P(X=1，Y=一 1)+P(X=0，Y=一 1)=P
31、(Y=一 1)= 这样，就可以写出(X，Y)的联合分布如下： ()Z=XY 可能的取值有一 1，0，1。其中 P(Z=一 1)=P(X=1，Y=一 1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= 则有P(Z=0)= 。 因此，Z=XY 的分布律为 ()E(X)= ，E(Y)=0，E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)一E(X).E(Y)=0， 所以 )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 E(X)= ，得到矩估计量 ()对于总体 X的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，其似然函数为 L(x 1 ，x 2 ，x n ；)=f(x 1 ；)f(x 2 ；)f(x n ；)= 2n (x 1 x 2 ，x n ) 3 lnL=2nln31n(x 1 2 ，x n )一 得到最大似然估计量为 )解析：
