1、考研数学一-414 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，f(1)=f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)内_（分数：4.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.有两个零点D.有且仅有一个零点2.设 f“ x (a，b)存在，则 等于_ Af“ x (a，b) B0 C2f“ x (a，b) D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.f(x)与 g(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小B.f(x)与 g(x)是等价无穷小C.f(x)是
2、 g(x)的高阶无穷小D.g(x)是 f(x)的高阶无穷小4.设 y(x)是方程 y“+a 1 y“+a 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的特解(a 1 ，a 2 均为常数)，则_（分数：4.00）A.对于 a21 时，x=0 是 y(x)的极大值点B.对于 a21 时，x=0 是 y(x)的极小值点C.对于 a21 时，x=0 不是 y(x)的极大值点D.对于 a21 时，x=0 是 y(x)的极小值点5.若向量 可由向量组 1 ， 2 ， t 线性表示，则下列结论中正确的是_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数 k1，k2，kt 使等式 =k11+k22+
3、ktt 成立B.存在一组全为零的数 k1，k2，kt 使等式 =k11+k22+ktt 成立C.存在一组数 k1，k2，kt 使等式 =k11+k22+ktt 成立D.对 的线性表示式唯一6.已知矩阵 ，那么与 A 既相似又合同的矩阵是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，6 2 )，YN(，8 2 )，记 P 1 =PX-6，P 2 =Y+8，则_（分数：4.00）A.对任何实数 ，都有 P1=P2B.对任何实数 ，都有 P1P2C.只对 的个别值，才有 P1=P2D.对任何实数 ，都有 P1P28.设总体 X 服从正态分布
4、 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.数列 （分数：4.00）11.设 u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）12.幂级数 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X，Y 服从二维正态分布， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 （
5、分数：5.00）_(2).求微分方程 3y“-2y“=4x 的一般解（分数：5.00）_15.计算 （分数：10.00）_16.试确定 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )， 其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小 （分数：10.00）_17.设 f(x)在(a，b)内可微，且 （分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.设三阶矩阵 （分数：11.00）_20.设 1 ， 2 为 n 阶方阵 A 的特征值，且 1 2 ，而 x 1 ，x 2 分别为对应的特征向量，试证明 ax 1 +bx 2 不是 A 的特征向量
6、，ab0. （分数：11.00）_先将 2 封信投入编号为 1，2，3 的 3 个邮筒，设 X，Y 分别表示投入第 1 号和第 2 号邮筒的信的数目试求：（分数：11.00）(1).(X，Y)的联合分布；（分数：2.20）_(2).X 与 Y 是否相互独立?（分数：2.20）_(3).Y=0 时 X 的条件分布；（分数：2.20）_(4).随机变量函数 Z=2X+Y 与 U=XY 的分布；（分数：2.20）_(5).随机变量 M=max(X，Y)与 m=min(X，Y)的分布（分数：2.20）_21.假设二维随机变量(X，y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：1
7、1.00）_考研数学一-414 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在1，2上有二阶导数，f(1)=f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)内_（分数：4.00）A.没有零点B.至少有一个零点 C.有两个零点D.有且仅有一个零点解析：解析 F“(x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f“(x) 由 f(1)=f(2)=0 知，F(1)=F(2)=0，故存在 (1，2)，使 F“()=0，于是根据 F“(1)=0，F“()=0 知在(1，2)内至少存在一点 ，使得 F“()=0
8、，故正确答案为 B 本题考查罗尔定理2.设 f“ x (a，b)存在，则 等于_ Af“ x (a，b) B0 C2f“ x (a，b) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 3.设 （分数：4.00）A.f(x)与 g(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小B.f(x)与 g(x)是等价无穷小C.f(x)是 g(x)的高阶无穷小 D.g(x)是 f(x)的高阶无穷小解析：解析 4.设 y(x)是方程 y“+a 1 y“+a 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的特解(a 1 ，a 2 均为常数)，则_（分数：4.00）A.对于 a21 时，x=0 是 y(x
9、)的极大值点B.对于 a21 时，x=0 是 y(x)的极小值点 C.对于 a21 时，x=0 不是 y(x)的极大值点D.对于 a21 时，x=0 是 y(x)的极小值点解析：解析 当 y(0)=1，y“(0)=0 时，微分方程为 y“(0)=1-a 2 ，所以当 a 2 1，即 y“(0)0 时，x=0 是极小值点，故选 B 本题考查的知识点是：函数极值点的判定5.若向量 可由向量组 1 ， 2 ， t 线性表示，则下列结论中正确的是_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数 k1，k2，kt 使等式 =k11+k22+ktt 成立B.存在一组全为零的数 k1，k2，kt 使等式 =k1
10、1+k22+ktt 成立C.存在一组数 k1，k2，kt 使等式 =k11+k22+ktt 成立 D.对 的线性表示式唯一解析：解析 向量 由向量组 1 ， 2 ， t 线性表示，只要求存在一组常数 k 1 ，k 2 ，k t 使等式 =k 1 1 +k 2 2 +k t t 成立，至于 k 1 ，k 2 ，k t 是否为 0 与结论无关因此，可以排除 A 和 B，如果表达式唯一，则要求 1 ， 2 ， t 线性无关，而题设中无此条件，因此不能得出对 的线性表示式唯一的结论，故排除选项 D，因此应选 C 本题考查向量的线性表示6.已知矩阵 ，那么与 A 既相似又合同的矩阵是_ A B C D
11、（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同(但合同不能推出相似)，故本题只要找出与 A 相似的矩阵即可，也就是求 A 的特征值 故 A 的特征值为 1 =0， 2 =2(二重)，从而矩阵 A 与 相似，则 A 必与 7.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，6 2 )，YN(，8 2 )，记 P 1 =PX-6，P 2 =Y+8，则_（分数：4.00）A.对任何实数 ，都有 P1=P2 B.对任何实数 ，都有 P1P2C.只对 的个别值，才有 P1=P2D.
12、对任何实数 ，都有 P1P2解析：解析 由题设 可见， 8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知 故 又 与 S 2 独立，故有 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 令 则 10.数列 （分数：4.00）解析： 解析 设 则 令 y“=0，在所考虑的定义域内有唯一解 x=5，当 2x5 时，y“0，当 x5 时，y“0，故函数 y 在 x=5 处取极小值，也是最小值，最小值
13、 11.设 u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）解析：xf“ 3 +x 2 yf“ 32 +x 2 yzf“ 33 解析 因为 12.幂级数 （分数：4.00）解析：(-1，1) 解析 由于 故 R=1. 又当|x|=1 时，级数发散，故幂级数 13.设 （分数：4.00）解析：3 解析 由题设有|A|=0，得 t=3. 本题考查矩阵的秩的性质14.设 X，Y 服从二维正态分布， （分数：4.00）解析：7 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 n 是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 （分数：5.
14、00）_正确答案：()解析：记 F(x，y，z)=2x 2 +3y 2 +z 2 -6. 故 (2).求微分方程 3y“-2y“=4x 的一般解（分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为 3m 2 -2m=0，特征根为 故对应齐次方程的一般解为： 因 f(x)=4x=4xe x ，=0=m 1 m 2 ，设原方程的一个特解为 Y=x(Ax+B)， 代入原方程，有-4Ax+6A-2B=4x，故有 -4A-4=0，6A-2B=0，解出 A=-1，B=-3， 所以原方程的一般解为 15.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，则
15、 D：02，0r1，于是 其中 由周期函数的积分性质，有 16.试确定 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )， 其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小 （分数：10.00）_正确答案：()解析：题设方程右边为关于 x 的多项式，要联想到 e x 的泰勒级数展开式，比较 x 的同次项系数，可得A，B，C 的值 将 e x 的泰勒级数展开式 代入题设等式得 整理得 比较两边同次幂系数得 17.设 f(x)在(a，b)内可微，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 介于 0 与 x 1 之间，x 1 0， 可知 0(当 x
16、 1 =0 时，则 g(x 1 )=f“(0)结论显然成立) 由于 18.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 由此可见，对任意给定的 c0， 于是由连续函数的介值定理，存在 x 2 (x 0 ，x 1 )使得 f(x 2 )=c又因为 19.设三阶矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论 由于 故(1)当 a1 且 a-2 时，|A|0，r(A)=3； (2)当 a=1 时，|A|=0，且 ，显然 r(A)=1； (3)当 a=-2 时，|A|=0，且 ，这时有 2 阶子式 因此 r(A)=2. 方法二 利用初等变换求秩 20.设 1
17、 ， 2 为 n 阶方阵 A 的特征值，且 1 2 ，而 x 1 ，x 2 分别为对应的特征向量，试证明 ax 1 +bx 2 不是 A 的特征向量，ab0. （分数：11.00）_正确答案：()解析：用反证法，若 ax 1 +bx 2 是 A 的特征向量，它所对应的特征值为 ，则 A(ax 1 +bx 2 )=(ax 1 +bx 2 ) 由题设，A(ax 1 +bx 2 )=aAx 1 +bAx 2 =a 1 x 1 +b 2 x 2 以上两式相减得 a(- 1 )x 1 +b(- 2 )x 2 =0，由于 x 1 与 x 2 线性无关，故有 = 1 = 2 ，这与题设矛盾先将 2 封信投入
18、编号为 1，2，3 的 3 个邮筒，设 X，Y 分别表示投入第 1 号和第 2 号邮筒的信的数目试求：（分数：11.00）(1).(X，Y)的联合分布；（分数：2.20）_正确答案：()解析：由题意知，X 与 Y 的可能取值为 0，1，2. 同理， 故(X，Y)的联合分布为 (2).X 与 Y 是否相互独立?（分数：2.20）_正确答案：()解析：关于 X，Y 的边缘分布分别为 因为 (3).Y=0 时 X 的条件分布；（分数：2.20）_正确答案：()解析：在Y=0的条件下，X 的可能取值为 0，1，2，相应的条件概率为 从而得在 Y=0 时 X 的条件分布为 (4).随机变量函数 Z=2X
19、+Y 与 U=XY 的分布；（分数：2.20）_正确答案：()解析：随机变量 Z 的可能取值为 0，1，2，3，4，且 从而得 Z=2X+Y 的分布律为 随机变量 U 的可能取值为 0，1，而 (5).随机变量 M=max(X，Y)与 m=min(X，Y)的分布（分数：2.20）_正确答案：()解析：随机变量 M=max(X，Y)的可能取值为 0，1，2，且 故 M 的分布律为 同理可得 m=min(X，Y)的分布律为 21.假设二维随机变量(X，y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：11.00）_正确答案：()解析：如图，由题设可得 (1)(U，V)的可能取值为：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，相应概率为 (2)由上述可见 UV 及 U 和 V 的分布为 于是，有
