1、考研数学二-212 及答案解析(总分:117.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:18.00)1. (分数:4.00)填空项 1:_2. (分数:4.00)填空项 1:_3. (分数:1.00)填空项 1:_4. (分数:1.00)填空项 1:_5. (分数:4.00)填空项 1:_6.设向量组 1=2,1,1,1, 2=2,1,a,a, 3=3,2,1,a, 4=4,3,2,1线性无关,则a 应满足条件 1(分数:4.00)填空项 1:_二、B选择题/B(总题数:8,分数:17.00)7. (分数:4.00)A.B.C.D.8. (分数:1.00)A.B.C.D.
2、9. (分数:1.00)A.B.C.D.10. (分数:1.00)A.B.C.D.11.设 A 为 mn 矩阵,且 r(A)=m n,则下列结论正确的是U /U (A) A 的任意 m 阶子式都不等于零 (B) A 的任意 m 个列向量线性无关 (C) 方程组 AX=b 一定有无数个解 (D) 矩阵 A 经过初等行变换化为 (分数:4.00)A.B.C.D.12. (分数:1.00)A.B.C.D.13.设 A 是 3 阶矩阵,其特征值为 1,-1,-2,则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A. A+E. B. A-E. C. A+2E. D. 2A+E.(分数:4.00)A.B.C.D.14. (
3、分数:1.00)A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数:9,分数:82.00)15.()证明积分中值定理:若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得()若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (分数:10.00)_16.设 f(x)在0,1连续,且对任意的 x,y0,1都有|f(x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证:(分数:11.00)_17. (分数:1.00)_18. (分数:10.00)_19. (分数:10.00)_20. (分数:10.00)_21.设 f(x)=arctanx,试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)
4、(x)+n(n+1)f(n)(x)=0,并求 f(n)(0)。(分数:10.00)_22. (分数:10.00)_23. (分数:10.00)_考研数学二-212 答案解析(总分:117.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:18.00)1. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:*2. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*3. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:6)解析:*4. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*5. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:*6.设向量组 1
5、=2,1,1,1, 2=2,1,a,a, 3=3,2,1,a, 4=4,3,2,1线性无关,则a 应满足条件 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a1 且*)解析:二、B选择题/B(总题数:8,分数:17.00)7. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:*8. (分数:1.00)A.B.C. D.解析:*9. (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:*10. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:*11.设 A 为 mn 矩阵,且 r(A)=m n,则下列结论正确的是U /U (A) A 的任意 m 阶子式都不等于零 (B) A 的任意 m 个列向量线性无关 (C) 方
6、程组 AX=b 一定有无数个解 (D) 矩阵 A 经过初等行变换化为 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:因为 A 与*都是 m 行,所以*,所以方程组 AX=b 一定有无数个解,选(C)12. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:*13.设 A 是 3 阶矩阵,其特征值为 1,-1,-2,则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A. A+E. B. A-E. C. A+2E. D. 2A+E.(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 *2A+E 的特征值为 3,-1,-3所以 2A+E 可逆,故选(D)14. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:*三、B解答题/B(总题数:9,
7、分数:82.00)15.()证明积分中值定理:若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得()若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (分数:10.00)_正确答案:(证明 ()由函数 f(x)在闭区间a,b上连续知,存在 f(x)在a,b上的最大值 M 与最小值 m,即对*有 mf(x)M从而由定积分的性质可得*这表明*是 f(x)值域m,M上的一个值由闭区间上连续函数的性质知:*使得*()由()的结论知,*分别在区间1,2与2, 上对 (x)应用拉格朗日中值定理即得:* 1(1,2)与 2(2,)分别使得*再在区间 1, 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理,就有 (
8、 1, 2)*(1,3)使得*)解析:16.设 f(x)在0,1连续,且对任意的 x,y0,1都有|f(x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证:(分数:11.00)_正确答案:(将*与*分别改写为: * 于是不等式左端* *)解析:解析 证明积分不等式17. (分数:1.00)_正确答案:(* *)解析:18. (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:19. (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:20. (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:21.设 f(x)=arctanx,试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)
9、f(n)(x)=0,并求 f(n)(0)。(分数:10.00)_正确答案:(因 f(x)=arctanx,则*f(x)(1+x2)=1上式两端求 n+1 阶导数,得*即*于是得递推公式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0令 x=0,由上式得f(n+2)(0)=-n(n+1)f(n)(0),因*所以,由上式知当 n=2m+1 时,f (2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf(2m+1)(0),又因 f(0)=1,所以 f(2m+1)(0)=(-1)m(2m)!)解析:22. (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:23. (分数:10.00)_正确答案:(* *)解析:
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