1、考研数学（数学三）模拟试卷 414 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)= 在(一，+)上连续，且 f(x)=0，则( ) （A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k02 若直线 y=x 与对数曲线 y=logax 相切，则 a=( )（A）e（B） 1/e（C） ee（D）3 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足=0，f(x)=一 2x2+0xg(x 一 t)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小值点（B） x=0 为 f(x)的极大值点（C） (0，f(0)为
2、曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 计算二重积分 I=01dx（A） 2/32（B）一 2/32（C） /16（D）/45 与矩阵 A= 合同的矩阵是( )6 设 A 是四阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，其特征值为 1，一 1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ) （A）A 一 E（B） 2A 一 E（C） A+2E（D）A 一 4E7 已知随机变量(X，Y) 的联合密度函数为则 t 的二次方程 t2 一 2Xt+Y=0 有实根的概率为( )（A）e（B） e 一 1（C） e 一 2（D）e 28 设 X1 ，X
3、 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，X n 服从参数为n(n=1，2，)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( )（A）X 1 ，X 2 ，X n ，（B） X1 ，22 X 2 ，n 2Xn ，（C） X1 ，X 2/2，X n/n，（D）X 1 ，2X 2 ，nX n ，二、填空题9 10 11 设方程 x2=y2y 确定 y 是 x 的函数，则 dy=_12 13 已知 矩阵 B 满足 BA*+2A 一 1=B，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则|B|=_14 已知随机变量 Y 的概率密度为 随机变量 的数学期望 E(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。15 设函数 f(x)在a，b(a 0)上连续，在(a，b)内可微，且 f(x)0证明存在， (a， b)，使得16 设函数 y=y(x)由方程组17 设 f(x)在0，1上连续，且满足 f(0)=1，f(x)=f(x)+ax 一 a，求 f(x)，并求 a 的值使曲线 y=f(x)与 x=0，y=0，x=1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的体积最小18 求解差分方程 3yx+1 一 9yx=x3 x+119 计算二重积分20 用配方法化二次型 f(x，y，z)=x 2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx 为标准形，并求所用的可逆线性变换21 已知线性方程组问：(1)a，
5、b 为何值时，方程组有解？(2) 有解时，求出方程组导出组的一个基础解系；(3)有解时，求出方程组导出组的全部解22 某种产品的寿命 T(单位：年 )服从指数分布： (1)求产品的平均寿命；(2)产品每件售价 1 万元，厂家规定：若产品在一年内损坏，厂家赔偿顾客 08 万元，若寿命超过一年，但不到平均寿命，厂家赔偿顾客 05 万元；若达到或超过平均寿命，厂家就不赔偿问其售出一件产品，厂家的期望收入是多少？23 连续随机变量 X 的概率密度为 (1)求系数 A；(2)求 X 在区间 内的概率；(3)求 X 的分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 414 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
6、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用题设条件判别之。因 f(x)在( 一，+)上连续，显然 f(x)在(一，+)上有定义，为此 f(x)的分母不能为 0如果 0，而 e 一 kx0，因而一 e 一kx 0于是有可能得 f(x)的分母为 0，从而使 f(x)出现无定义的点，故必有0又为保证 x一时有 f(x)=0，必有 k0仅(D)入选2 【正确答案】 D【试题解析】 两曲线相切即两曲线相交且相切，而面曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等据此可建立两个方程求解未知参数。由 y=1=(logax)= 该点也在曲线y=logax 上，于是有仅
7、(D)入选3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的表示式易知 f(0)=0，为判定选项的正确性，只需考查 f“(0)的符号的有关情况，为此计算 ，看其是否等于非零常数由 f(x)=一2x2+0xg(x 一 t)dt=一 2x2+0xg(u)du。有 f“(x)=一 4x+g(x)，则=一 4+0=一 4，可见在 x=0 的两侧因 x 变号，f“(x)也变号，因而(0，f(0) 为曲线 y=f(x)的拐点仅(C) 入选4 【正确答案】 A【试题解析】 由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示，由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为 f(x2+y2)，应使用极坐标求此二重积分所给曲线
8、为(y+1) 2+x2=1 的上半圆周，区域 D 如右图所示，其直角坐标方程为(y+1) 2+x21，即 y 2+x2一 2y， 将 x=rcos，y=rsin 代入得到极坐标系下的方程 r2一 2rsin，即 r一 2sin于是 D= (r，) |一 /40，0r一 2sin，则5 【正确答案】 C【试题解析】 由合同的定义有 A 与 B 合同 在可逆矩阵 C，使 CTAC=B，则|CTAC|=|CT|A|C|=|B|，即|C| 2|A|=|B|，因而|A|与|B|有相同的正、负号，且同时为0此外，还可推出合同矩阵 A 与 B 有相同的正惯性指数据此可判定两矩阵是合同也可都用正惯性指数 p
9、是否相同来判定事实上，易看出 A1 的正惯性指数为1，A 2 的为 1，A 4 的为 0，都与 A 的正惯性指数 2 不等，故 A1 ，A 2 ，A 4 与 A 不合同，仅有 A3 与 A 会同即仅(C)入选。6 【正确答案】 A【试题解析】 利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：|A|= 12 n 判别之，其中i 为 A 的特征值设 A*的特征值为 1* ， 2* ， 3* ， 4* ，则 1*=1， 2*=一1， 3*=2， 4*=4，于是 |A *|=1(一 1)24= 一 8，因而|A| 4 一 1=|A*|，故|A| 3=一8，即|A|=一 2，所以 A 的特征值为因而 A 一 E 的
10、特征值为 1=一2 一 1=一 3， 2=2 一 1=1， 3=一 1 一 1=一 2， 4=一 1/2 一 1=一 3/2，故|A 一E|=1 2 3 4=一 90，所以 A 一 E 可逆7 【正确答案】 B【试题解析】 先找出有实根的 X 与 Y 所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率因二次方程 t2 一 2Xt+Y=0 有实根的充要条件为 4X2 一 4Y0，即 X 2Y，如右图所示，故所求概率为 P(X2Y)=仅(B)入选8 【正确答案】 B【试题解析】 根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别。切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求 X1 ，X 2 ，X n 相互独立；其次是要求 X
11、n(n=1，2，)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数 n，D(X n)L，其中 L 是与 n 无关的一个常数。题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件，由于对于(A) ，有 E(X n)= ，D(X n)= 1；对于(B)，有 E(n 2Xn)=n2E(Xn)=n2 =n,D(n2Xn)=n4D(Xn)=n4 =n2；对于(C)，有对于(D)，有 E(nXn)=nE(Xn)=n =1，D(nX n)=n2D(Xn)=n2 =1显然(B) 序列的方差 D(n2Xn)不能对所有 n均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律综上分析，仅(B)入选二、填空题9 【正确答案】
12、 e 2005【试题解析】 所求极限的函数为幂指函数，先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数，再用等价无穷小代换：ln(1+f(x)f(x)(f(x)0)求其极限故原式=e 200510 【正确答案】 2e 2(/4 一 1)【试题解析】 对 n 项乘积先取对数，产生因子 1/n，再用定积分定义求之故原式=2e 2(/4 一 1)11 【正确答案】 【试题解析】 所给方程含幂指函数，先取对数或化为以 e 为底的指数函数求出 y即得 dy，lnx 2=lny2y ，即 2lnx=2ylny，两边对 x 求导得到12 【正确答案】 【试题解析】 按题设积分次序求不出积分值，可调换求之为此先画出二
13、重积分的区域解所给积分的积分区域用 D 表示，如右图所示该积分改用极坐标系计算，得到13 【正确答案】 【试题解析】 矩阵方程中出现未知矩阵 A*或 A 一 1 时，尤其是同时出现 A*与 A 一 1时，常在矩阵方程两边左乘或右乘矩阵 A，利用 A 一 AA*=|A|E 及 A 一 1A=AA 一1=E 消掉 A*与 A 一 1 ，从而简化矩阵方程，在此基础上再提公因式使所求矩阵化为因子矩阵在原方程两边右乘 A，得到 BA*A+2A 一 1A=BA得 |A|B+2E=3B+2E=BA 亦即 BA 一 3B 一 2E，B(A 一 3E)=2E，故 |B| |A 一3E|=|2E|，14 【正确答
14、案】 【试题解析】 求 E(Z)就是求随机变量 Z 的函数 的期望，可用一般公式求之，计算时，尽量使用 函数的结果三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 g(x)=lnx，则 g(x)与 f(x)在a ，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a，b) ，使得分别对 g(x)， f (x)在a，b上使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ，(a，b)使得将式与式代入式得【试题解析】 由 f()=f()= 应想到先对 f(x)与 g(x)=lnx 使用柯西中值定理，产生一个中值 ，然后对这两个函数的差 lnb 一 lna 与 f(b)一 f(a)凑成可使用拉格朗日中值定
15、理的形式，再分别使用该定理又可得到两个 与 16 【正确答案】 由 eysint 一 y+1=0 可得注意对参数方程求二阶导数时，要用复合函数求导法则：【试题解析】 由方程 eysint 一 y+1=0 所确定的隐函数 y(t)，其导数可在等式两边对t 求导得到，然后再用参数方程求导公式计算即可17 【正确答案】 方程 f(x)=f(x)+ax 一 a 可以改写为 f(x)一 f(x)=ax 一 a，则 f(x)=exe 一 x(ax 一 a)dx+C=ex(一 axe 一 x+C)=Cex 一 ax由 f(0)=1 知 C=1，所以 f(x)=e x一 axV x(a)=01(ex 一 ax
16、)2 dx=01(a2 x22axex+e2x)dx将 Vx(a)对 a 求导数，并令 Vx(a)= =0，得 a=3又由 Vx“(a)= 0 知，当 a=3 时，V x 取最小值，即所求旋转体体积最小，此时 f(x)=ex3x【试题解析】 先求解一阶微分方程，求出 f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值 注意 求解一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)，不少考生将通解公式 y=e 一P(x)dx Q(x) 一P(x)dx dx+C 错记为 y=e 一P(x)dx Q(x) e 一P(x)dx dx+C， 从而导致结果错误18 【正确答案】 先将方程化为标准方程 yx+1 一 3yx=x3
17、 x ， 其特征方程为 一3=0得 =3故齐次方程的通解为 =C3x ，C 为任意常数，由于非齐次项的底数为 b=3，b=3 是特征根，故可设方程 的特解为 yx*=x(A0+A1x)3 x ，代入方程得(x+1) A0+A1(x+1)3 x+13x(A0+A1x)3 x=x3 x ，整理并比较两端同次幂的函数，得 解得 A 0=一 1/6，A 1=1/6故一个特解为 y x*=x(一1/6+x/6)3 x ，原方程的通解是( 显然，与原方程同解)y x= +y*=Cx+x(一1/6+x/6)3 x注意 对形如 yx+1 一 ayx=f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的关键是求出其特解 yx
18、*其通解求法步骤如下：(1)求解特征方程 一 a=0，得到对应的齐次差方方程 yx+1 一 ayx=0 的通解 =Cax ，其中 C 为任意常数；(2)依据非齐次项f(x)的结构特点，先设出特解形式，为方便计，称 b 为 f(x)的底数再用待定系数法求之：若 f(x)=Axn(=Axn1 x)，则若 f(x)=Abx ，则yx*= 若 f(x)=xnbx ，则 yx*=设出特解 yx*的形式后，再将其代入非齐次方程，比较两端同次幂的系数，确定 B0 ，B 1 ，B n 即得该非齐次差分方程的一个特解 yx*【试题解析】 将所给方程化为标准差分方程得到 y x+1 一 3yx=x3 x 关键在于
19、正确写出特解形式因特征方程为 一 3=0，故特征根为 =3，与底数 b=3 相等，故该特解形式为 y x*=x(A0+A1x)3 x19 【正确答案】 已知积分区域 如右图所示，利用极坐标，则【试题解析】 由所给的累次积分画出积分域 D 的草图，然后根据 D 的形状及被积函数的情况选择坐标系与积分次序20 【正确答案】 用配方法，先集中含 x 的项，配方得到 f(x，y，z)=x 2+2(y+z)x+2y2+522+6yz=(x+y+z)2 一(y+z) 2+2y2+5z2+6yz=(x+y+z)2+y2+4z2+4yz=(x+y+z)2+(y+2z)2 令 则有 f(x，y，z)=x 2+y
20、2 ，且所用的线性变换(即用新变量 x，y，z 表示旧变量 x，y，z 的线性变换)为可逆的线性变换：21 【正确答案】 利用有解的充要条件 求 a，bA 与分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求法求解：设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，其中 A 为 mn 矩阵设秩(A)=秩(A |b)=r，对增广矩阵 用初等行变换，将其化为=A1|b1其中 A1 是将 A 化为含 r 阶( 最高阶)的单位矩阵的矩阵，如果这 r 阶单位矩阵在 A1 的第 j1 ，j 2 ，j r 列，则基础解系的 n 一 r 个解向量 1 ， 2 ， n一 r 的第 j1 ，j 2 ，j
21、 r 个分量依次是 A1 中除 r 阶单位矩阵所在的 r 列以外的其余 n一 r 列的前 r 个分量反号，而 1 ， 2 ， n 一 r 的其余 n 一 r 个分量依次组成 n一 r 阶单位矩阵而特解 的第 j1 ，j 2 ，j r 个分量依次为 中最后一列的前 r个分量(但不反号) ，而 的其余 n 一 r 个分量全部取成零()当a=1，b=3 时，r(A)=2= ，方程组有解()当 a=1，b=3 时，对变换矩阵B进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2 阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解：则其基础解系含 3 个解向量： 1=1
22、，一 2，1，0，0 T ， 2=1，一 2，0，1，0 T ， 3=5，一 6，0，0，1 T ，其一个特解 =一 2， 3，0，0，0 T()所求的全部解为 X=+k11+k22+k33 ，其中 k1 ，k 2 ，k 3 为任意常数22 【正确答案】 () 平均寿命 E(T)=0+ t ()设售出一件产品厂家的收入为 Y，按题意有 期望收入 E(Y)=02P(T1)+05P(1 T3)+1 P(T3)【试题解析】 () 求平均寿命就是求寿命 T 的期望 E(T)；()为求厂家的期望收入，首先要求出收入函数 Y，再依期望定义求之23 【正确答案】 由概率密度的归一性即可求得 A；利用概率密度即可求得其概率的分布函数() 由归一性得到 一 +f(x)dx=1，故此为反常积分，由其定义有()因 f(x)为分段函数，取值非零的区间为 (一 1，1) ，故将 f(x)的定义区间(一，+)划分为三个区间(一 ，一 1，(一 1，1，(1，+) ，在每个区间上求变上限积分：当 x一 1 时，F(x)一 P(xx)=一 xf(x)dx=一 x0dx=0；当一 1x1 时，F(x)=P(xx)=一 xf(x)dx=一 一 10dx+一 1x
