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【考研类试卷】考研数学二-414及答案解析.doc

1、考研数学二-414 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.下列反常积分收敛的是_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)连续,且 (分数:4.00)A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1,f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(x)的极值,但(1,f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在a,+)内二阶可导,f(a)=A0,f“(a)0,f“(x)0(xa),则 f(x)在a,+)内_(分数:4.00)A.无根B.有两个根C.有无穷多个根D.有

2、且仅有一个根4.下列结论正确的是_(分数:4.00)A.若 f(x)可导且单调增加,则 f“(x)0B.若 f(x),g(x)皆可导且 f“(x)g“(x),则 f(x)g(x)C.若 f(x),g(x)皆可导且 f(x)g(x),则 f“(x)g“(x)D.若 f“(x)0,则 f(x)单调增加5.设 t0,则当 t0 时, (分数:4.00)A.2B.4C.6D.86.设 y 1 (x),y 2 (x)是微分方程 y“+py“+qy=0 的解,则由 y 1 (x),y 2 (x)能构成方程通解的充分条件是_ A.y“1y2-y1y“2=0 B.y“1y2-y1y“20 C.y“1y2+y1

3、y“2=0 D.y“1y2+y1y“20(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 (分数:4.00)A.当 t2 时,r(A)=1B.当 t2 时,r(A)=2C.当 t=2 时,r(A)=1D.当 t=2 时,r(A)=28.设 n 阶矩阵 A=( 1 , 2 , n ),B=( 1 , 2 , n ),AB=( 1 , 2 , n ),令向量组(): 1 , 2 , n ;(): 1 , 2 , n ;(): 1 , 2 , n ,若向量()线性相关,则_(分数:4.00)A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关

4、D.向量组()与()至少有一个线性相关二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 D:(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 -y 2 ),则 (分数:4.00)10.设 t0,D t =(x,y)|0xy,ty1,则 (分数:4.00)11. (分数:4.00)12.设 z=f(x,y)连续,且 (分数:4.00)13. (分数:4.00)14.设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.计算极限 (分数:9.00)_16.设 u=f(x+y,x-y,z)由 确定 z 为 x,y 的函数,又 f 连续可偏导,

5、p 可导,且 p(y+z)-p(x+z)-10,求 (分数:9.00)_17.设 f(x)在0,2上二阶可导,且 f“(x)0,f“(0)=1,f“(2)=-1,f(0)=f(2)=1证明: (分数:11.00)_设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S,其中一条切线与抛物线相切于点 A(a,a 2 )(a0)(分数:10.00)(1).求 S=S(a)的表达式;(分数:5.00)_(2).当 a 取何值时,面积 S(a)最小?(分数:5.00)_18.计算 (分数:11.00)_19.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切,P(x,y

6、)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为 l 1 ,点 P 处的切线与 y 轴交于点 A,点 A,P 之间的距离为 l 2 ,又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ,求曲线 y=y(x) (分数:10.00)_设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴(分数:12.00)(1).求曲线 y=y(x)的表达式;(分数:4.00)_(2).求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离;(分数:4.00)_(3).计算积分 (分数:4.00)_设非齐次线性方程组 (分数:11.00)(1).证明系数

7、矩阵的秩 r(A)=2;(分数:5.50)_(2).求常数 a,b 的值及通解(分数:5.50)_20.设 ,其中 A T =A又 (分数:11.00)_考研数学二-414 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.下列反常积分收敛的是_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 因为 且 =11,所以 发散 因为 且 =11,所以 发散; 对任意的 0, ,由 得 2.设 f(x)连续,且 (分数:4.00)A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1,f(1)不是曲线 y=f(x)的

8、拐点D.f(1)不是 f(x)的极值,但(1,f(1)是曲线 y=f(x)的拐点解析:解析 因为 ,所以由极限的保号性,存在 0,当 0|x-1| 时,有 3.设 f(x)在a,+)内二阶可导,f(a)=A0,f“(a)0,f“(x)0(xa),则 f(x)在a,+)内_(分数:4.00)A.无根B.有两个根C.有无穷多个根D.有且仅有一个根 解析:解析 ,其中 介于 a 与 x 之间 因为 f(a)=A0, ,所以 f(x)在a,+)上至少有一个根 由 单调不增,所以当 xa 时, 4.下列结论正确的是_(分数:4.00)A.若 f(x)可导且单调增加,则 f“(x)0B.若 f(x),g(

9、x)皆可导且 f“(x)g“(x),则 f(x)g(x)C.若 f(x),g(x)皆可导且 f(x)g(x),则 f“(x)g“(x)D.若 f“(x)0,则 f(x)单调增加 解析:解析 f(x)=x 3 为单调增加的函数,f“(x)=3x 2 ,因为 f“(0)=0,所以 f“(x)0,A 不对; 令 f(x)=x,g(x)=2(x1),显然 f“(x)g“(x),但 f(x)g(x),B 不对; 令 f(x)=2,g(x)=x(x2),显然 f(x)g(x),但 f“(x)g“(x),C 不对; 由微分中值定理得 f(x 2 )-f(x 1 )=f“()(x 2 -x 1 ),因为 f“

10、(x)0,所以 x 2 -x 1 与 f(x 2 )-f(x 1 )同号,即 f(x)单调增加,选 D.5.设 t0,则当 t0 时, (分数:4.00)A.2B.4C.6 D.8解析:解析 因为 所以 6.设 y 1 (x),y 2 (x)是微分方程 y“+py“+qy=0 的解,则由 y 1 (x),y 2 (x)能构成方程通解的充分条件是_ A.y“1y2-y1y“2=0 B.y“1y2-y1y“20 C.y“1y2+y1y“2=0 D.y“1y2+y1y“20(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 y 1 (x),y 2 (x)能构成微分方程 y“+py“+qy=0 通解的充分

11、必要条件是 不是常数,即 7.设 A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 (分数:4.00)A.当 t2 时,r(A)=1 B.当 t2 时,r(A)=2C.当 t=2 时,r(A)=1D.当 t=2 时,r(A)=2解析:解析 方法一: 当 t2 时, 为 AX=0 的两个线性无关的解, 从而 3-r(A)2,r(A)1,又由 A0 得 r(A)1,即 r(A)=1,选 A 方法二: 令 ,由已知条件得 8.设 n 阶矩阵 A=( 1 , 2 , n ),B=( 1 , 2 , n ),AB=( 1 , 2 , n ),令向量组(): 1 , 2 , n ;(): 1 , 2 , n ;():

12、 1 , 2 , n ,若向量()线性相关,则_(分数:4.00)A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()至少有一个线性相关 解析:解析 当向量组()线性相关时,r(A)n,由 r(AB)r(A)得 r(AB)n,即向量组()线性相关;同理,当向量组()线性相关时,r(B)n,由 r(AB)r(B)得 r(AB)n,即向量组()线性相关,选D二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 D:(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 -y 2 ),则 (分数:4.00)解析: 解析 由对称性得 令 则 于是 10.设 t0,D t =

13、(x,y)|0xy,ty1,则 (分数:4.00)解析: 解析 由 得 11. (分数:4.00)解析:解析 12.设 z=f(x,y)连续,且 (分数:4.00)解析:2dx-dy 解析 令 ,由 f(x,y)连续得 f(1,2)=3, 由 13. (分数:4.00)解析: 解析 令 于是 故 14.设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, (分数:4.00)解析: 解析 显然 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为 1 =0, 2 =2,因为 A 为实对称阵,所以 ,解得 k=1, 于是 又因为|E+A|=0,所以 3 =-1 为 A 的特征值,令 3 =-1 对应的特征向

14、量为 , 由 即 得 令 ,由 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.计算极限 (分数:9.00)_正确答案:()解析:解 当 x0 时, ,则 16.设 u=f(x+y,x-y,z)由 确定 z 为 x,y 的函数,又 f 连续可偏导,p 可导,且 p(y+z)-p(x+z)-10,求 (分数:9.00)_正确答案:()解析:解 将 u=f(x+y,x-y,z)及 两边对 x 求偏导得 解得 故 17.设 f(x)在0,2上二阶可导,且 f“(x)0,f“(0)=1,f“(2)=-1,f(0)=f(2)=1证明: (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 首先 f“(x)0,所

15、以 f(x)在(0,2)内不可能取到最小值,从而 f(0)=f(2)=1 为最小值,故f(x)1(x0,2),从而 又 因为 f“(x)0,所以有 所以 设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S,其中一条切线与抛物线相切于点 A(a,a 2 )(a0)(分数:10.00)(1).求 S=S(a)的表达式;(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 设另一个切点为 ,则抛物线 y=x 2 的两条切线分别为 因为 L 1 L 2 ,所以 ,两条切线 L 1 ,L 2 的交点为 y 1 =ax 0 ,L 1 ,L 2 及抛物线y=x 2 所围成的面积为 (2).当

16、a 取何值时,面积 S(a)最小?(分数:5.00)_正确答案:()解析:解 因为当 时,S“(a)0, 当 时,S“(a)0, 所以当 18.计算 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 19.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为 l 1 ,点 P 处的切线与 y 轴交于点 A,点 A,P 之间的距离为 l 2 ,又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ,求曲线 y=y(x) (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 由已知条件得 y(0)=0,y“(0)=0, P(x,y)处的切线为 Y-y=

17、y“(X-x), 令 X=0,则 Y=y-xy“,A 的坐标为(0,y-xy“), 由 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 得 两边对 x 求导整理得 1+y “2 =2(x+1)y “ y “ , 令 y“=p, ,代入得 变量分离得 积分得 ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ,即 1+p 2 =C 1 (x+1), 由初始条件得 C 1 =1,即 ,从而 , 再由 y(0)=0 得 C 2 =0,故所求的曲线为 设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴(分数:12.00)(

18、1).求曲线 y=y(x)的表达式;(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 微分方程的特征方程为 2 2 +-1=0, 特征值为 1 =-1, ,则微分方程 2y“+y“-y=0 的通解为 令非齐次线性微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特解为 y 0 (x)=x(ax+b)e -x ,代入原方程得 a=1,b=0,故原方程的特解为 y 0 (x)=x 2 e -x ,原方程的通解为 (2).求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离;(分数:4.00)_正确答案:()解析:解 曲线 y=x 2 e -x 到 x 轴的距离为 d=x 2 e -x , 令 d“=2xe -x

19、-x 2 e -x =x(2-x)e -x =0,得 x=2 当 x(0,2)时,d“0; 当 x2 时,d“0, 则 x=2 为 d=x 2 e -x 的最大值点,最大距离为 (3).计算积分 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 设非齐次线性方程组 (分数:11.00)(1).证明系数矩阵的秩 r(A)=2;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 令 r(A)=r,因为系数矩阵至少有两行不成比例,所以 r(A)2 1 - 2 , 1 - 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 3 )=0,即(k 1 +k 2 ) 1 -k 1 2

20、-k 2 3 =0 因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 k 1 =k 2 =0,即 1 - 2 , 1 - 3 线性无关,于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量,即 4-r2 或 r2,故 r(A)=2(2).求常数 a,b 的值及通解(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 因为 ,所以 解得 a=2,b=-3,于是 通解为 20.设 ,其中 A T =A又 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 ,由 AB=O 得 B 的列为 AX=0 的解, 令 ,由 A 1 =0 1 ,A 2 =0 2 得 1 = 2 =0 为 A 的特征值, 1 , 2 为 1 = 2 =0 对应的线性无关的特征向量 又由 1 + 2 + 3 =tr(A)=6 得 3 =4, 令 为 3 =4 对应的特征向量, 由 A T =A 得 3 =4 对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得

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