【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷101及答案解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 101 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（ ）（分数：2.00）A.0B.a 2C.a 2D.na 23.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；A 一 E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设 （

2、分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B5.现有四个向量组 （1，2，3） T ，（3，一 1，5） T ，（0，4，一 2） T ，（1，3，0） T ； （a，1，b，0，0） T ，（c，0，d，2，0） T ，（e，0，f，0，3） T ； （a，1，2，3） T ，（b，1，2，3） T ，（c，3，4，5） T ，（d，0，0，0） T ； （1，0，3，1） T ，（一1，3，0，一 2） T ，（2，1，7，2） T ，（4，2，14，5） T 。 则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.线性

3、相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关7.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（

4、 ）（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解8.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是（ ）（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k（ 1 + 2 ）D.k（ 1 一 2 ）9.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E

5、和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交D.方程组 AX=0 的基础解系由一个向量构成10.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件11.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C（ ）（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.行列式 （分数：2.00）填空项

6、 1:_13.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.任意一个三维向量都可以由 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，一 2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.若 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 =（1，一 1，a） T ，=（1，a，2） T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特

7、征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 f（x 1 ，x 2 ）= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.证明： （分数：2.00）_24.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag（1，1，1，8），且 ABA 1 =BA 1 +3E，求 B。（分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_26.设有齐次线性方程组

8、 （分数：2.00）_27.设方程组 （分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_29.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：2.00）_30.设 且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_31.已知二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（1 一 a）x 1 2 +（1a）x 2 2 +2x 3 2 +2（1+a）x 1 x 2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）化为标准形； （）求方程 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=0 的解。（分数：2.00）_32.设

9、 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 101 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（ ）（分数：2.00）A.0 B.a 2C.a 2D.na 2解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a

10、2nj A 2nj =a 1j A 2j +aA 2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零。所以应选 A。3.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；A 一 E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB=A+B，有（AE）B=A。若 A 可逆，则 |（AE）B|=|AE|B|=|A|0， 所以|B|0，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。 同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从

11、而 AB 可逆，那么A+B=AB 也可逆，故命题正确。 因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。 对于命题，用分组因式分解，即 ABAB+E=E，则有（AE）（B 一 E）=E， 所以得 AE 恒可逆，命题正确。所以应选 D。4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出

12、，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确。5.现有四个向量组 （1，2，3） T ，（3，一 1，5） T ，（0，4，一 2） T ，（1，3，0） T ； （a，1，b，0，0） T ，（c，0，d，2，0） T ，（e，0，f，0，3） T ； （a，1，2，3） T ，（b，1，2，3） T ，（c，3，4，5） T ，（d，0，0，0） T ； （1，0，3，1） T ，（一1，3，0，一 2） T ，（2，1，7，2） T ，（4，2，14，5）

13、T 。 则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于（1，0，0） T ，（0，2，0） T ，（0，0，3） T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。6.设向量组 1

14、， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1 =（1，0，0，0） T ， 2 =（0，1，0，0）

15、 T ， 3 =（0，0，1，0） T ， 2 =（0，0，0，1） T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。7.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解

16、，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r（A）=n 或 r（A）n，以此均不能推得 r（A）=r（A|b），所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r（A）=r（A|b）n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。8.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是（ ）（分数：2.00

17、）A. 1 + 2B.k 1C.k（ 1 + 2 ）D.k（ 1 一 2 ） 解析：解析：因为 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 一 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k（ 1 一 2 ）。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1 =0，则选项 B 不正确；若 1 =一 2 0，则 1 + 2 =0，此时选项 C 不正确。9.设三阶矩阵 A 的特征值

18、是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.矩阵 AE 是不可逆矩阵B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似C.矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交 D.方程组 AX=0 的基础解系由一个向量构成解析：解析：因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一 1，0，一 2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 A 一层不可逆。 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。（或由 A10.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（ ）（分数：2.00）A.充

19、分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，故 |E 一 B|=|E 一|P 1 AP|=|P 1 （E一 A）P| =|P 1 |AEA|P|=|EA|， 即 A 与 B 有相同的特征值。 但当 A，B 有相同特征值时，A与 B 不一定相似。例如 11.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C（ ）（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似 解析：解析：对矩阵

20、作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AE ij =B，E ij B=C，故 C=E ij B=E ij AE ij 。 因 E ij =E ij T =E ij 1 ，故 C=E ij AE ij =E ij 1 AE ij =E ij T AE ij ，故 A 与 C等价，合同且相似，故应选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即13.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= （分数：

21、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2AB 一 B，因此有 C（2AE）=（2AE）B。 因为 所以 C=（2AE）B（2AE） 1 ，于是 C 3 =（2A 一 E）B 3 （2AE） 1 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * =|A|E 代入已知矩阵方程，得|A|X=E+2AX，移项可得（|A|E 一2A）X=E，因此 X=（|A|E 一 2A） 1 。 已知|A|=4，所以 X=（4E 一 2A） 1 = 15.设 （分数：2.00）填空

22、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=O，则有 r（A）+r（B）3，又已知矩阵 BO，因此 r（B）1，那么 r（A）3，则行列式|A|=0。而16.任意一个三维向量都可以由 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，一 2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个三维向量都可以用 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，一 2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性无关。又 1 ， 2 ， 3 为 3 个三维向

23、量，故可考虑其行列式，即| 1 ， 2 ， 3 |= 17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对于任意的 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 3，即 18.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：矩阵 不可逆，故可设 可得线性方程组 故 x 1 =2 一 x 2 ，y 1 =3 一 y 2 ，所以 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 或*）解析：解析： =（ 一 2） 2 一 2 一 2（a2）=0。 如果 =2 是二重根，则

24、 =2 是 2 一 2 一 2（a 一 2）=0 的单根，故 a=2。 如果 2 一 2 一 2（a2）=0 是完全平方，则有=4+8（a2）=0，满足 =1 是一个二重根，此时 20.设 =（1，一 1，a） T ，=（1，a，2） T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（1，一 1，1） T ，k0）解析：解析：令 B= T ，则矩阵 B 的秩是 1，且 T =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3

25、是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 B=（ T ）=（ T ）=2， 即 =（1，一 1，1） T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。21.设 f（x 1 ，x 2 ）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。 =3x 1 x 2 +5x 1 2 +2x 2 2 +3x 1 x 2 =（x 1 ，x 2 ） 因此对应的矩阵为 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：

26、23.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明。 左边=xD n +（一 1） n+2 a 0 )解析：24.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag（1，1，1，8），且 ABA 1 =BA 1 +3E，求 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 A * =|A|A 1 两端取行列式可得|A * |=|A| 4 |A 1 |=|A| 3 ，因为 A * =diag（1，1，1，8），所以|A * |=8，即|A|=2。由 ABA 1 =BA 1 +3E 移项并提取公因式得，（AE）BA 1 =3E，右乘 A 得（AE）B=3A，左乘 A 1 得（E

27、A 1 ）B=3E。 由已求结果|A|=2，知 得 （E 一 A 1 ） 1 =diag（2，2，2， )解析：25.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 1 ， 2 ， s 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r（ 1 ， 2 ， n ）=n。对任一 n 维向量 b，因为 1 ， 2 ， s ，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 1 ， 2 ， n ，b 线性相关。 综上所述 r（ 1 ， 2 ， n ，b）=n。 又因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以

28、n 维向量 b 可由 1 ， 2 ， n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由 1 ， 2 ， n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表示，即 r（ 1 ， 2 ， n ）=nr（ 1 ， 2 ， n ）， 又 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，有 r（ 1 ， 2 ， n ）n。 综上，r（ 1 ， 2 ， n ）=n。所以 1 ， 2 ， n 线性无关。)解析：26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 当 a=0 时，r（A）=1n，方程组有非零解，其同解方程

29、组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =（一 1，1，0，0） T ， 2 =（一 1，0，1，0） T ， n1 =（一 1，0，0，1） T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n1 n1 ，其中 k 1 ，k n1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 当 a= 时，r（A）=n1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：27.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组（1）与（2）联立，得方程组 则方程组（3）的解就是方程组（1）与（2）的公共解。 对方程组（3）的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组（3）有解

30、，所以（a 一 1）（a 一 2）=0。 当 a=1 时， 此时方程组（3）的通解为 k（一 1，0，1） T （k 为任意常数），此即为方程组（1）与（2）的公共解。 当 a=2 时， )解析：28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =|A|E=一 E。对于 A * = 0 ，用 A 左乘等式两端，得 （1）一（3）得 0 =1。将 0 =1 代入（2）和（1），得 b=一 3，a=c。 由|A|=一 1 和 a=c，有 )解析：29.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a=7，b=一 2。 由矩阵 A 的

31、特征多项式|EA|= = 2 一 4 一 5，得 A 的特征值是 1 =5， 2 =一 1。它们也是矩阵 B 的特征值。 分别解齐次线性方程组（5EA）x=0，（一 EA）x=0，可得到矩阵 A 的属于 1 =5， 2 =一 1 的特征向量依次为 1 =（1，1） T ， 2 =（一 2，1） T 。 分别解齐次线性方程组（5E 一 B）x=0，（一 EB）x=0，可得到矩阵 B 的属于 1 =5， 2 =一 1 的特征向量分别是 1 =（一 7，1） T ， 2 =（一1，1） T 。 令 P 1 = ，则有 P 1 1 AP 1 = =P 2 1 BP 2 。 取 P=P 1 P 2 1

32、= )解析：30.设 且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，（1，2，1） T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A 的特征值是 2，5，一 4。 对 =5，由（5E 一 A）x=0 得基础解系 2 =（1，一 1，1） T 。 对 =一 4，由（一 4EA）x=0 得基础解系 3 =（一 1，0，1） T 。 因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2 ， 3 ，即 )解析：31.已知二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（1 一 a）x 1

33、2 +（1a）x 2 2 +2x 3 2 +2（1+a）x 1 x 2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）化为标准形； （）求方程 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 因此 a=0。 （）由（）中结论 a=0，则 由特征多项式 =（ 一 2）（ 一 1） 2 1=（ 一 2） 2 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2，由（2EA）x=0 得特征向量 1 =（1，1，0） T ， 2

34、=（0，0，1） T 。 当 =0，由（0EA）x=0 得特征向量 3 =（1，一 1，0） T 。 容易看出 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1 = （1，1，0） T ， 2 =（0，0，1） T ， 3 = （1，一 1，0） T 。 那么令 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ）= 则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）化为 标准形 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=y T y=2y 1 2 +2y 2 2 。 （）由 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =（x

35、1 +x 2 ） 2 +2x 3 2 =0，得 )解析：32.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，所以 r（B T AB）=n，又因为 r（B T AB）r（B）n，所以 r（B）=n。 充分性：因（B T AB） T =B T A T （B T ） T =B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵。 若 r（B）=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有（Bx） T A（Bx）0。于是当 x0，有 x T （B T AB）x=（Bx） T A（Bx）0，故 B T AB 为正定矩阵。)解析：