1、考研数学三-414 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(0)=1， 为常数且 0，则 _ A+ B- C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续可导，且 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.x=x0 为 f(x)的极大值点B.x=x0 为 f(x)的极小值点C.(x0，f(x0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(x0，f(x0)不是曲线 y=f(x)的拐点3.设正项级数 发散，令 s n =a 1 +a 2 +a
2、n ，则下列结论正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散， C 可能收敛也可能发散 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.曲线 （分数：4.00）A.3B.2C.1D.05.下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若 A，B 的特征值相同，则 A 与 B 相似B.矩阵 A 的秩与其非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 A 与 B 等价D.A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 A 与 B 相似6.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是_（分数：4.00）A.A 为可逆方阵B.齐次线性方程组 Ax=0 只有零解C.A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量组
3、线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数_（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 ， ，则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2， （分数：4.00）11.
4、差分方程 y x+1 -3y x =23 x 的通解为 1 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 ， 均是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 A 2 =A+2E，则 T = 1 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态分布总体 X 与 Y 的简单随机样本，令 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_设 f(x)为-a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 （分数：9.99）(1).证明：F“(x)单调增加；
5、（分数：3.33）_(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值；（分数：3.33）_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1 时，求函数 f(x)（分数：3.33）_16.计算二重积分 （分数：10.00）_17.设成本函数 C(x)二阶可导，其中 x 为产量，C 为成本，且平均成本 在 x 0 处有极小值，求证： (1)在 x 0 处边际成本 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 2 ax 1 x 2 + 2 bx 2 x 3 - 2 x 1 x 3 ，(a0)，经正交变换 x=Py 化为 （分数：11.00
6、）(1).求 a，b；（分数：5.50）_(2).求上述正交矩阵 P（分数：5.50）_设 1 ， 2 与 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时随机变量 Y 的条件密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y 的密度函数；（分数：3.67）_(2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_(3).求 Z=X-Y 的密度函数（分数：3.67
7、）_设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知且 （分数：11.01）(1). 的矩估计值；（分数：3.67）_(2). 的最大似然估计值；（分数：3.67）_(3).经验分布函数 F 8 (x)（分数：3.67）_考研数学三-414 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(0)=1， 为常数且 0，则 _ A+ B- C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f“(0)及导数的定义，有 选 B. 另外，若用特例特法，真可谓瞬间搞定! 事实上，若取 f(x)=x， 2.设 f(x)在 x 0 的邻域内三阶连续
8、可导，且 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.x=x0 为 f(x)的极大值点B.x=x0 为 f(x)的极小值点C.(x0，f(x0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x0，f(x0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 f“(x)连续，f“(x 0 )0，于是由保号定理，存在 0，当 x 0 -xx 0 +时，f“(x)0 (x 0 -，x 0 ) x 0 (x 0 ，x 0 +) f“(x) + + + f“(x) - 0 + f“(x) + 0 + f(x) 拐点 病 (x 0 ，f(x 0 )为曲线 y=f(x)
9、的拐点，选 C.3.设正项级数 发散，令 s n =a 1 +a 2 +a n ，则下列结论正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散， C 可能收敛也可能发散 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 a n =1，显然 发散 发散，排除 A； 取 a n =n，显然 发散，但 收敛排除 B； 因为正项级数 发散，所以s n 且 ， ，由莱布尼兹审敛法， 4.曲线 （分数：4.00）A.3 B.2C.1D.0解析：解析 ，所以曲线 无水平渐近线； 因为 ，所以 x=0 为曲线 的垂直渐近线； 又 ，所以 x=1 为曲线 的垂直渐近线； 又 y=x+2 为曲线 5.下列结论正确的是_
10、（分数：4.00）A.若 A，B 的特征值相同，则 A 与 B 相似B.矩阵 A 的秩与其非零特征值的个数相等C.若 A，B 的特征值相同，则 A 与 B 等价D.A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 A 与 B 相似 解析：解析 取 ，A 与 B 的特征值 1 = 2 =0，特征值相同，但 R(A)=0R(B)=1故 A，B 不相似，排除 A；A，B 不等价，排除 C； 取 其特征值 1 = 2 =0， 3 =1，R(A)=2，排除 B； 又若 于是 6.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是_（分数：4.00）A.A 为可逆方阵B.齐次线性方程组 Ax=0 只有零解C.
11、A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量组线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析 矩阵 A 可逆是方程组 Ax=b 有唯一解的充分不必要条件，排除 A； 若 Ax=0 只有零解，则 R(A)=b，但不能由此推出 R(A)=R(A:b)，排除 B； A 的行向量组线性无关，这时 ，从而方程组 Ax=b 一定有解，但不能保证有唯一解，排除 C； 若矩阵 A 的列向量组线性无关，则 R(A)=n，这时 Ax=0 仅有零解， 又若 b 可由 A 的列向量组线性表示，则 7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数_（分数：4.0
12、0）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析 F Y (y)=PYy =Pmin(X，2)y =1-Pmin(X，2)y =1-PXy，2y =1-PXyP2y 当 y2 时，P2y=0，F Y (y)=1； 当 y2 时，F Y (y)=1-PXy =PXy 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 ， ，则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 又因为 X i N(， 2 )， 与 S 2 相互独立，所以 对于 A 项
13、， 排除 A； 对于 B 项， ，选 B； 至于 C，D 项， ，从 C，D 项中的统计量 t，一定得不出 tt(n-1)，且 是否独立，我们还不知道，我们只知道，当 XN(， 2 )， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：2 解析 x1 时， ， 即 x1 时， 又当 x1 时，x-x x =x(1-x x-1 )=x1-e (x-1)lnx -(x-1)lnx 10.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2， （分数：4.00）解析：解析 11.差分方程 y x+1 -3y x =23 x 的通解为 1 （分数：4.00）解析：
14、y x =A3 x +2x3 x-1 (其中 A 为任意常数) 解析 齐次差分方程 y x+1 -3y x =0 的通解为： Y x =A3 x ，(A 为任意常数)； 再求非齐次差分方程的特解，设 ，代入原方程，得 C3 x+1 -C33 x 23 x ； 因此，对 y*需要修正，再令 ，代入原方程，得 C(x+1)3 x+1 -3Cx3 x =23 x ， 12. （分数：4.00）解析：解析 13.设 ， 均是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 A 2 =A+2E，则 T = 1 （分数：4.00）解析：3 解析 由 A=2E- T ，又 A 2
15、 =A+2E，于是 (2E- T ) 2 =2E- T +2E， (2E- T )(2E- T )=4E- T ， 4E-2 T -2 T + T T =4E- T ， T T =3 T ， T T =3 T ， ( T -3) T =0，而 ， 为非零列向量， T 0， 又 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自相互独立的标准正态分布总体 X 与 Y 的简单随机样本，令 （分数：4.00）解析：2(m+n-2) 解析 由于 X 与 Y 相互独立，所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解
16、 设 f(x)为-a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 （分数：9.99）(1).证明：F“(x)单调增加；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 (2).当 x 取何值时，F(x)取最小值；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 因 ，由于 f(x)为偶函数，所以 F“(0)=0又因为 F“(x)，所以 x=0 是 F“(x)=0 的唯一驻点，又 F“(0)=2f(0)0，所以，x=0 是 F(x)的极小值点，也是最小值点 (3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a 2 -1 时，求函数 f(x)（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 由 ，令 a=0，得 f(0)=1 上
17、式两边对 a 求导，得 2af(a)=f“(a)-2a， 于是 f“(x)-2xf(x)=2x， 即有 (1) 先解 第二步，常数变易法，令 y=C(x)e x2 16.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 如下图所示 引入极坐标 x=rcos，y=rsin，区域 D 的极坐标表示为 17.设成本函数 C(x)二阶可导，其中 x 为产量，C 为成本，且平均成本 在 x 0 处有极小值，求证： (1)在 x 0 处边际成本 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 ，f(x)二阶可导，在 x 0 处有极小值，因此，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0 (1
18、) ，即在 x 0 处边际成本等于平均成本 (2) 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x=0 时，原级数收敛 当 x0 时， 当 x 2 1 时，幂级数收敛，且为绝对收敛，收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1)； 当 x=1 时，原幂级数为 ，由莱布尼兹审敛法， 收敛，于是收敛域为-1，1 令 而 s 1 (0)=0， 又 s 2 (0)=0，而当 x0 时 所以， 注意：原级数当 x=1 收敛，因而上面得到的和函数在 x=1 时亦连续，所以 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 2 ax 1 x 2 + 2 bx 2 x 3 - 2 x 1 x 3
19、 ，(a0)，经正交变换 x=Py 化为 （分数：11.00）(1).求 a，b；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ，A 的特征方程为 即有 3 -(a 2 +b 2 +1)+2ab=0； 又由于 A 的特征值为 2，-1，-1，于是 A 的特征方程为(+1) 2 (-2)=0，即有 3 -3-2=0 (2).求上述正交矩阵 P（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ，特征值为 2，-1，-1 当 =2 时，由(A-2E)x=0，得特征向量 1 =(-1，-1，1) T ； 当 =-1 时，由(A+E)x=0，得特征向量 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T
20、. 把 2 ， 3 正交化得， 2 =(-1，1，0) T ， 3 = (1，1，2) T 再把 1 = 1 =(-1，-1，1) T ， 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，1，2) T 单位化，得 设 1 ， 2 与 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 为 4 个 3 维的向量，一定线性相关，于是存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1
21、1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0， 即 k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1 -l 2 2 ， 令 =k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1 -l 2 2 ，因 1 ， 2 与 1 ， 2 都性无关，所以 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 都不全为零，所以 0.(2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0. 所以 所以， 设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时随机变量 Y 的条件密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y 的密度函数；（分数：3.67）_正确答
22、案：()解析：解 (见下图) (2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 (3).求 Z=X-Y 的密度函数（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 求 Z 的密度函数，使用密度函数法 其中 1x4，0x-zx， 即 1x4，0zx， 图 1图 2图 3)在其他点，f Z (z)=0 设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知且 （分数：11.01）(1). 的矩估计值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 ， 而 EX=(-1) 2 +0(1-)+1(1-2)+2=1- 2 0.75=1- 2 ， (2). 的最大似然估计值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 ln L()=4ln+ln(1-)+5ln(1-2)， 令 ，即 20 2 -23+4=0， 解得 的最大似然估计值为 (3).经验分布函数 F 8 (x)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 经验分布函数
