1、考研数学三（线性代数）-试卷 19 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A=E2 T ，其中 =（x 1 ，x 2 ，x n ） T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A *D.2A4.已知向量组 1 ， 2 ，
2、3 ， 4 线性无关，则向量组（ ）（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，n 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（
3、B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0同解，则 r（A）=r（B）；若 r（A）=r（B），则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是 （ ）（分数：2.00）A. 1 |A| nB. 1 |A|C.|A|D.|A| n8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； T B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49
4、.下列二次型中是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 =（x 1 x 2 ） 2 +（x 2 x 3 ） 2 +（x 3 x 1 ） 2B.f 2 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 x 3 ） 2 +（x 3 +x 1 ） 2C.f 3 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 x 4 ） 2 +（x 4 x 1 ） 2D.f 4 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 +x 4 ） 2 +（x 4 x 1 ） 2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_11.设三
5、阶方阵 A 与 B 相似，且|2E+A|=0。已知 1 =1， 2 =1 是方阵 B 的两个特征值，则|A+2AB|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量 1 =（1，2，1，1） T ， 2 =（2，0，t，0） T ， 3 =（0，4，5，t） T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 1 =（6，1，1） T 与 1 =（7，4，2） T 是线性方程组
6、 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_19.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +2x 2 +a 3 x 3 ）（x 1 +5x 2 +b 3 x 3 ）的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 X 线性无关，且满足 A 3 X=3Ax2A 2 x。 （）记P=（x，Ax，
7、A 2 X）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； （）计算行列式|A+E|。（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.已知 A 是三阶矩阵， i （i=1，2，3）是三维非零列向量，令 a= 1 + 2 + 3 。若 A i =i i （i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_24.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k （2km），使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示。（分数：2.00）_25.设 A= （分数：2.00）_26.设矩阵 A=（a 1 ，a 2 ，a 3 ，a
8、4 ），其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 a 3 ，向量 ba 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_27.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_28.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =（1，2，2） T ，p 2 =（2，1，2） T ，求 A。（分数：2.00）_29.在某国，每年有比例
9、为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n （x n +y n =1）。 （）求关系式 中的矩阵 A； （）设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_30.设矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 19 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A=E2 T ，其中 =（x 1
10、 ，x 2 ，x n ） T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：A T =（E2 T ） T =E T 一（2 T ） T =E2 T =A，成立。 A 2 =（E2 T ）（E2 T ）=E 一 4 T +4 T T =E 一 4 T +4（ T ） T =E，成立。 由、，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交矩阵，成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵，且 A 1 =A T ，成立。 故应选 D。3.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交
11、矩阵的是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A *D.2A 解析：解析：因 A 为正交矩阵，所以 AA T =A T A=E，且|A| 2 =1。而（2A）（2A） T =4AA T =4E，故 2A不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 A T （A T ） T =A T A=E，（A T ） T A T =AA T =E，可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 （A 2 ） T =A（AA T ）A T =AA T =E，（A 2 ） T A 2 =A T （A T ）A=A T A=E，可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =|A|A 1 =|A|A T ，可得 A * （
12、A * ） T =|A|A T （|A|A）=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E，（A * ） T A * =（|A|A）|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E，故 A * 为正交矩阵。4.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组（ ）（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关解析：解析：排除法 通过观察可
13、知 （ 1 2 ）+（ 2 3 ）+（ 3 4 ）+（ 4 1 ）=0， （ 1 + 2 ）一（ 2 + 3 ）+（ 3 + 4 ）一（ 4 + 1 ）=0， （ 1 + 2 ）一（ 2 + 3 ）+（ 3 4 ）+（ 4 1 ）=0， 即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为系数矩阵的秩 r（A）=3，则 nr（A）=53=2，故应当有两个自由变量。由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r（A）不相等，故 x 4 ，x 5 不
14、是自由变量。同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量。向 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 6.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，n 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0同解，则 r（A）=r（B）；若 r（A）=r（B），则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有（ ）（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩
15、阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。 下面证明，正确： 对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数（即 r（A）必不少于 B=0 的有效方程的个数（即 r（B），故 r（A）r（B） 对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即 nr（A）=nr（B），从而 r（A）=r（B）。7.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是 （
16、 ）（分数：2.00）A. 1 |A| nB. 1 |A| C.|A|D.|A| n解析：解析：设向量 x（x0）是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A * ，结合 A * A=|A|E 得 A * Ax=A * （x）， 即 |A|x=A * x， 从而 A * Ax= 可见 A * 有特征值 8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； T B T ； A 1 B 1 。 正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，于是 P 1 A 2 P=
17、B 2 ，P T A T （P T ） 1 =B T ，P 1 A 1 P=B 1 ， 故 A 2 B 2 ，A T B T ，A 1 B 1 。 又由于 A 可逆，可知 A 1 （AB）A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选 D。9.下列二次型中是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 =（x 1 x 2 ） 2 +（x 2 x 3 ） 2 +（x 3 x 1 ） 2B.f 2 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 x 3 ） 2 +（x 3 +x 1 ） 2C.f 3 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 x 4 ） 2 +（x
18、4 x 1 ） 2D.f 4 =（x 1 +x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 +（x 3 +x 4 ） 2 +（x 4 x 1 ） 2 解析：解析：f=x T Ax 正定 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2（x 3 +y 3 ）解析：解析：将后两列加到第一列上 11.设三阶方阵 A 与 B 相似，且|2E+A|=0。已知 1 =1， 2 =1 是方阵 B 的两个特征值，则|A+2AB|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由|2E+A|=0，可得|2EA|=
19、0，即 =2 是 A 的一个特征值。因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1 =1， 2 =1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1 =1， 2 =1， 3 =2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，1，3。从而可得|A|= 1 2 3 =2，|E+2B|=3（1）（3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2B）|=|A|E+2B|=18。12.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =（ 1 ， 2 ， 3 ） T ，=（b 1 ，b 2 ，b 3 ） T ，则
20、而 T =（ 1 ， 2 ， 3 ） 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =|A|A 1 可得（A * ） 1 = 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB+2A=A（B+2E），且 是可逆矩阵，所以 r（AB+2A）=r（A）。 对 A 作初等行变换，则15.已知向量 1 =（1，2，1，1） T ， 2 =（2，0，t，0） T ， 3 =（0，4，5，t） T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（一，+）解析：解析：由于
21、向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。 令 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）= 16.设 1 =（6，1，1） T 与 1 =（7，4，2） T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（6，1，1） T +k（13，5，1） T ，k 为任意常数）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r（A）= 3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 17.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因
22、为 =12 是 A 的特征值，因此|12EA|=0，即18.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A2E 与 B2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r（A）+r（A2E）=r（B）+r（B2E）=2+1=3。19.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +2x 2 +a 3 x 3 ）（x 1 +5x 2 +b 3 x 3 ）的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z 1 2 z 2 2）解析：解析：令 所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次
23、型 f=y 1 y 2 是合同的，故有相同的合同规范形。 二次型 f=y 1 y 2 的矩阵为 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 X 线性无关，且满足 A 3 X=3Ax2A 2 x。 （）记P=（x，Ax，A 2 X）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； （）计算行列式|A+E|。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令等式 A=PBP 1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A（x，Ax，A 2 x）=（Ax，A 2 x，
24、A 3 x）=（Ax，A 2 x，3Ax 一 2A 2 x） （）由（）知 AB，那么 A+EB+E，从而 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，即 )解析：23.已知 A 是三阶矩阵， i （i=1，2，3）是三维非零列向量，令 a= 1 + 2 + 3 。若 A i =i i （i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A i =i i （i=1，2，3），且 i （i=1，2，3）非零可知， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 ， 3 线性无关。又 A=
25、1 +2 2 +3 3 ，A 2 = 1 +4 2 +9 3 ， 所以 （，A，A 2 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） )解析：24.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k （2km），使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0。 因 1 ， 2 ， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k 0，且 k+1 = m =0。 当 k=1 时，
26、代入上式有 1 a 1 =0。又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1。 当 k 0 且 k2 时，有 )解析：25.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）对增广矩阵（A| 1 ）作初等行变换，则 得 Ax=0 的基础解系（1，1，2） T 和 Ax= 1 的特解（0，0，1） T 。故 2 =（0，0，1） T +k（1，1，2） T ，其中 k 为任意常数。 A 2 = 对增广矩阵（A 2 | 1 ）作初等行变换，有 得 A 2 x=0 的基础解系（1，1，0） T ，（0，0，1） T 和 A 2 x= 1 的特解 故 3 = +t 1 （1，1，0）
27、T + t 2 （0，0，1） T ，其中 t 1 ，t 2 为任意常数。 （）因为 | 1 ， 2 ， 3 |= )解析：26.设矩阵 A=（a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ），其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 =2a 2 a 3 ，向量 ba 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 2 ， 3 ， 4 线性无关，则 r（A）3。又由 1 ， 2 ， 3 线性相关可知 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，故 r（A）3 。 终上所述，r（A）=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。
28、又因为 1 =2 2 3 1 2 2 + 3 =0 （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） )解析：27.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A（ 1 + 2 + 3 ）=A（ 1 + 2 + 3 ）。 又 A（ 1 + 2 + 3 ）=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是有 （ 1 ） 1 +（ 2 ） 2 +（ 3 ） 3
29、 =0。 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 =0， 2 =0， 3 =0，即 1 = 2 = 3 。)解析：28.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =1， 3 =0；对应 1 ， 2 的特征向量依次为p 1 =（1，2，2） T ，p 2 =（2，1，2） T ，求 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=（q 1 ，q 2 ，q 3 ），使 Q T AQ=Q 1 AQ= 将对应于特征值 1 ， 2 的特征向量 P 1 = 单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由 )解析：29.在某国，每年有
30、比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n （x n +y n =1）。 （）求关系式 中的矩阵 A； （）设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意，人口迁移的规律不变 x x+1 =x n + qy n px n =（1p）x n + qy n ， y n+1 =y n + px n qy n =px n + （1q）y n ， 用矩阵表示为 得 A 的特征值为 1 =1， 2 =r，其中 r=1pq。
31、 当 1 =1 时，解方程（AE）x=0，得特征向量 p 1 = 当 2 =r 时，解方程（ArE）x=0，得特征向量 p 2 = 令 P=（p 1 ，p 2 ）= 则 P 1 AP= =，A=PP 1 ，A n =P n P 1 。 于是 )解析：30.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故|3EA|=8（3y1）=0，解得 y=2。于是 由于A T =A，要（AP） T （AP）=P T A 2 P=，而 A 2 = 是对称矩阵，即要 A 2 ， 故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形。由配方法，有 x T A 2 x=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +5x 4 2 +8x 3 x 4 =y 1 2 +y 2 2 +5y 3 2 + y 4 2 ， 其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 ，y 3 =x 3 + x 4 ，y 4 =x 4 ，即 于是 （AP） T （AP）=P T A 2 P= )解析：
