1、考研数学三-414 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1 （分数：2.00）2.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：2.00）3.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：2.00）4.微分方程 （分数：2.00）5.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2
2、+3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （分数：2.00）6.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）7.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：2.00）8.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）9.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1 （分数：2.00）10.差分方程 y x+1 -y x =x2 x 的通解为 1 （分数：2.00）11.差分方程 y t+1 -y t =2t 2 +1 的特解形式为 y t *= 1
3、（分数：2.00）二、选择题(总题数：6，分数：18.00)12.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe2x+bx2+cx D.axe2x+bx+c（分数：3.00）A.B.C.D.13.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：3.00）A.C1(x)+2
4、(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)-2(x)+2(x)D.1(x)-2(x)+C2(x)15.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：3.00）A.B.C.D.16.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：3.00）A.B.C.D.17.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.三、解答题(总
5、题数：10，分数：60.00)18.求微分方程 （分数：6.00）_19.求微分方程 （分数：6.00）_20.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解 （分数：6.00）_21.设 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：6.00）_22.求微分方程 （分数：6.00）_23.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：6.00）_24.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：6.00）_25.求微分方程 （分数：6.00）_26.求微分方程 （分数：6.00）_27.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的
6、特解 （分数：6.00）_考研数学三-414 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x-2 解析 微分方程两个特征值为 1 =-2i， 2 =2i， 则微分方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x-22.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：2.00）解析： 解析 由题意得 y(0)
7、=0，y“(0)=2， y“-6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 -6+9=0，特征值为 1 = 2 =3， 令 y“-6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 故通解为 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 3.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：2.00）解析： 解析 令 y“=p，则 则原方程化为 解得 p 2 =y 3 +C 1 ， 由 y(-2)=1，y“(-2)=1，得 C 1 =0，所以 从而有 再由 y(-2)=1，得 C 2 =0，所求特解
8、为 4.微分方程 （分数：2.00）解析： 解析 令 则 解得 arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 5.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （分数：2.00）解析：-12x 2 -34x-19，y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 显然=-4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=-12， 即特征方程为 2 +-12=0，特征值为 1 =-4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“
9、+y“-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19， 且通解为 y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)6.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“+y“-2y=-sinx-3cosx 解析 特征值为 1 =-2， 2 =1，特征方程为 2 +-2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“-2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所
10、求微分方程为 y“+y“-2y=-sinx-3cosx7.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：2.00）解析：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x 解析 因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征值，即(-1) 2 -3(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为 2 -3-4=0 8.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）解析：e -x 解析 由 得 整理得 9.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1 （分数：2.00）解析： 解析 y x+1 +2y x =0 的通解为 y=C(-2) x
11、， 令 y x+1 +2y x =5x 2 的特解为 y 0 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ，代入原方程整理得 3a 0 +a 1 +a 2 +(3a 1 +2a 2 )x+3a 2 x 2 =5x 2 ，解得 于是 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 10.差分方程 y x+1 -y x =x2 x 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=C+(x-2)2 x 解析 y x+1 -y x =0 的通解为 y=C(1) x =C，令 y x+1 -y x =x2 x 的特解为 y 0 =(ax+b)2 x ，代入原方程得 y 0 =(x-2)2 x ，原方程的通解为
12、 y=C+(x-2)2 x 11.差分方程 y t+1 -y t =2t 2 +1 的特解形式为 y t *= 1 （分数：2.00）解析：t(at 2 +bt+c) 解析 p=1，f(t)=2t 2 +1，故特解形式为 y t *=t(at 2 +bt+c)二、选择题(总题数：6，分数：18.00)12.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe2x+bx2+cx D.axe2x+bx+c（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为 1 =-2， 2 =2 y“-
13、4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ， y“-4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选 D13.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，其特征方程为(-1) 2 (+1)=0，即 3 - 2 -+1=0，所求的微分方程为 14.设
14、1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：3.00）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)-2(x)+2(x) D.1(x)-2(x)+C2(x)解析：解析 因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)- 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x)，选 C15.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y
15、(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 故 16.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程的特征方程的特征值为 1 =-2， 2 =3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e -2x
16、 ，选 C17.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为-2，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“-4y=x+2 有特解 三、解答题(总题数：10，分数：60.00)18.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 19.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 20.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 y“=p，则原方程
17、化为 方法二 xy“+2y“=e x 两边乘以 x 得 x 2 y“+2xy“=xe x ，即(x 2 y“)“=xe x ， 积分得 x 2 y“=(x-1)e x +C 1 ，即 再积分得原方程通解为 21.设 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 两边对 x 求导得 f(x)+xf“(x)=1+f(x)，解得 22.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 则原方程化为 积分得 即 将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 得 即满足初始条件的特解为 23.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：6.00
18、）_正确答案：()解析：解 由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得 即原方程的通解为 24.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 25.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 26.求微分方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 方法一 解得 u 2 =lnx 2 +C，由 y(e)=2e,得 C=2，所求的通解为 y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2 方法二 令 z=y 2 ，则 解 27.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 x 2 y“+xy=y 2 得 两边积分得 因为 y(1)=1，所以 C=-1，再把 代入 得原方程的特解为
