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【考研类试卷】考研数学二(一元函数微分学及应用)模拟试卷5及答案解析.doc

1、考研数学二(一元函数微分学及应用)模拟试卷 5及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f()在(,)上连续,F() 0 f(t)dt,则下列命题错误的是( )(分数:2.00)A.若 f()为偶函数,则 F()为奇函数B.若 f()为奇函数,则 F()为偶函数C.若 f()为以 T为周期的偶函数,则 F()为以 T为周期的奇函数D.若 f()为以 T为周期的奇函数,则 F()为以 T为周期的偶函数3.设 f()为连续的奇函数,且 (分数:2.00)A.

2、0 为 f()的极小点B.0 为 f()的极大点C.曲线 yf()在 0 处的切线平行于 z轴D.曲线 yf()在 0 处的切线不平行于 z轴4.设偶函数 f()有连续的二阶导数,并且 f(0)0,则 0( )(分数:2.00)A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点5.曲线 (分数:2.00)A.B.C.10D.56.下列曲线有斜渐近线的是( )(分数:2.00)A.ysinB.y 2 sinC.ysinD.y 2 sin 2 二、填空题(总题数:2,分数:4.00)7.设函数 yy()由 e 2y cosye1 确定,则曲线 yy()在

3、 0 对应点处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.椭圆 2 2 y 2 3 在点(1,1)处的切线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:21,分数:42.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_10.设 F()在0,1上连续,且 f()1,证明:2 0 f(t)dt1 在(0,1)内有且仅有一个实根(分数:2.00)_11.证明:方程 a ln(a0)在(0,)内有且仅有一个根(分数:2.00)_12.设 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 C n n cos n ,证明:对任意自然数

4、 n,方程 f n () 在区间(0, (分数:2.00)_13.设 f()在0,1上连续、单调减少且 f()0,证明:存在 c(0,1),使得 0 c f()d(1c)f(c)(分数:2.00)_14.求在 1 时有极大值 6,在 3 时有极小值 2的三次多项式(分数:2.00)_15.求函数 f() (分数:2.00)_16.设 f()为2,2上连续的偶函数,且 f()0,F() -2 2 tf(t)dt,求 F()在2,2上的最小值点(分数:2.00)_17.求函数 f() (分数:2.00)_18.f(,y) 3 y 3 3y 的极小值(分数:2.00)_19.设 yf() (分数:2

5、.00)_20.设 f() (分数:2.00)_21.设 g()在a,b上连续,且 f()在a,b上满足 f()g()f()f()0,又 f(a)f(b)0,证明:f()在a,b上恒为零(分数:2.00)_22.求函数 y (分数:2.00)_23.设 yy()由 2 y 2 y1(y0)确定,求函数 yy()的极值(分数:2.00)_24.求 f() 0 1 tdt 在0,1上的最大值、最小值(分数:2.00)_25.当 0 时,证明: (分数:2.00)_26.当 0 时,证明: 0 (tt) 2 sin 2n tdt (分数:2.00)_27.证明:当 01 时,e -2 (分数:2.0

6、0)_28.设 0ab ,证明: (分数:2.00)_29.求 y (分数:2.00)_考研数学二(一元函数微分学及应用)模拟试卷 5答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f()在(,)上连续,F() 0 f(t)dt,则下列命题错误的是( )(分数:2.00)A.若 f()为偶函数,则 F()为奇函数B.若 f()为奇函数,则 F()为偶函数C.若 f()为以 T为周期的偶函数,则 F()为以 T为周期的奇函数 D.若 f()为以 T为周期的奇

7、函数,则 F()为以 T为周期的偶函数解析:解析:取 f()1cos,f()是以 2 为周期的偶函数, 而 F() 0 (1cost)dtsin,F()不是以 2 为周期的奇函数,应选 C3.设 f()为连续的奇函数,且 (分数:2.00)A.0 为 f()的极小点B.0 为 f()的极大点C.曲线 yf()在 0 处的切线平行于 z轴 D.曲线 yf()在 0 处的切线不平行于 z轴解析:解析:由4.设偶函数 f()有连续的二阶导数,并且 f(0)0,则 0( )(分数:2.00)A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析:解析:因为

8、 f()为偶函数,所以 f()为奇函数,从而 f(0)0 因为 f(0)0,而 f(0)0,所以 0 一定是 f()的极值点,应选 B5.曲线 (分数:2.00)A.B.C.10 D.5解析:解析:6.下列曲线有斜渐近线的是( )(分数:2.00)A.ysin B.y 2 sinC.ysinD.y 2 sin 2 解析:解析:由 0 得 曲线 ysin二、填空题(总题数:2,分数:4.00)7.设函数 yy()由 e 2y cosye1 确定,则曲线 yy()在 0 对应点处的法线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y*1)解析:解析:当 0 时,y1, e 2y

9、 cosye1 两边对 求导得 将 0,y1 代入得 2, 故所求法线方程为 y1 (0),即 y 8.椭圆 2 2 y 2 3 在点(1,1)处的切线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y23)解析:解析:2 2 y 2 3 两边对 求导得 42yy0,即 y 三、解答题(总题数:21,分数:42.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:10.设 F()在0,1上连续,且 f()1,证明:2 0 f(t)dt1 在(0,1)内有且仅有一个实根(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ()2 0 f(t)dt1, (0

10、)1,(1)1 0 1 f(t)dt 由 f()1 得 0 1 f(t)dt1,从而 (1)1 0 1 f(t)dt0, 由零点定理,存在 c(0,1),使得 (c)0,即方程 2 0 f(t)dt1 至少有一个实根 因为 ()2f()0,所以()在0,1上严格递增,故 2 0 f(t)dt1 在(0,1)内有且仅有一个实根)解析:11.证明:方程 a ln(a0)在(0,)内有且仅有一个根(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f() a ln,f()在(0,)连续, 因为 f(1)10, f(),所以 f()在(0,)内至少有一个零点,即方程 a ln 在(0,)内至少有一个根 因为

11、 f()a a-1 )解析:12.设 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 C n n cos n ,证明:对任意自然数 n,方程 f n () 在区间(0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 cos n 得 f n ()1(1cos) n , 令 g()f n () (1cos) n , 由零点定理,存在c(0, ),使得 g(c)0, 即方程 f n () 在(0, )内至少要有一个根 因为g()n(1cos) n-1 .sin0(0 ), 所以 g()在(0, )内有唯一的零

12、点,从而方程 f n () 在(0, )解析:13.设 f()在0,1上连续、单调减少且 f()0,证明:存在 c(0,1),使得 0 c f()d(1c)f(c)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ()(1) 0 f(t)dt, 因为 (0)(1)0,所以存在c(0,1),使得 (c)0, 而 () 0 f(t)dt(1)f(), 于是 0 c f()d(1c)f(c)解析:14.求在 1 时有极大值 6,在 3 时有极小值 2的三次多项式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f()a 3 b 2 cd, 由 f(1)6,f(1)0,f(3)2,f(3)0 得 )解析:15

13、.求函数 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然 f()为偶函数,只研究 f()在0,)上的最小值和最大值 令f()2(2 2 ) 0 得 当 0 时,f()0;当 时,f()0, 为最大值点,最大值 M ; f(0)0, 故 f()的最小值为m0,最大值 M1 )解析:16.设 f()为2,2上连续的偶函数,且 f()0,F() -2 2 tf(t)dt,求 F()在2,2上的最小值点(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F() -2 2 tf(t)dt -2 (t)f(t)dt 2 (t)f(t)dt -2 f(t)dt -2 tf(t)dt 2 tf(t)dt 2 f

14、(t)dt, F() -2 f(t)dt 2 f(t)dt -2 0 f(t)dt 0 f(t)dt 2 0 f(t)dt 0 f(t)dt, 因为 -2 0 f(t)dt 0 2 f(t)dt,所以 F()2 0 f(t)dt 因为 f()0,所以 F()0 得0, 又因为 F()2f(),F(0)2f(0)0,所以 0 为 F()在(2,2)内唯一的极 小值点,也为最小值点)解析:17.求函数 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 故 f()在0,2上最大值为 0,最小值为 ln )解析:18.f(,y) 3 y 3 3y 的极小值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由

15、 )解析:19.设 yf() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(00) 1, f(0)f(00)1,由 f(0)f(00)f(00)1 得f()在 0 处连续 (2)当 0 时,由 f()2 2 (1ln)0 得 ;当 0时,f()10 当 0 时,f()0;当 0 时,f()0;当 时,f()0, 则 0 为极大点,极大值为 f(0)1; 为极小值点,极小值为 )解析:20.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 f (0)f (0),所以 f()在 0 处不可导 于是f() 令 f()0 得 1, 当 1 时,f()0;当 10 时,f()0;当 0 时,

16、f()0; 当 时,f()0, 故 1 为极小值点,极小值为 f(1)1 ;0 为极大值点,极大值为 f(0)1; 为极小值点,极小值为 )解析:21.设 g()在a,b上连续,且 f()在a,b上满足 f()g()f()f()0,又 f(a)f(b)0,证明:f()在a,b上恒为零(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f()在区间a,b上不恒为零,不妨设存在 0 (a,b),使得 f()0,则 f()在(a,b)内取到最大值,即存在 c(a,b),使得 f(c)M0,且 f(c)0,代入得 f(c)f(c)M0,则 c 为极小值点,矛盾,即 f()0,同理可证明 f()0,故 f()

17、0(ab)解析:22.求函数 y (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得 1,0 当 1 时,y0;当10 时,y0;当 0 时,y0, y(1) 的单调增区间为(,1(O,),单调减区间为1,0,1 为极大值点,极大值为 y(1)2 ;0 的极小值点,极小值为 y(0) 因为 ,所以曲线 y(1) 没有水平渐近线; 又因为 y(1) 为连续函数,所以 y(1) 没有铅直渐近线; 得 y2 为曲线的斜渐近线; 得 ye 2e 为曲线 y(1) )解析:23.设 yy()由 2 y 2 y1(y0)确定,求函数 yy()的极值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 2 y 2 y1

18、 两边关于 求导得 2y22yyy0,解得 y , 由 y )解析:24.求 f() 0 1 tdt 在0,1上的最大值、最小值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 由 f()210 得 , 因为 所以 f()在0,1上的最大值为 、最小值为 )解析:25.当 0 时,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(t)lnt,f(t) ,由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)lnf(1)f()f() (1), 从而 )解析:26.当 0 时,证明: 0 (tt) 2 sin 2n tdt (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f() 0 (tt 2 )sin 2

19、n tdt 令 f()( 2 )sin 2n 0得 1,k(k1,2,), 因为当 01 时,f()0;当 1 时,f()0, 所以 1 时,f()取最大值, 故当 0 时, )解析:27.证明:当 01 时,e -2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:e 2 等价于2ln(1)ln(1), 令 f()ln(1)ln(1)2,f(0)0, f() 0(01), 由 得 f()0(01), 故当 01 时,e 2 )解析:28.设 0ab ,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f() , 因为 sin(0 )且 cos1,所以 f()0(0 ), 即 f()在(0, )内单调递增, 从而当 0ab 时,f(a)f(b),)解析:29.求 y (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得 1 与 1 为 y 的铅直渐近线; 由 得y 没有水平渐近线; 由 得 y 为曲线 y )解析:

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