1、考研数学二-112 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:20,分数:100.00)1. (分数:5.00)_2.y=(1+x 2 )e -x2 (分数:5.00)_3.设 f,g 为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求 (分数:5.00)_4.设 ,其中 为可微函数,求 (分数:5.00)_5.设 u=f(x,y,z),又 y=(x,t),t=(x,z),求 (分数:5.00)_求下列方程所确定函数的全微分:(分数:5.00)(1).f(x+y,y+z,z+x)=0,求 dz;(分数:2.50)_(2).z=f(xz,z-y),求 dz
2、(分数:2.50)_6.设 z=f(e x siny,x 2 +y 2 ),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 (分数:5.00)_7.已知 (分数:5.00)_8.已知 z=f(xlny,x-y),求 (分数:5.00)_9.设 y=y(x),z=z(x),由 (分数:5.00)_10.设 (分数:5.00)_11.设 z=fx 2 -y,(xy),其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数,(u)二阶可导,求 (分数:5.00)_12.已知 z=z(u),且 ,其中 z(u)可微,“(u)连续,且 (u)1,p(t)连续,试求 (分数:5.00)_13.设 F(x,y(x),z(x)=P(x,y(
3、x)+Q(x,y(x)z(x),其中出现的函数都是连续可微的,试计算 (分数:5.00)_14.设 z=u(x,y)e ax+y , ,试确定常数 a,使 (分数:5.00)_15.若 满足 (分数:5.00)_16.试求函数 z=x 2 +y 2 -xy+x+y 在闭域 D:x0,y0 及 x+y-3 上的最大值与最小值 (分数:5.00)_17.在椭球面 (分数:5.00)_18.求原点到曲面(x-y) 2 -z 2 =1 的最短距离 (分数:5.00)_19.当 x0,y0,z0 时,求函数 u=lnx+2lny+3lnz 在球面 x 2 +y 2 +z 2 =6r 2 上的最大值,并证
4、明对任意的正实数 a,b,c 成立不等式 (分数:5.00)_考研数学二-112 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:20,分数:100.00)1. (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 垂直渐近线为 x=1 斜渐近线为 y=x-1 2.y=(1+x 2 )e -x2 (分数:5.00)_正确答案:()解析:y=(1+x 2 )e -x2 为偶函数,所以只须考虑 x0 情况 y“=2xe -x2 -2x(1+x 2 )e -x2 =-2x 3 e -x2 x0 时,y“0,y 递减,y(0)=1, y“=-6x 2 e -x2 +4x 4 e -x2
5、=(4x 4 -6x 2 )e -x2 时,函数是凸的, 3.设 f,g 为连续可微函数,u=f(x,xy),v=g(x+xy),求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 所以4.设 ,其中 为可微函数,求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 原式两边对 y 求导,x 是 y 的函数,得 5.设 u=f(x,y,z),又 y=(x,t),t=(x,z),求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 求下列方程所确定函数的全微分:(分数:5.00)(1).f(x+y,y+z,z+x)=0,求 dz;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 于是 (2).z=f(xz,z-y),
6、求 dz(分数:2.50)_正确答案:()解析: 于是 6.设 z=f(e x siny,x 2 +y 2 ),其中 f 具有二阶连续偏导数,求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 7.已知 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 8.已知 z=f(xlny,x-y),求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 9.设 y=y(x),z=z(x),由 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 以上两式对 x 求导,得 由克莱姆法则解得 10.设 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 于是 11.设 z=fx 2 -y,(xy),其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数,(u
7、)二阶可导,求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 12.已知 z=z(u),且 ,其中 z(u)可微,“(u)连续,且 (u)1,p(t)连续,试求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 13.设 F(x,y(x),z(x)=P(x,y(x)+Q(x,y(x)z(x),其中出现的函数都是连续可微的,试计算 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 所以 于是 14.设 z=u(x,y)e ax+y , ,试确定常数 a,使 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 所以 15.若 满足 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 同理可得 所以 令 于是 uf“(u)+f“
8、(u)=0.(uf“(u)“=0 即 16.试求函数 z=x 2 +y 2 -xy+x+y 在闭域 D:x0,y0 及 x+y-3 上的最大值与最小值 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 解得 x=-1,y=-1,z(-1,-1)=-1 当 x=0 时,x=y 2 +y,-3y0 最大值为 z(0,-3)=9,最小值为 当 y=0 时,z=x 2 +x,-3x0 最大值为 z(-3,0)=6最小值为 当 x+y=-3 时,z=3x 2 +9x+6,-3x0 当 时 z 有最小值 即 17.在椭球面 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 设直角平行六面体在第一象限的顶点为(x,y,
9、z) 题目转化为求 V=8xyz 的最大值,其中 x,y,z 满足 令 当 xa-,yb-,zc-任意一个成立时,都有0所以 18.求原点到曲面(x-y) 2 -z 2 =1 的最短距离 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 设曲面上达到最短距离的点为(x,y,z),则题目转化为求 d 2 =x 2 +y 2 +z 2 的最小值,其中 x,y,z 满足(x-y) 2 -z 2 =1令 F(x,y,z,)=x 2 +y 2 +z 2 +(x-y) 2 -z 2 - 由,若 =1, 代入,得 解得 x=0,y=0代入曲面方程(x-y) 2 -z 2 =1,得到 z 2 =-1,此时 d 不存
10、在 由,若 1,解得 z=0,由,得到 x=-y,代入曲面方程(x-y) 2 -z 2 =1,得到 所以所求的最短距离为 19.当 x0,y0,z0 时,求函数 u=lnx+2lny+3lnz 在球面 x 2 +y 2 +z 2 =6r 2 上的最大值,并证明对任意的正实数 a,b,c 成立不等式 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 构造函数 F(x,y,z,)=lnx+2lny+31nz-(x 2 +y 2 +z 2 -6r 2 ) 因为在球面上当 y 2 +z 2 趋于 6r 2 ,x 趋于 0 + 时,u 趋于- 所以当 x=r, 时,u 达到最大值 对于任意正实数 a,b,c,令 则 即
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