1、考研数学一-414 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 又 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是，则 k=（分数：4.00）A.B.C.D.4.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S 2，则 EX2的矩估计量是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在-，有定义，且 f0)=f(0
2、)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 P 的取值范围是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A.B.C.D.7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）_8.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， f“(0)=-1，则 （分数：4.00）
3、填空项 1:_10.设 f(x,y)可微，f(x,x 2)=1， （分数：4.00）填空项 1:_11.设为平面 y+x=5 被柱面 x2+y2=25 所截得的部分，则曲面积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)的傅氏级数的和函数为其中 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机事件 A，B 满足 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.抛物线 y=x2上任意点(a,a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直()求 L1与 L2交点的横坐标 x1；()求
4、 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；()问 a0 取何值时 X(a)取最小值（分数：11.00）_16.设 f(x)连续，且满足（分数：11.00）_17.设 f(x,y)，(x,y)均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x,y)在条件 (x,y)=0 下的极值点，又 (x0，y 0)0，求证：() （分数：11.00）_18.将三重积分的累次积分 （分数：11.00）_19.设 f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： (0,1)使得（分数：11.00）_20.已知 1=(1,3,5,-1)T， 2=(2,7,4)
5、 T， 3=(5,17,-1,7)T，()若 1, 2, 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：11.00）_21.设 （分数：11.00）_22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y，表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数()求(X，Y)的联合分布；()求 cov(X，Y)+cov(Y，Z)（
6、分数：11.00）_23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，随机变量Z=X+2Y()求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ（分数：6.00）_考研数学一-414 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 如 A=，则 A(k)=(k)，即若 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量如 A 1= 1，A 2= 2，则 A(k1 1+k2 2)=(k 1 1+k2 2)，即若 1
7、， 2是 A 属于特征值 的特征向量，则 k1 1+k2 2(非零时)仍是 A 属于特征值 的特征向量注意，如 A 1= 1 1，A 2= 2 2， 1 2，则 1+ 2， 1- 2等都不是矩阵 A 的特征向量所以(A)，(B)，(C)均正确，唯(D)中 2+3 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D)不正确，应选(D)评注 矩阵 P 中特征向量的顺序要与对角矩阵中特征值的顺序相一致.在本题中，如若令 P=( 3, 2, 1)，则也是错误的，(B)之所以正确是因为 1, 2都是 A 属于特征值 =1 的特征向量.2.设 又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 F(x)是分段函数的变限
8、积分，先求出 F(x)当 0x1 时，*当 1x2 时，*即*于是*因此选(B)分析二 不必求出 F(x)由于*(f(t)在0，1上连续)，而*(f(t)在1，2上连续)，因此选(B)评注 设 f(x)在a,b上除 x=x0外连续，x 0(a,b)是 f(x)的跳跃间断点，F(x)=*3.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是，则 k=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因为*那么由*，有*即*所以*故选(B)4.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和
9、样本方差分别为，S 2，则 EX2的矩估计量是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 根据矩估计量的定义来选择正确的选项由于 EX2=DX+(EX)2，而 DX 与 EX 的矩估计量分别是*所以 EX2的矩估计量为*故选(B)5.设 f(x)在-，有定义，且 f0)=f(0)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 P 的取值范围是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由*有相同的敛散性*收敛即*的取值范围是*选(B)6.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 考察 f(x)与 f(x)的关系由牛顿-莱布尼兹
10、公式*故选(A)分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理*x0，1，f(x)=f(x)-f(0)=f()x，(0，x)*故选(A)7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：4.00）_解析：分析 依题设，X 在-1，1上服从均匀分布，其概率密度为*由于*故 cov(X，|X|)=0，从而 P=0，X 与|X|不相关于是可排除(A)与(B)对于任意实数 a(0a1)，有*又 PXa，|X|a=P|X|a=a，从而 PXaP|X|aPXa，|X|a8.设方程 的全部解均以 为周
11、期，则常数 a 取值为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 一阶线性齐次方程*的全部解为*它们均以 为周期*为 为周期方法 1 a+sin2t 以 为周期，则*以 为周期*即*因此应选(D)方法 2 由于*它以 为周期*因此选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1， f“(0)=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由反函数求导公式得*再由复合函数求导法得*从而*于是*分析二 将上述导出的 ()，“()表达式代入得*于是*分析三 在 xOy 直角坐标系中
12、y=f(x)与它的反函数 x=(y)代表同一条曲线，作为 x 的函数 y=f(x)与作为 y 的函数 x=(y)在同一点处的曲率是相同的，按曲率公式应有*因 f(0)=1，即 x=0 时*10.设 f(x,y)可微，f(x,x 2)=1， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 f(x，x 2)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x，y=x 2复合而成的一元函数，由 f(x，x 2)=1 及复合函数求导法得*于是*11.设为平面 y+x=5 被柱面 x2+y2=25 所截得的部分，则曲面积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用的方程简化被
13、积表达式得*由关于 yz 平面对称*现计算* 方法 1 的方程：z=5-y，可算得*又在 xy 平面上投影区域为 D:x 2+y225，则*方法 2 记的面积为 ，它在 xy 平面的投影面积为 0=5 2=25，而*因此*12.设函数 f(x)的傅氏级数的和函数为其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析f(x)应为偶函数，周期 T=4(l=2)，且*方法 1 将题设中的 an表达式改写，即*于是*方法 2 改写上述(*)中 an的计算公式，有*于是*13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 对 Ax=0 的系数矩阵 A 作初等行变换，有
14、*得基础解系 1=(1，5，3，0) T， 2=(-2，-1，0，3) T正交化有 1= 1=(1，5，3，0) T，*单位化得*14.设随机事件 A，B 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由*可知*P(A)+P(B)=1， 所以*分析二 因为*即有*所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.抛物线 y=x2上任意点(a,a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直()求 L1与 L2交点的横坐标 x1；()求 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；()问 a0 取何值时 X(a)取最小值（分数
15、：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()抛物线 y=x2在点(a，a 2)处的切线为L1:y=a2+2a(x-a)，即 y=2ax-a2另一点(b，b 2)处的切线为L2:y=b2+2b(x-b)，即 y=2bx-b2*由 L1与 L2垂直*它们的交点(x 1，y 1)满足*于是*()L 1，L 2与 y=x2所围图形的面积*由 x1的表达式知，*()求导解最值问题由*时 S(a)取最小值)解析：16.设 f(x)连续，且满足（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形令 s=x-t 得*即*现把
16、它转化成微分方程问题式两边求导得*又式中令 x= 得 f()=0再对求导得 f“(x)+f(x)=2在中令 x= 得 f()=0于是问题转化为求解初值问题*其中 y=f(x)这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为y=C1cosx+C2sinx+2由*解得 C 1=2，C 2=0因此 y=f(x)=2cosx+2)解析：17.设 f(x,y)，(x,y)均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x,y)在条件 (x,y)=0 下的极值点，又 (x0，y 0)0，求证：() （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()由题设条件*方程 (x，y)=0 在点
17、 M0 邻域确定隐函数 y=y(x)，且满足y(x0)=y0M0点是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点*以 x=x0为极值点它的必要条件是*由 x，y(x)=0 及隐函数求导法得*代入(*)得*()空间曲线*在 P0(x0，y 0，z 0)处的切线的方向向量(切向量)为*f 与 xy 平面平行()曲线 f(x，y)=f(x 0，y 0)与曲线 (x，y)=0 在公共点 M0处的法向量分别是 gradf(x，y)|M0=(fx，f y，)|M 0与 grad(x，y)|M 0=( x， y)|M0，由题()知，gradf(x，y)M 0与 grad(x,y)|M0平行*这两条曲
18、线在点 M0处相切)解析：18.将三重积分的累次积分 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 将 J 表成*，确定积分区域 ，然后选择适当的积分顺序，将它化为定积分将 J 看成是三重积分的先一后二的累次积分，于是*其中*因此， 是由半球面*与平面 z=1 所围成两面的交线是*即* 在 xy 平面上的投影区域是 x2+y21，z=0，即 Dxy(如图(a)现改为先二后-(z)的积分顺序， 的不等式表示为*截面区域 D(z)(如图(b)：x 2+y22-z 2，面积 S(z)=(2-z 2)因此*分析与求解二 将 J，看成是三重积分的先二后一的累次积分，确定二重积分的积分区域，然后逐次对二
19、重积分交换积分次序，化为定积分*其中*这里 x 视为常量，在 yz 平面上如图(c)所示在 Dyz上改为先 y 后 z 的积分顺序由于*于是*其中 D zx:-1x1，*现在 Dzx上改为先 x 后 z 的积分次序(如图(d)，由于*于是*其中*分析与求解三 将 J 表成三重积分*，问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分)， 如前所述除了先二后一的积分顺序外，因 为旋转体，也可选择柱坐标变换(x=rcos,y=rsin，z=z)，并选择先 r， 后 z 的积分顺序化为定积分 的柱坐标表示：*于是*)解析：19.设 f(x)在0,1连续，在(0,1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证：
20、 (0,1)使得（分数：11.00）_正确答案：(分析 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理：*(0,19)1)，分别在0，c与c，1上用拉格朗日中值定理*使得*即*关键是取 c(0，1)及 f(c)使得左端为 2，只需取 f(c)使得*则达目的证明 因为*，由连续函数的介值定理可知存在 c(0，1)，使得*又左端为*故得证)解析：20.已知 1=(1,3,5,-1)T， 2=(2,7,4) T， 3=(5,17,-1,7)T，()若 1, 2, 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2
21、， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：11.00）_正确答案：( 1， 2， 3线性相关*秩 r( 1， 2， 3)3由于*所以 a=-3()设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即*所以 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0()由于*所以 x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任-4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用*左乘上式两端并利用*有*又 40，故必有 k4=0于是k
22、1 1+k2 2+k3 3=0由 1，2， 3线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1， 2， 3， 4必线性无关而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1， 2， 3， 4线性表出)解析：21.设 （分数：11.00）_正确答案：(由 BA=0 有 r(A)+r(B)3，又 A，B 均非零矩阵，有 r(A)1，r(B)1故 1r(A)2， 1r(B)2又因 A 中有 2 阶子式非 0，故必有 r(A)=2，从而 r(B)=1于是有*由 BA=0 有 ATBT=0，那么 BT的列向量是齐次方程组 ATx=0 的解，由*知 ATX=0 的通解为 k(
23、-1，1，1) T，其中 k 为任意常数那么*其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数所以*其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数*所以 a=-3()设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即*所以 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0()由于*所以 x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任-4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用*左乘上式两端并利用*有*又 40，故必有 k4=0
24、于是k1 1+k2 2+k3 3=0由 1， 2， 3线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1， 2， 3， 4必线性无关而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1， 2， 3， 4线性表出)解析：22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y，表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数()求(X，Y)的联合分布；()求 cov(X，Y)+cov(Y，Z)（分数：11.00）_正确答案
25、：(由 BA=0 有 r(A)+r(B)3，又 A，B 均非零矩阵，有 r(A)1，r(B)1故 1r(A)2， 1r(B)2又因 A 中有 2 阶子式非 0，故必有 r(A)=2，从而 r(B)=1于是有*由 BA=0 有 ATBT=0，那么 BT的列向量是齐次方程组 ATx=0 的解，由*知 ATX=0 的通解为 k(-1，1，1) T，其中 k 为任意常数那么*其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数所以*其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数()*于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)*解法二 () 求(X，Y)的联合分布同解法一，但
26、不要求(Y，Z)的联合分布()由于 Z=2-X-Y，故cov(X，Y，)+cov(y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)=cov(X，Y)-cov(X，Y)-cov(Y，Y)=-DY又*)解析：23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，随机变量Z=X+2Y()求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ（分数：6.00）_正确答案：(由题设 X，Y 相互独立，且*故*先求 Z 的分布函数当 Z0 时，F Z(z)=0；当 0z2 时，*当 z2 时，*所以*于是*()直接用期望、方差的运算性质由于 EX=1，*且 X，Y 相互独立，故EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，*)解析：评注 该题第()问在实际考试中是送分题.但若用 Z 的密度函数 fz(z)按定义求 EZ，DZ，则会事倍功半，且极易出现错误，所以在解题时一定要注意选择方法.
