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【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷19及答案解析.doc

1、考研数学三(线性代数)-试卷 19 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A=E2 T ,其中 =(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,且有 T =1。则 A 是对称矩阵; A 2 是单位矩阵; A 是正交矩阵; A 是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.43.设 A 为正交矩阵,则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )(分数:2.00)A.A TB.A 2C.A *D.2A4.已知向量组 1 , 2 ,

2、3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关B. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 1 线性无关D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 4 , 4 1 线性无关5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 (分数:2.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0,其中 A,n 均为 mn 矩阵,现有四个命题:若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解,则 r(A)r(B);若 r(A)r(

3、B),则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解;若 Ax=0 与 Bx=0同解,则 r(A)=r(B);若 r(A)=r(B),则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )(分数:2.00)A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是 ( )(分数:2.00)A. 1 |A| nB. 1 |A|C.|A|D.|A| n8.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 可逆,且 AB,则下列命题中 ABBA; A 2 B 2 ; T B T ; A 1 B 1 。 正确的个数为( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.49

4、.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1 =(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 x 1 ) 2B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 x 4 ) 2 +(x 4 x 1 ) 2D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 x 1 ) 2二、填空题(总题数:10,分数:20.00)10.行列式 (分数:2.00)填空项 1:_11.设三

5、阶方阵 A 与 B 相似,且|2E+A|=0。已知 1 =1, 2 =1 是方阵 B 的两个特征值,则|A+2AB|= 1。(分数:2.00)填空项 1:_12.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_13.设 (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 (分数:2.00)填空项 1:_15.已知向量 1 =(1,2,1,1) T , 2 =(2,0,t,0) T , 3 =(0,4,5,t) T 线性无关,则 t 的取值范围为 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设 1 =(6,1,1) T 与 1 =(7,4,2) T 是线性方程组

6、 (分数:2.00)填空项 1:_17.已知 =12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_18.设矩阵 A 与 B= (分数:2.00)填空项 1:_19.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2 X 线性无关,且满足 A 3 X=3Ax2A 2 x。 ()记P=(x,Ax,

7、A 2 X)。求三阶矩阵 B,使 A=PBP 1 ; ()计算行列式|A+E|。(分数:2.00)_22.设 (分数:2.00)_23.已知 A 是三阶矩阵, i (i=1,2,3)是三维非零列向量,令 a= 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1,2,3),证明:,A,A 2 线性无关。(分数:2.00)_24.设向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,且 a 1 0,证明存在某个向量 a k (2km),使 a k 能由 a 1 ,a 2 ,a k1 线性表示。(分数:2.00)_25.设 A= (分数:2.00)_26.设矩阵 A=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a

8、4 ),其中 a 2 ,a 3 ,a 4 线性无关,a 1 =2a 2 a 3 ,向量 ba 1 +a 2 +a 3 +a 4 ,求方程组 Ax=b 的通解。(分数:2.00)_27.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关。证明:如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量,则 1 = 2 = 3 。(分数:2.00)_28.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =1, 3 =0;对应 1 , 2 的特征向量依次为p 1 =(1,2,2) T ,p 2 =(2,1,2) T ,求 A。(分数:2.00)_29.在某国,每年有比例

9、为 p 的农村居民移居城镇,有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变,且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 ()求关系式 中的矩阵 A; ()设目前农村人口与城镇人口相等,即 (分数:2.00)_30.设矩阵 A= (分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 19 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A=E2 T ,其中 =(x 1

10、 ,x 2 ,x n ) T ,且有 T =1。则 A 是对称矩阵; A 2 是单位矩阵; A 是正交矩阵; A 是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4 解析:解析:A T =(E2 T ) T =E T 一(2 T ) T =E2 T =A,成立。 A 2 =(E2 T )(E2 T )=E 一 4 T +4 T T =E 一 4 T +4( T ) T =E,成立。 由、,得 A 2 =AA T =E,故 A 是正交矩阵,成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵,且 A 1 =A T ,成立。 故应选 D。3.设 A 为正交矩阵,则下列矩阵中不属于正交

11、矩阵的是( )(分数:2.00)A.A TB.A 2C.A *D.2A 解析:解析:因 A 为正交矩阵,所以 AA T =A T A=E,且|A| 2 =1。而(2A)(2A) T =4AA T =4E,故 2A不为正交矩阵。所以选 D。 事实上,由 A T (A T ) T =A T A=E,(A T ) T A T =AA T =E,可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 (A 2 ) T =A(AA T )A T =AA T =E,(A 2 ) T A 2 =A T (A T )A=A T A=E,可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =|A|A 1 =|A|A T ,可得 A * (

12、A * ) T =|A|A T (|A|A)=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E,(A * ) T A * =(|A|A)|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E,故 A * 为正交矩阵。4.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则向量组( )(分数:2.00)A. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关B. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 1 线性无关 D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 4 , 4 1 线性无关解析:解析:排除法 通过观察可

13、知 ( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+( 4 1 )=0, ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0, ( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 4 )+( 4 1 )=0, 即选项 A,B,D 中的向量组均线性相关,所以选 C。5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 (分数:2.00)A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析:解析:因为系数矩阵的秩 r(A)=3,则 nr(A)=53=2,故应当有两个自由变量。由于去掉 x 4 ,x 5 两列之后,所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r(A)不相等,故 x 4 ,x 5 不

14、是自由变量。同理,x 3 ,x 5 不能是自由变量。向 x 1 ,x 5 与 x 2 ,x 3 均可以是自由变量,因为行列式 6.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0,其中 A,n 均为 mn 矩阵,现有四个命题:若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解,则 r(A)r(B);若 r(A)r(B),则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解;若 Ax=0 与 Bx=0同解,则 r(A)=r(B);若 r(A)=r(B),则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系,此时其系数矩

15、阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况,所以,显然不正确,利用排除法,可得正确选项为 B。 下面证明,正确: 对于,由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知,方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 B=0 的有效方程的个数(即 r(B),故 r(A)r(B) 对于,由于 A,B 为同型矩阵,若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同,即 nr(A)=nr(B),从而 r(A)=r(B)。7.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是 (

16、 )(分数:2.00)A. 1 |A| nB. 1 |A| C.|A|D.|A| n解析:解析:设向量 x(x0)是与 对应的特征向量,则 Ax=x。两边左乘 A * ,结合 A * A=|A|E 得 A * Ax=A * (x), 即 |A|x=A * x, 从而 A * Ax= 可见 A * 有特征值 8.设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 可逆,且 AB,则下列命题中 ABBA; A 2 B 2 ; T B T ; A 1 B 1 。 正确的个数为( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4 解析:解析:因 AB,可知存在可逆矩阵 P,使得 P 1 AP=B,于是 P 1 A 2 P=

17、B 2 ,P T A T (P T ) 1 =B T ,P 1 A 1 P=B 1 , 故 A 2 B 2 ,A T B T ,A 1 B 1 。 又由于 A 可逆,可知 A 1 (AB)A=BA,即 ABBA。故正确的命题有四个,所以选 D。9.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1 =(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 x 1 ) 2B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 x 4 ) 2 +(x

18、4 x 1 ) 2D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 x 1 ) 2 解析:解析:f=x T Ax 正定 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)10.行列式 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2(x 3 +y 3 )解析:解析:将后两列加到第一列上 11.设三阶方阵 A 与 B 相似,且|2E+A|=0。已知 1 =1, 2 =1 是方阵 B 的两个特征值,则|A+2AB|= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:18)解析:解析:由|2E+A|=0,可得|2EA|=

19、0,即 =2 是 A 的一个特征值。因 A 与 B 相似,且由相似矩阵具有相同的特征值可知, 1 =1, 2 =1 也是 A 的特征值,所以 A、B 的特征值均为 1 =1, 2 =1, 3 =2,则 E+2B 的三个特征值分别为 3,1,3。从而可得|A|= 1 2 3 =2,|E+2B|=3(1)(3)=9,故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|E+2B|=18。12.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5)解析:解析:设 =( 1 , 2 , 3 ) T ,=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T ,则

20、而 T =( 1 , 2 , 3 ) 13.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 A * =|A|A 1 可得(A * ) 1 = 14.已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为 AB+2A=A(B+2E),且 是可逆矩阵,所以 r(AB+2A)=r(A)。 对 A 作初等行变换,则15.已知向量 1 =(1,2,1,1) T , 2 =(2,0,t,0) T , 3 =(0,4,5,t) T 线性无关,则 t 的取值范围为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一,+)解析:解析:由于

21、向量的个数与维数不相等,因此不能用行列式去分析,而需要用齐次方程组只有零解,或者矩阵的秩的特性来分析。 令 A=( 1 , 2 , 3 )= 16.设 1 =(6,1,1) T 与 1 =(7,4,2) T 是线性方程组 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(6,1,1) T +k(13,5,1) T ,k 为任意常数)解析:解析:一方面因为 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解,所以一定有 r(A)= 3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 17.已知 =12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:因

22、为 =12 是 A 的特征值,因此|12EA|=0,即18.设矩阵 A 与 B= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:矩阵 A 与 B 相似,则 A2E 与 B2E 相似,而相似矩阵具有相同的秩,所以 r(A)+r(A2E)=r(B)+r(B2E)=2+1=3。19.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:z 1 2 z 2 2)解析:解析:令 所以该线性变换是非退化的,则原二次型与变换之后的二次

23、型 f=y 1 y 2 是合同的,故有相同的合同规范形。 二次型 f=y 1 y 2 的矩阵为 三、解答题(总题数:11,分数:22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2 X 线性无关,且满足 A 3 X=3Ax2A 2 x。 ()记P=(x,Ax,A 2 X)。求三阶矩阵 B,使 A=PBP 1 ; ()计算行列式|A+E|。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令等式 A=PBP 1 两边同时右乘矩阵 P,得 AP=PB,即 A(x,Ax,A 2 x)=(Ax,A 2 x,

24、A 3 x)=(Ax,A 2 x,3Ax 一 2A 2 x) ()由()知 AB,那么 A+EB+E,从而 )解析:22.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对 A 作初等变换,即 )解析:23.已知 A 是三阶矩阵, i (i=1,2,3)是三维非零列向量,令 a= 1 + 2 + 3 。若 A i =i i (i=1,2,3),证明:,A,A 2 线性无关。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A i =i i (i=1,2,3),且 i (i=1,2,3)非零可知, 1 , 2 , 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量,故 1 , 2 , 3 线性无关。又 A=

25、1 +2 2 +3 3 ,A 2 = 1 +4 2 +9 3 , 所以 (,A,A 2 )=( 1 , 2 , 3 ) )解析:24.设向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,且 a 1 0,证明存在某个向量 a k (2km),使 a k 能由 a 1 ,a 2 ,a k1 线性表示。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,由定义知,存在不全为零的数 1 , 2 , m ,使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0。 因 1 , 2 , m 不全为零,所以必存在 k,使得 k 0,且 k+1 = m =0。 当 k=1 时,

26、代入上式有 1 a 1 =0。又因为 a 1 0,所以 1 =0,与假设矛盾,故 k1。 当 k 0 且 k2 时,有 )解析:25.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()对增广矩阵(A| 1 )作初等行变换,则 得 Ax=0 的基础解系(1,1,2) T 和 Ax= 1 的特解(0,0,1) T 。故 2 =(0,0,1) T +k(1,1,2) T ,其中 k 为任意常数。 A 2 = 对增广矩阵(A 2 | 1 )作初等行变换,有 得 A 2 x=0 的基础解系(1,1,0) T ,(0,0,1) T 和 A 2 x= 1 的特解 故 3 = +t 1 (1,1,0)

27、T + t 2 (0,0,1) T ,其中 t 1 ,t 2 为任意常数。 ()因为 | 1 , 2 , 3 |= )解析:26.设矩阵 A=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ),其中 a 2 ,a 3 ,a 4 线性无关,a 1 =2a 2 a 3 ,向量 ba 1 +a 2 +a 3 +a 4 ,求方程组 Ax=b 的通解。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:已知 2 , 3 , 4 线性无关,则 r(A)3。又由 1 , 2 , 3 线性相关可知 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,故 r(A)3 。 终上所述,r(A)=3,从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。

28、又因为 1 =2 2 3 1 2 2 + 3 =0 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) )解析:27.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关。证明:如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量,则 1 = 2 = 3 。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,则 A( 1 + 2 + 3 )=A( 1 + 2 + 3 )。 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ,于是有 ( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3

29、 =0。 因为 1 , 2 , 3 线性无关,故 1 =0, 2 =0, 3 =0,即 1 = 2 = 3 。)解析:28.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =1, 3 =0;对应 1 , 2 的特征向量依次为p 1 =(1,2,2) T ,p 2 =(2,1,2) T ,求 A。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 为实对称矩阵,故必存在正交矩阵 Q=(q 1 ,q 2 ,q 3 ),使 Q T AQ=Q 1 AQ= 将对应于特征值 1 , 2 的特征向量 P 1 = 单位化,得 由正交矩阵的性质,q 3 可取为 的单位解向量,则由 )解析:29.在某国,每年有

30、比例为 p 的农村居民移居城镇,有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变,且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 ()求关系式 中的矩阵 A; ()设目前农村人口与城镇人口相等,即 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由题意,人口迁移的规律不变 x x+1 =x n + qy n px n =(1p)x n + qy n , y n+1 =y n + px n qy n =px n + (1q)y n , 用矩阵表示为 得 A 的特征值为 1 =1, 2 =r,其中 r=1pq。

31、 当 1 =1 时,解方程(AE)x=0,得特征向量 p 1 = 当 2 =r 时,解方程(ArE)x=0,得特征向量 p 2 = 令 P=(p 1 ,p 2 )= 则 P 1 AP= =,A=PP 1 ,A n =P n P 1 。 于是 )解析:30.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 3 是 A 的特征值,故|3EA|=8(3y1)=0,解得 y=2。于是 由于A T =A,要(AP) T (AP)=P T A 2 P=,而 A 2 = 是对称矩阵,即要 A 2 , 故可构造二次型 x T A 2 x,再化其为标准形。由配方法,有 x T A 2 x=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +5x 4 2 +8x 3 x 4 =y 1 2 +y 2 2 +5y 3 2 + y 4 2 , 其中 y 1 =x 1 ,y 2 =x 2 ,y 3 =x 3 + x 4 ,y 4 =x 4 ,即 于是 (AP) T (AP)=P T A 2 P= )解析:

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