1、考研数学二-112 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：100.00)1. （分数：5.00）_2.y=(1+x 2 )e -x2 （分数：5.00）_3.设 f，g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求 （分数：5.00）_4.设 ，其中 为可微函数，求 （分数：5.00）_5.设 u=f(x，y，z)，又 y=(x，t)，t=(x，z)，求 （分数：5.00）_求下列方程所确定函数的全微分：（分数：5.00）(1).f(x+y，y+z，z+x)=0，求 dz；（分数：2.50）_(2).z=f(xz，z-y)，求 dz
2、（分数：2.50）_6.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_7.已知 （分数：5.00）_8.已知 z=f(xlny，x-y)，求 （分数：5.00）_9.设 y=y(x)，z=z(x)，由 （分数：5.00）_10.设 （分数：5.00）_11.设 z=fx 2 -y，(xy)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，(u)二阶可导，求 （分数：5.00）_12.已知 z=z(u)，且 ，其中 z(u)可微，“(u)连续，且 (u)1，p(t)连续，试求 （分数：5.00）_13.设 F(x，y(x)，z(x)=P(x，y(
3、x)+Q(x，y(x)z(x)，其中出现的函数都是连续可微的，试计算 （分数：5.00）_14.设 z=u(x，y)e ax+y ， ，试确定常数 a，使 （分数：5.00）_15.若 满足 （分数：5.00）_16.试求函数 z=x 2 +y 2 -xy+x+y 在闭域 D：x0，y0 及 x+y-3 上的最大值与最小值 （分数：5.00）_17.在椭球面 （分数：5.00）_18.求原点到曲面(x-y) 2 -z 2 =1 的最短距离 （分数：5.00）_19.当 x0，y0，z0 时，求函数 u=lnx+2lny+3lnz 在球面 x 2 +y 2 +z 2 =6r 2 上的最大值，并证
4、明对任意的正实数 a，b，c 成立不等式 （分数：5.00）_考研数学二-112 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：20，分数：100.00)1. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 垂直渐近线为 x=1 斜渐近线为 y=x-1 2.y=(1+x 2 )e -x2 （分数：5.00）_正确答案：()解析：y=(1+x 2 )e -x2 为偶函数，所以只须考虑 x0 情况 y“=2xe -x2 -2x(1+x 2 )e -x2 =-2x 3 e -x2 x0 时，y“0，y 递减，y(0)=1， y“=-6x 2 e -x2 +4x 4 e -x2
5、=(4x 4 -6x 2 )e -x2 时，函数是凸的， 3.设 f，g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以4.设 ，其中 为可微函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 原式两边对 y 求导，x 是 y 的函数，得 5.设 u=f(x，y，z)，又 y=(x，t)，t=(x，z)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 求下列方程所确定函数的全微分：（分数：5.00）(1).f(x+y，y+z，z+x)=0，求 dz；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 于是 (2).z=f(xz，z-y)，
6、求 dz（分数：2.50）_正确答案：()解析： 于是 6.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 7.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 8.已知 z=f(xlny，x-y)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 9.设 y=y(x)，z=z(x)，由 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 以上两式对 x 求导，得 由克莱姆法则解得 10.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 于是 11.设 z=fx 2 -y，(xy)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，(u
7、)二阶可导，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 12.已知 z=z(u)，且 ，其中 z(u)可微，“(u)连续，且 (u)1，p(t)连续，试求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 13.设 F(x，y(x)，z(x)=P(x，y(x)+Q(x，y(x)z(x)，其中出现的函数都是连续可微的，试计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以 于是 14.设 z=u(x，y)e ax+y ， ，试确定常数 a，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以 15.若 满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 同理可得 所以 令 于是 uf“(u)+f“
8、(u)=0.(uf“(u)“=0 即 16.试求函数 z=x 2 +y 2 -xy+x+y 在闭域 D：x0，y0 及 x+y-3 上的最大值与最小值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 解得 x=-1，y=-1，z(-1，-1)=-1 当 x=0 时，x=y 2 +y，-3y0 最大值为 z(0，-3)=9，最小值为 当 y=0 时，z=x 2 +x，-3x0 最大值为 z(-3，0)=6最小值为 当 x+y=-3 时，z=3x 2 +9x+6，-3x0 当 时 z 有最小值 即 17.在椭球面 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设直角平行六面体在第一象限的顶点为(x，y，
9、z) 题目转化为求 V=8xyz 的最大值，其中 x，y，z 满足 令 当 xa-，yb-，zc-任意一个成立时，都有0所以 18.求原点到曲面(x-y) 2 -z 2 =1 的最短距离 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设曲面上达到最短距离的点为(x，y，z)，则题目转化为求 d 2 =x 2 +y 2 +z 2 的最小值，其中 x，y，z 满足(x-y) 2 -z 2 =1令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x-y) 2 -z 2 - 由，若 =1， 代入，得 解得 x=0，y=0代入曲面方程(x-y) 2 -z 2 =1，得到 z 2 =-1，此时 d 不存
10、在 由，若 1，解得 z=0，由，得到 x=-y，代入曲面方程(x-y) 2 -z 2 =1，得到 所以所求的最短距离为 19.当 x0，y0，z0 时，求函数 u=lnx+2lny+3lnz 在球面 x 2 +y 2 +z 2 =6r 2 上的最大值，并证明对任意的正实数 a，b，c 成立不等式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 构造函数 F(x，y，z，)=lnx+2lny+31nz-(x 2 +y 2 +z 2 -6r 2 ) 因为在球面上当 y 2 +z 2 趋于 6r 2 ，x 趋于 0 + 时，u 趋于- 所以当 x=r， 时，u 达到最大值 对于任意正实数 a，b，c，令 则 即
