1、考研数学（数学一）模拟试卷 414 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(0)0（D）可导且 f(0)=02 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则在 x 的变化区间(0，1)内（A）函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的（B）函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凸的（C）函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凹的（D）函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凸的3 累次积分 f(rcos，rsin )rdr 等于4 设数列u n，v
2、n满足 m M ，其中 m，M 是大于零的常数，vn0(n=1，2)考虑以下命题： 若级数 un 发散，则 vn 必发散； 若级数 vn 收敛，则 un 必收敛； 级数 un 与 vn 同时收敛或发散； 当级数vn=1 时，级数 un 必收敛，且其和必介于 m 与 M 之间，其中正确的个数是（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，且 mn，若 AB=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（A）矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关（B）矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关（C）矩阵 A 的行向量组线性相关，
3、矩阵 B 的行向量组线性相关（D）矩阵 A 的行向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关6 设 A 是任一 n 阶可逆矩阵(n3)，k 为常数，且 k0，1，则(kA -1)*等于 7 设 A，B 为随机事件，且 BA考虑下列式子P(A+B)=P(A)； P(AB)=P(B) ；P(B-A)=P(B)-P(A)； P(BA)=P(B) ，其中正确的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 X1，X 2，X n 是取自二项总体 B(5， )的简单随机样本， 是其样本均值，则二、填空题9 设函数 f(x)= 在 x=1 处连续，则 a=_10 设函数 y(x)由参数方程 确定，则 y(
4、x)的凸区间的 t 的取值范围是_11 设数量场 u=ln(x2+y2+z2)，则 div(gradu)=_12 设 是曲面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 xdydz+ydzdx+zdxdy=_13 已知正负惯性指数均为 1 的二次型 xTAx 经过合同变换 x=Py 化为 yTBy，其中矩阵 B= ，则 a=_14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立同分布，且 DXi=2(i=1，2，3，4)，记X=X1+X2+X3，Y=X 3+X4，则 X 与 Y 的相关系数等于 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 在椭圆 x2+ =1 的第一象限内
5、求一点 M，使得原点到椭圆在 M 点处法线的距离最远，并求出最远距离16 设 y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为 R=y3 ，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为 y=1，求函数 y(x)17 计算二重积分 I= xyminx，y曲，其中 D=(x，y)x1，y118 设 0a b，证明不等式：18 设幂级数 anxn 在(-，+) 内收敛，其和函数 y(x)满足 y-2xy-4y=0，且 y(0)=0，y(0)=1 19 证明：a n+2= ，n=1 ，2，3，；20 求 y(x)的表达式21 已知线性方程组() 与() 同解，求a，b，c 的
6、值，并求其通解21 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3322 求矩阵 A 的特征值；23 问 A 能否相似对角化?若能，请求出相似变换矩阵 P 与对角阵 A；若不能，请说明理由23 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=24 求常数 A 的值.25 求 X 的分布函数.26 求 Y=2X+1 的概率密度函数 g(y)26 设二维随机变量(X，Y)在矩形域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，记 U=27 求 U 和 V 的联合分布.28 求概率 PU0V=0.29 求 U 和 V 的相关
7、系数考研数学（数学一）模拟试卷 414 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查分段函数在分段点处的连续性与可导性问题讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性问题，必须用相应的定义求解 解：显然 f(0)=0因 故 f(x)在 x=0 处连续又可见 f(x)在 x=0 处不可导2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查由参数方程确定的函数的单调性与凹凸性问题，只要求出，由它们在(0，1)内的符号即可判定 解：当 z(0，1)时，t (0， )，则 故在区间(0，1)内，函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的3 【
8、正确答案】 A【试题解析】 本题考查将二重积分的极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分问题，按二重积分交换次序的方法步骤“找边界、画草图、换次序”求解即可 解：由题设所给极坐标累次积分可画出积分区域 D 如图所示，其边界曲线分别为 (x+1) 2+y2=1， y=-x， 于是 I=4 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查抽象型数项级数的收敛性问题，可由题设条件直接分析推导，也可举反例排除，此处用前者 解：由题设条件 m M，m0，可知 un与 vn 同号，不妨设 un0 ，v n0，于是有 mu nu n，u nMv n 根据正项级数比较判别法可知，若级数 发散，则级数 必发散，从
9、而级数 发散；若级数 收敛，则级数 必收敛，从而级数 也收敛同样，若级数收敛，则 收敛，从而 收敛；若级数 发散，则 发散，从而级数 发散，可见， ，正确 当级数 =1 时，由条件m M 得 mvnu nMv n(不妨设 un，v n0)，进而得 由于级数 收敛时， 必收敛，故也正确5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查向量组的线性相关性问题数值型的情形一般用秩分析；抽象型的情形一般利用线性相关性的结论研究分析，但若能寻求其秩时当然用秩分析求解简便所以对于讨论向量组的线性相关性问题，“能找秩就找秩”! 解：显然r(AB)=n由矩阵“越乘秩越小”性质及矩阵秩的定义可知 n=r(AB)r(A)
10、minm，n， n=r(AB)r(B)minm，n， 又 mn，故 minm，n=n，从而可得 r(Anm)=nm， r(B mn)=nm， 即矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关 注：由本题条件及上述分析求解过程还可得出矩阵 A 的行向量组与矩阵 B 的列向量组都线性无关6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查求矩阵的伴随矩阵问题见到伴随矩阵 A*，就要想到用AA*=A*A=AE 或 A*=A A -1 处理 解：因矩阵 A 可逆，故由 A*=AA -1可得 (kA -1)*=kA -1(kA -1)-1=knA -1.7 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查随
11、机事件的运算，按相应的运算律求解即可 解：因B?A，故 AB=A，AB=B，B-A=，从而 P(AB)=P(A)， P(AB)=P(B)， P(B-A)=0，可见 ，正确，不正确又由条件概率可得 P(BA)= ，故不正确8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查样本函数的协方差与方差的计算问题，利用“运算性质法”与“已知分布法”求解即可，求解过程中要注意简单随机样本是相互独立且与总体是同分布的 解： (Xi，X 1+Xi+Xn) 同理可得 注：上述计算过程中用到了 cov(Xi，X j)=0，其中 Xi 与 Xj 相互独立在计算方差 D(Xi+ )或 D(Xi/sub- )时，要先把不独立的随
12、机变量分开，再利用方差的性质求解二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 本题考查函数连续定义，只要求出极限 即可注意，要先利用等价无穷小代换化简分子，这样会简便些 解：因 x1 时，lncos(x-1)=ln1+cos(-1)-1cos(x-1)-，故 由函数连续定义可知，a=10 【正确答案】 (-1，0)【试题解析】 本题考查求由参数方程确定的函数的凹凸区间问题，只要求出即可解：因 由题设知1+t0，即 t-1 ，故当-1 t 0 时， 0，曲线 y=y(x)是凸的；t0 时，0，曲线 y=y(x)是凹的11 【正确答案】 【试题解析】 本题考查求多元函数的梯度与散度问题，利用相应的公式
13、求解即可解：gradu= div(grad u)=而同理可得故 div(gradu)=12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查第二类曲面积分计算问题，可利用高斯公式转化为三重积分，再用球坐标化为累次积分计算可得 解：由高斯公式得13 【正确答案】 -2【试题解析】 本题实质上考查矩阵的合同变换矩阵的合同变换是特殊的等价变换，不改变矩阵的秩，由此可得解：由二次型的秩等于其正、负惯性指数之和，故 r(A)=2，从而 r(B)=2，B=0 由B=-(a-1)2(a+2)=0 得 a=1 或 a=-2由于 a=1 时，r(B)=1，不合题意，故 a=-214 【正确答案】 【试题解析】 本题考查两随
14、机变量的相关系数问题，利用相关系数的计算公式以及协方差、方差的运算性质求解即可 解 因 X1， X2，X 3，X 4 相互独立同分布，故有 cov(X，Y)=cov(X 1+X2+X3，X 3+X4) =cov(X3，X 3)=DX3=2 又DX=D(X1+X2+X3)=32，DY=D(X 3+X4)=22，因此三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 M 点坐标为 M(x，y)，则椭圆在点 M 处的法线方程为 Y-y= (X-x)，即 yX-4xY+3xy=0从而原点到法线的距离为 d= 因，故所求距离 d 在条件 x2+ =1 下的最大值，即是求 f(x，y
15、)=在条件 4x2+y2=4 下的最小值 令 F(x,y,)= +(4x2+y2-4)，则由得 x= 故所求第一象限内的点为，此时【试题解析】 本题主要考查求多元函数条件极值问题先写出法线方程，求出原点到法线的距离，再用拉格朗 Et 乘数法求条件极值注：由于在第一象限内驻点唯一，且由问题的实际意义可知该点必存在，故此唯一驻点必是问题的最优解另要注意，由拉格朗日乘数法求出的驻点也不能用无条件极值的充分条件判定是否为极值点16 【正确答案】 曲线 y=y(x)上任意一点处的曲率半径为 R= ，故由题设条件有 ，即 y3y+1=0这是不显含 x 的可降阶的微分方程令 =p，则 于是方程化为 两边积分
16、，得 因曲线 y=y(x)上点(1，1)处切线方程为 y=1，故 y(1)=1，y(1)=p(1)=0代入上述方程，可得 C1=从而有 于是有 =dx两边积分，得 =x+C2 由【试题解析】 本题主要考查曲率半径的概念，并由此构造一个可降阶的微分方程建立出这个微分方程，解之即可注：对干求解可降阶的高阶微分方程的特解问题，要根据初始条件随时确定积分后出现的任意常数，这样一般会使计算得以简化请读者参阅求解过程仔细体会17 【正确答案】 画出积分区域 D 的图形如图所示要先处理被积函数中的最小函数，为此用 y=z 分 D 为 D1，D 2 两部分，则要处理被积函数中的绝对值函数，利用对称性结论将简单
17、些为此用 y=-x 再划分 D1，D 2 分别为D11，D 12；D 21，D 22，考虑到 xxy是 x 的奇函数，而 D12 关于 y 轴对称；yxy是 y 的奇函数，而 D【试题解析】 本题考查二重积分的计算问题要先划分区域 D，处理掉被积函数中的最小函数以及绝对值函数，再化为累次积分计算18 【正确答案】 原不等式等价于 lna+ln(b+1)-lnb-ln(a+1) ，即+lna-ln(a+1) +lnb-ln(b+1) 可见只要证明函数 f(x)= +lnx-ln(x+1)单调增加即可，因 f(x)= 故 f(x)单调增加，于是当 0 +lna-ln(a+1) +lnb-ln(b+
18、1)，再恒等变形可得所证不等式【试题解析】 本题考查双参数不等式的证明问题见到不等式的证明问题，就要想到能否用单调性证之，这首先要恒等变形所证不等式19 【正确答案】 因幂级数在(-，+) 内收敛，故其和函数 y(x)在(-，+)内任意阶可导，故有y= (n+2)(n+1)an+2xn，于是得 y-2xy-4y= =2a2-4a0+ (n+2)(n+1)n+2-2(n+2)anxn=0 由 y(x)= anxn 及 y(0)=0【试题解析】 本题主要考查幂级数的运算性质将幂级数代人题设条件中的微分方程，化简整理后可得20 【正确答案】 由() 可知，a 2=a4=a2n=0，n=1，2， 由
19、y(0)=1 及 y(x)=，得 a1=1，于是仍由()得 a 3=a1=1， a 5于是21 【正确答案】 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得取 x2，x 4 为自由变量，得基础解系为 1=(-1，1，-4，0) T， 2=(a，0，-3a，1) T代入()中，得方程组()与()的通解为 x=k 1(-1，1，-4，0)T+k2(2，0，6，1) T，k【试题解析】 本题考查两个齐次线性方程组解的关系问题由于方程组()容易求解，故考虑可先求出(I)的解，再代入方程组( )中即可求得 a，b，c 的值注：本题也可用“一般法”求解，即由两个方程组系数矩阵的行向量组等价求解，但稍繁琐些，请读
20、者练习22 【正确答案】 将题设三个向量等式条件合并成一个矩阵等式，得 (A1， A2，A 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)，即有 A(1， 2， 3)( 1， 2，【试题解析】 本题考查求抽象矩阵的特征值及其相似对角化问题见到一组向量的等式，就要想到可将其合并成一个矩阵的等式，有了此矩阵等式，问题便迎刃而解23 【正确答案】 对于矩阵 B，求方程组(E-B)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =1的两个线性无关的特征向量 1=(-1，1，0) T， 2=(2，0，1) T 求方程组(4E-B)x=0 的基础解系，可得 B 的属于特征值 =4的特征向量 3=(0，1，1)
21、 T 令P1=(1， 2， 3)，则有24 【正确答案】 由【试题解析】 本题考查一维连续型随机变量的有关问题对于求概率密度中的参数，由概率密度的性质 f(x)dx=1 可得；求 X 的分布函数，就是求概率 F(x)=PXx= f(t)dt；对于求函数 Y=2X+1 的概率密度问题，就用分布函数法，即先求出 Y 的分布函数 G(y)，再求导可得 Y 的概率密度 g(y)注：第()问中，由于 Y=2X+1 单调增加，故求 y 的分布可直接套用教材中的公式25 【正确答案】 当 x 时，F(x)=PXx=0；当 时，F(x)=当 x 时，F(x)=1于是 26 【正确答案】 因 G(y)=PYy=
22、P2X+1y=PX (y-1)， 当 (y-1) ，即y1- 时，G(y)=0； 当 ，即 1-y1+ 时，由()知 G(y)=F； 当 ，即 y1+时，G(y)=1 因此 g(y)=G(y)=27 【正确答案】 如图所示，因二维随机变量(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布，故 PXY= ，PYX2Y= ，PX 2Y= 因 U 和V 的所有可能取值都是 0，1，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y)=PXY= ，PU=0 ， V=1=P(XY，X2Y)=0，PU=1，V=0=PXY ，X2Y=PYX2Y= ， PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2Y= ，故(U，V) 的分布律为【试题解析】 本题主要考查二维离散型随机变量的有关问题，其关键是求出 U与 V 的联合分布律见到求分布律问题，就想“ 三大纪律”定取值、算概率、验证 1，其中的求概率是已知二维均匀分布求概率，可利用二维几何概型求解，即只要求得相应的面积比(所求随机事件的面积与样本空间的面积之比)即可28 【正确答案】 因 PV=0= ，故 PU0V=0=29 【正确答案】 由() 可得 U，V，UV 的分布律分别为于是EU= ，EV= ，EU 2= ， EV2= ，E(UV)= DU=EU2-(EU)2= ，DV=EV 2-(EV)2= ， cov(U，V)=E(UV)-EU.EV= ，因此
