1、考研数学二-212 及答案解析(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6.设向量组 1=2，1，1，1， 2=2，1，a，a， 3=3，2，1，a， 4=4，3，2，1线性无关，则a 应满足条件 1（分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.
2、9. （分数：1.00）A.B.C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m n，则下列结论正确的是U /U (A) A 的任意 m 阶子式都不等于零 (B) A 的任意 m 个列向量线性无关 (C) 方程组 AX=b 一定有无数个解 (D) 矩阵 A 经过初等行变换化为 （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A. A+E. B. A-E. C. A+2E. D. 2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D.14. （
3、分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：82.00)15.()证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得()若函数 (x)具有二阶导数，且满足 （分数：10.00）_16.设 f(x)在0，1连续，且对任意的 x，y0，1都有|f(x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证：（分数：11.00）_17. （分数：1.00）_18. （分数：10.00）_19. （分数：10.00）_20. （分数：10.00）_21.设 f(x)=arctanx，试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)
4、(x)+n(n+1)f(n)(x)=0，并求 f(n)(0)。（分数：10.00）_22. （分数：10.00）_23. （分数：10.00）_考研数学二-212 答案解析(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：*4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：*6.设向量组 1
5、=2，1，1，1， 2=2，1，a，a， 3=3，2，1，a， 4=4，3，2，1线性无关，则a 应满足条件 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a1 且*）解析：二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*8. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*9. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*10. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*11.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m n，则下列结论正确的是U /U (A) A 的任意 m 阶子式都不等于零 (B) A 的任意 m 个列向量线性无关 (C) 方
6、程组 AX=b 一定有无数个解 (D) 矩阵 A 经过初等行变换化为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：因为 A 与*都是 m 行，所以*，所以方程组 AX=b 一定有无数个解，选(C)12. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*13.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A. A+E. B. A-E. C. A+2E. D. 2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *2A+E 的特征值为 3，-1，-3所以 2A+E 可逆，故选(D)14. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，
7、分数：82.00)15.()证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得()若函数 (x)具有二阶导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(证明 ()由函数 f(x)在闭区间a，b上连续知，存在 f(x)在a，b上的最大值 M 与最小值 m，即对*有 mf(x)M从而由定积分的性质可得*这表明*是 f(x)值域m，M上的一个值由闭区间上连续函数的性质知：*使得*()由()的结论知，*分别在区间1，2与2， 上对 (x)应用拉格朗日中值定理即得：* 1(1，2)与 2(2，)分别使得*再在区间 1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，就有 (
8、 1， 2)*(1，3)使得*)解析：16.设 f(x)在0，1连续，且对任意的 x，y0，1都有|f(x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证：（分数：11.00）_正确答案：(将*与*分别改写为： * 于是不等式左端* *)解析：解析 证明积分不等式17. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：20. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：21.设 f(x)=arctanx，试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)
9、f(n)(x)=0，并求 f(n)(0)。（分数：10.00）_正确答案：(因 f(x)=arctanx，则*f(x)(1+x2)=1上式两端求 n+1 阶导数，得*即*于是得递推公式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0令 x=0，由上式得f(n+2)(0)=-n(n+1)f(n)(0)，因*所以，由上式知当 n=2m+1 时，f (2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf(2m+1)(0)，又因 f(0)=1，所以 f(2m+1)(0)=(-1)m(2m)!)解析：22. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：23. （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：
