1、考研数学二-414 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在a，+)内二阶可导，f(a)=A0，f“(a)0，f“(x)0(xa)，则 f(x)在a，+)内_（分数：4.00）A.无根B.有两个根C.有无穷多个根D.有
2、且仅有一个根4.下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若 f(x)可导且单调增加，则 f“(x)0B.若 f(x)，g(x)皆可导且 f“(x)g“(x)，则 f(x)g(x)C.若 f(x)，g(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(x)D.若 f“(x)0，则 f(x)单调增加5.设 t0，则当 t0 时， （分数：4.00）A.2B.4C.6D.86.设 y 1 (x)，y 2 (x)是微分方程 y“+py“+qy=0 的解，则由 y 1 (x)，y 2 (x)能构成方程通解的充分条件是_ A.y“1y2-y1y“2=0 B.y“1y2-y1y“20 C.y“1y2+y1
3、y“2=0 D.y“1y2+y1y“20（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：4.00）A.当 t2 时，r(A)=1B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=28.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关
4、D.向量组()与()至少有一个线性相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D：(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 -y 2 )，则 （分数：4.00）10.设 t0，D t =(x，y)|0xy，ty1，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 （分数：9.00）_16.设 u=f(x+y，x-y，z)由 确定 z 为 x，y 的函数，又 f 连续可偏导，
5、p 可导，且 p(y+z)-p(x+z)-10，求 （分数：9.00）_17.设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f“(0)=1，f“(2)=-1，f(0)=f(2)=1证明： （分数：11.00）_设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2 )(a0)（分数：10.00）(1).求 S=S(a)的表达式；（分数：5.00）_(2).当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：5.00）_18.计算 （分数：11.00）_19.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x，y
6、)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x) （分数：10.00）_设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴（分数：12.00）(1).求曲线 y=y(x)的表达式；（分数：4.00）_(2).求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离；（分数：4.00）_(3).计算积分 （分数：4.00）_设非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明系数
7、矩阵的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_(2).求常数 a，b 的值及通解（分数：5.50）_20.设 ，其中 A T =A又 （分数：11.00）_考研数学二-414 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 且 =11，所以 发散 因为 且 =11，所以 发散； 对任意的 0， ，由 得 2.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)不是曲线 y=f(x)的
8、拐点D.f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x-1| 时，有 3.设 f(x)在a，+)内二阶可导，f(a)=A0，f“(a)0，f“(x)0(xa)，则 f(x)在a，+)内_（分数：4.00）A.无根B.有两个根C.有无穷多个根D.有且仅有一个根 解析：解析 ，其中 介于 a 与 x 之间 因为 f(a)=A0， ，所以 f(x)在a，+)上至少有一个根 由 单调不增，所以当 xa 时， 4.下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若 f(x)可导且单调增加，则 f“(x)0B.若 f(x)，g(
9、x)皆可导且 f“(x)g“(x)，则 f(x)g(x)C.若 f(x)，g(x)皆可导且 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(x)D.若 f“(x)0，则 f(x)单调增加 解析：解析 f(x)=x 3 为单调增加的函数，f“(x)=3x 2 ，因为 f“(0)=0，所以 f“(x)0，A 不对； 令 f(x)=x，g(x)=2(x1)，显然 f“(x)g“(x)，但 f(x)g(x)，B 不对； 令 f(x)=2，g(x)=x(x2)，显然 f(x)g(x)，但 f“(x)g“(x)，C 不对； 由微分中值定理得 f(x 2 )-f(x 1 )=f“()(x 2 -x 1 )，因为 f“
10、(x)0，所以 x 2 -x 1 与 f(x 2 )-f(x 1 )同号，即 f(x)单调增加，选 D.5.设 t0，则当 t0 时， （分数：4.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析 因为 所以 6.设 y 1 (x)，y 2 (x)是微分方程 y“+py“+qy=0 的解，则由 y 1 (x)，y 2 (x)能构成方程通解的充分条件是_ A.y“1y2-y1y“2=0 B.y“1y2-y1y“20 C.y“1y2+y1y“2=0 D.y“1y2+y1y“20（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 y 1 (x)，y 2 (x)能构成微分方程 y“+py“+qy=0 通解的充分
11、必要条件是 不是常数，即 7.设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 （分数：4.00）A.当 t2 时，r(A)=1 B.当 t2 时，r(A)=2C.当 t=2 时，r(A)=1D.当 t=2 时，r(A)=2解析：解析 方法一： 当 t2 时， 为 AX=0 的两个线性无关的解， 从而 3-r(A)2，r(A)1，又由 A0 得 r(A)1，即 r(A)=1，选 A 方法二： 令 ，由已知条件得 8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，令向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()：
12、 1 ， 2 ， n ，若向量()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与向量组()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()至少有一个线性相关 解析：解析 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组()线性相关时，r(B)n，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n，即向量组()线性相关，选D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D：(x 2 +y 2 ) 2 4(x 2 -y 2 )，则 （分数：4.00）解析： 解析 由对称性得 令 则 于是 10.设 t0，D t =
13、(x，y)|0xy，ty1，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 得 11. （分数：4.00）解析：解析 12.设 z=f(x，y)连续，且 （分数：4.00）解析：2dx-dy 解析 令 ，由 f(x，y)连续得 f(1，2)=3， 由 13. （分数：4.00）解析： 解析 令 于是 故 14.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）解析： 解析 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1 =0， 2 =2，因为 A 为实对称阵，所以 ，解得 k=1， 于是 又因为|E+A|=0，所以 3 =-1 为 A 的特征值，令 3 =-1 对应的特征向
14、量为 ， 由 即 得 令 ，由 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， ，则 16.设 u=f(x+y，x-y，z)由 确定 z 为 x，y 的函数，又 f 连续可偏导，p 可导，且 p(y+z)-p(x+z)-10，求 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 将 u=f(x+y，x-y，z)及 两边对 x 求偏导得 解得 故 17.设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f“(0)=1，f“(2)=-1，f(0)=f(2)=1证明： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 首先 f“(x)0，所
15、以 f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)=f(2)=1 为最小值，故f(x)1(x0，2)，从而 又 因为 f“(x)0，所以有 所以 设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2 )(a0)（分数：10.00）(1).求 S=S(a)的表达式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设另一个切点为 ，则抛物线 y=x 2 的两条切线分别为 因为 L 1 L 2 ，所以 ，两条切线 L 1 ，L 2 的交点为 y 1 =ax 0 ，L 1 ，L 2 及抛物线y=x 2 所围成的面积为 (2).当
16、a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为当 时，S“(a)0， 当 时，S“(a)0， 所以当 18.计算 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 19.设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由已知条件得 y(0)=0，y“(0)=0， P(x，y)处的切线为 Y-y=
17、y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy“，A 的坐标为(0，y-xy“)， 由 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 得 两边对 x 求导整理得 1+y “2 =2(x+1)y “ y “ ， 令 y“=p， ，代入得 变量分离得 积分得 ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即 1+p 2 =C 1 (x+1)， 由初始条件得 C 1 =1，即 ，从而 ， 再由 y(0)=0 得 C 2 =0，故所求的曲线为 设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴（分数：12.00）(
18、1).求曲线 y=y(x)的表达式；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 微分方程的特征方程为 2 2 +-1=0， 特征值为 1 =-1， ，则微分方程 2y“+y“-y=0 的通解为 令非齐次线性微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特解为 y 0 (x)=x(ax+b)e -x ，代入原方程得 a=1，b=0，故原方程的特解为 y 0 (x)=x 2 e -x ，原方程的通解为 (2).求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=x 2 e -x 到 x 轴的距离为 d=x 2 e -x ， 令 d“=2xe -x
19、-x 2 e -x =x(2-x)e -x =0，得 x=2 当 x(0，2)时，d“0； 当 x2 时，d“0， 则 x=2 为 d=x 2 e -x 的最大值点，最大距离为 (3).计算积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明系数矩阵的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以 r(A)2 1 - 2 ， 1 - 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k 1 ( 1 - 2 )+k 2 ( 1 - 3 )=0，即(k 1 +k 2 ) 1 -k 1 2
20、-k 2 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 k 1 =k 2 =0，即 1 - 2 ， 1 - 3 线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即 4-r2 或 r2，故 r(A)=2(2).求常数 a，b 的值及通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 解得 a=2，b=-3，于是 通解为 20.设 ，其中 A T =A又 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ，由 AB=O 得 B 的列为 AX=0 的解， 令 ，由 A 1 =0 1 ，A 2 =0 2 得 1 = 2 =0 为 A 的特征值， 1 ， 2 为 1 = 2 =0 对应的线性无关的特征向量 又由 1 + 2 + 3 =tr(A)=6 得 3 =4， 令 为 3 =4 对应的特征向量， 由 A T =A 得 3 =4 对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得
