1、考研数学一-高等数学(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.把 x0 + 时的无穷小 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，2.若当 x0 时， （分数：4.00）A.f“(0)=1B.f“(0)=0C.f“(0)=0D.f“(0)不存在3.下列函数中在1，+)无界的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：4.00）A.不存在B.等于 0C.等
2、于 1D.其他5.设 （分数：4.00）A.不可导B.可导且 f“(a)0C.有极大值D.有极小值6.已知 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.-2f“(0)B.-f“(0)C.f“(0)D.07.设函数 f(x)=|x 3 -1|(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件8.函数 f(x)=(x 2 -2x-3)|x 2 -3x|sin|x|不可导点的个数是_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.39.设函数
3、f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有：_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)010.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求极限 （分数：6.00）
4、_12.求极限 （分数：6.00）_13.若 则求 （分数：6.00）_14.已知 求 （分数：6.00）_15.确定 a 与 b 的值，使得 （分数：6.00）_16.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：6.00）_17.设 （分数：6.00）_18.求 （分数：6.00）_19.求极限 （分数：6.00）_20.求解下列极限 （分数：6.00）_考研数学一-高等数学(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.把 x0 + 时的无穷小 （分数：4.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 解法一： 两两比较他们的阶 因为 所以
5、 是 的高阶无穷小， 是 的高阶无穷小故选 B 解法二： 分别求出 ， 关于 x 的阶数 是 x 的等价无穷小， 是 x 的 3 阶无穷小， 2.若当 x0 时， （分数：4.00）A.f“(0)=1B.f“(0)=0 C.f“(0)=0D.f“(0)不存在解析：解析 先对 F(x)求导，得 因当 x0 时，F“(x)与 x 2 是等价无穷小，则 3.下列函数中在1，+)无界的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 直接指出某函数在1，+)无界 对于 C：取 C 中 f(x)在1，+)无界 对于 A，B，D：由于 f(x)均在1，+)连续，又 在1，+)有界 在1
6、，+)有界， 即 B 在1，+)有界 4.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：4.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析 将 f(0)=f“(0)=0 代入微分方程，得 f“(0)=2，于是 5.设 （分数：4.00）A.不可导B.可导且 f“(a)0C.有极大值 D.有极小值解析：解析 由已知，得 故 f(x)在 x=a 处可导，且 f“(a)=0 由极限的局部保号性定理知，存在 a 的去心领域 (a)，使得当 x (a)时， 6.已知 f(x)
7、在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.-2f“(0)B.-f“(0) C.f“(0)D.0解析：解析 由可导的定义得 又 f(0)=0，所以 对 ，可用变量替换，令 x 3 =t，则可写成为 7.设函数 f(x)=|x 3 -1|(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的_（分数：4.00）A.充分必要条件 B.必要但非充分条件C.充分但非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 先求 f(x)在 1 处的左、右导数 类似可得，f“ - (1)=-3(1)则 f(x)在 1 处可导 8.函数 f(x)=(x 2 -2x-
8、3)|x 2 -3x|sin|x|不可导点的个数是_（分数：4.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析 f(x)可能的不可导点是使|x 2 -3x|=0 或|x|=0 的点，即 x=0，3若直接按定义判断较复杂可利用如下结论：若 存在，则 f(x)=g(x)|x-x 0 |在 x=x 0 处可导的充分必要条件是 对于 f(x)=(x 2 -2x-3)|x-3|sin|x|x|，有 0，所以 f(x)在 x=0 处可导 同理对 f(x)=(x 2 -2x-3)|x|sin|x|x-3|，有 9.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，
9、f“(x)0，则当x0 时，有：_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 由 f(x)=f(-x)可知 f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即f“(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，因此当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0选 C10.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：4.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)是曲线 f(x)的
10、拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标解析：解析 解法一： 因 ，由极限的保号性质，存在 0，当 0|x-1| 时， ，又因(x-1) 2 0(x1)，所以当 0 解法二： 由前面分析可知，当 0|x-1| 时，f“(x)0，f(x)在(1-，1+)为凹函数，直接由凹函数的特征知， f(x)f(1)+f“(1)(x-1)=f(1)(x(1-，1+)，x1)选 B 解法三： 取特例 f(x)，使其满足： 取 二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：先作恒等变形： 然后用等价无穷小因子替换：当
11、 x0 时， 于是 用洛必达法则得 12.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：这是 1 型的极限 解法一： 其中： 所以 原式=e -1 解法二： 利用泰勒公式求解由 得 13.若 则求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法一： 用带皮亚诺余项的泰勒公式 题设为 sin2x+xf(x)=o(x 3 )，又 代入得 从而得 于是 解法二： 恒等变形后用洛必达法则 由于 而 所以 14.已知 求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：对等式两边取对数 由于极限存在，则当 x0 时，分子趋近于零，此时， 趋近于零，则 故 15.确定 a 与 b 的值，使得 （分数：6.00）_
12、正确答案：()解析：解法一： 将左式化为 利用换元法，令 由麦克劳林公式 故 式 因 得 综上 解法二： 用换元法，令 可得 则 故 所以 16.已知常数 a0，bc0，使得 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 因为上式极限存在，且 b0，则有 即 ，易得 a=2，b=1 当 a=2 且 b=1 时，所求极限为 故符合题目要求的常数 a，b，c 分别是 17.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 求 得 所以 故 故 可使极限存在且不为 0，极限为 18.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 ，则 ，两边对 x 求导，得 所以 f(x)是单调增加函数，从而 故 nf(1)f(1)+f(2)+f(n)nf(n)，即 又 19.求极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意可得 故 其中 所以 20.求解下列极限 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 其中 又 故 由夹逼准则知
