1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 5及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()在(，)上连续，F() 0 f(t)dt，则下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 f()为偶函数，则 F()为奇函数B.若 f()为奇函数，则 F()为偶函数C.若 f()为以 T为周期的偶函数，则 F()为以 T为周期的奇函数D.若 f()为以 T为周期的奇函数，则 F()为以 T为周期的偶函数3.设 f()为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.
2、0 为 f()的极小点B.0 为 f()的极大点C.曲线 yf()在 0 处的切线平行于 z轴D.曲线 yf()在 0 处的切线不平行于 z轴4.设偶函数 f()有连续的二阶导数，并且 f(0)0，则 0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点5.曲线 （分数：2.00）A.B.C.10D.56.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A.ysinB.y 2 sinC.ysinD.y 2 sin 2 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设函数 yy()由 e 2y cosye1 确定，则曲线 yy()在
3、 0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.椭圆 2 2 y 2 3 在点(1，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 F()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_11.证明：方程 a ln(a0)在(0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_12.设 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 C n n cos n ，证明：对任意自然数
4、 n，方程 f n () 在区间(0， （分数：2.00）_13.设 f()在0，1上连续、单调减少且 f()0，证明：存在 c(0，1)，使得 0 c f()d(1c)f(c)（分数：2.00）_14.求在 1 时有极大值 6，在 3 时有极小值 2的三次多项式（分数：2.00）_15.求函数 f() （分数：2.00）_16.设 f()为2，2上连续的偶函数，且 f()0，F() -2 2 tf(t)dt，求 F()在2，2上的最小值点（分数：2.00）_17.求函数 f() （分数：2.00）_18.f(，y) 3 y 3 3y 的极小值（分数：2.00）_19.设 yf() （分数：2
5、.00）_20.设 f() （分数：2.00）_21.设 g()在a，b上连续，且 f()在a，b上满足 f()g()f()f()0，又 f(a)f(b)0，证明：f()在a，b上恒为零（分数：2.00）_22.求函数 y （分数：2.00）_23.设 yy()由 2 y 2 y1(y0)确定，求函数 yy()的极值（分数：2.00）_24.求 f() 0 1 tdt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_25.当 0 时，证明： （分数：2.00）_26.当 0 时，证明： 0 (tt) 2 sin 2n tdt （分数：2.00）_27.证明：当 01 时，e -2 （分数：2.0
6、0）_28.设 0ab ，证明： （分数：2.00）_29.求 y （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 5答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()在(，)上连续，F() 0 f(t)dt，则下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 f()为偶函数，则 F()为奇函数B.若 f()为奇函数，则 F()为偶函数C.若 f()为以 T为周期的偶函数，则 F()为以 T为周期的奇函数 D.若 f()为以 T为周期的奇
7、函数，则 F()为以 T为周期的偶函数解析：解析：取 f()1cos，f()是以 2 为周期的偶函数， 而 F() 0 (1cost)dtsin，F()不是以 2 为周期的奇函数，应选 C3.设 f()为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.0 为 f()的极小点B.0 为 f()的极大点C.曲线 yf()在 0 处的切线平行于 z轴 D.曲线 yf()在 0 处的切线不平行于 z轴解析：解析：由4.设偶函数 f()有连续的二阶导数，并且 f(0)0，则 0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析：解析：因为
8、 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，从而 f(0)0 因为 f(0)0，而 f(0)0，所以 0 一定是 f()的极值点，应选 B5.曲线 （分数：2.00）A.B.C.10 D.5解析：解析：6.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A.ysin B.y 2 sinC.ysinD.y 2 sin 2 解析：解析：由 0 得 曲线 ysin二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设函数 yy()由 e 2y cosye1 确定，则曲线 yy()在 0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*1）解析：解析：当 0 时，y1， e 2y
9、 cosye1 两边对 求导得 将 0，y1 代入得 2， 故所求法线方程为 y1 (0)，即 y 8.椭圆 2 2 y 2 3 在点(1，1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y23）解析：解析：2 2 y 2 3 两边对 求导得 42yy0，即 y 三、解答题(总题数：21，分数：42.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 F()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()2 0 f(t)dt1， (0
10、)1，(1)1 0 1 f(t)dt 由 f()1 得 0 1 f(t)dt1，从而 (1)1 0 1 f(t)dt0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)0，即方程 2 0 f(t)dt1 至少有一个实根 因为 ()2f()0，所以()在0，1上严格递增，故 2 0 f(t)dt1 在(0，1)内有且仅有一个实根)解析：11.证明：方程 a ln(a0)在(0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() a ln，f()在(0，)连续， 因为 f(1)10， f()，所以 f()在(0，)内至少有一个零点，即方程 a ln 在(0，)内至少有一个根 因为
11、 f()a a-1 )解析：12.设 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 C n n cos n ，证明：对任意自然数 n，方程 f n () 在区间(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f n ()C n 1 cosC n 2 cos 2 (1) n-1 cos n 得 f n ()1(1cos) n ， 令 g()f n () (1cos) n ， 由零点定理，存在c(0， )，使得 g(c)0， 即方程 f n () 在(0， )内至少要有一个根 因为g()n(1cos) n-1 .sin0(0 )， 所以 g()在(0， )内有唯一的零
12、点，从而方程 f n () 在(0， )解析：13.设 f()在0，1上连续、单调减少且 f()0，证明：存在 c(0，1)，使得 0 c f()d(1c)f(c)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()(1) 0 f(t)dt， 因为 (0)(1)0，所以存在c(0，1)，使得 (c)0， 而 () 0 f(t)dt(1)f()， 于是 0 c f()d(1c)f(c)解析：14.求在 1 时有极大值 6，在 3 时有极小值 2的三次多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()a 3 b 2 cd， 由 f(1)6，f(1)0，f(3)2，f(3)0 得 )解析：15
13、.求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 f()为偶函数，只研究 f()在0，)上的最小值和最大值 令f()2(2 2 ) 0 得 当 0 时，f()0；当 时，f()0， 为最大值点，最大值 M ； f(0)0， 故 f()的最小值为m0，最大值 M1 )解析：16.设 f()为2，2上连续的偶函数，且 f()0，F() -2 2 tf(t)dt，求 F()在2，2上的最小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F() -2 2 tf(t)dt -2 (t)f(t)dt 2 (t)f(t)dt -2 f(t)dt -2 tf(t)dt 2 tf(t)dt 2 f
14、(t)dt， F() -2 f(t)dt 2 f(t)dt -2 0 f(t)dt 0 f(t)dt 2 0 f(t)dt 0 f(t)dt， 因为 -2 0 f(t)dt 0 2 f(t)dt，所以 F()2 0 f(t)dt 因为 f()0，所以 F()0 得0， 又因为 F()2f()，F(0)2f(0)0，所以 0 为 F()在(2，2)内唯一的极 小值点，也为最小值点)解析：17.求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f()在0，2上最大值为 0，最小值为 ln )解析：18.f(，y) 3 y 3 3y 的极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
15、 )解析：19.设 yf() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(00) 1， f(0)f(00)1，由 f(0)f(00)f(00)1 得f()在 0 处连续 (2)当 0 时，由 f()2 2 (1ln)0 得 ；当 0时，f()10 当 0 时，f()0；当 0 时，f()0；当 时，f()0， 则 0 为极大点，极大值为 f(0)1； 为极小值点，极小值为 )解析：20.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f (0)f (0)，所以 f()在 0 处不可导 于是f() 令 f()0 得 1， 当 1 时，f()0；当 10 时，f()0；当 0 时，
16、f()0； 当 时，f()0， 故 1 为极小值点，极小值为 f(1)1 ；0 为极大值点，极大值为 f(0)1； 为极小值点，极小值为 )解析：21.设 g()在a，b上连续，且 f()在a，b上满足 f()g()f()f()0，又 f(a)f(b)0，证明：f()在a，b上恒为零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()在区间a，b上不恒为零，不妨设存在 0 (a，b)，使得 f()0，则 f()在(a，b)内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)M0，且 f(c)0，代入得 f(c)f(c)M0，则 c 为极小值点，矛盾，即 f()0，同理可证明 f()0，故 f()
17、0(ab)解析：22.求函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 1，0 当 1 时，y0；当10 时，y0；当 0 时，y0， y(1) 的单调增区间为(，1(O，)，单调减区间为1，0，1 为极大值点，极大值为 y(1)2 ；0 的极小值点，极小值为 y(0) 因为 ，所以曲线 y(1) 没有水平渐近线； 又因为 y(1) 为连续函数，所以 y(1) 没有铅直渐近线； 得 y2 为曲线的斜渐近线； 得 ye 2e 为曲线 y(1) )解析：23.设 yy()由 2 y 2 y1(y0)确定，求函数 yy()的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 y 2 y1
18、 两边关于 求导得 2y22yyy0，解得 y ， 由 y )解析：24.求 f() 0 1 tdt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f()210 得 ， 因为 所以 f()在0，1上的最大值为 、最小值为 )解析：25.当 0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)lnt，f(t) ，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)lnf(1)f()f() (1)， 从而 )解析：26.当 0 时，证明： 0 (tt) 2 sin 2n tdt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 0 (tt 2 )sin 2
19、n tdt 令 f()( 2 )sin 2n 0得 1，k(k1，2，)， 因为当 01 时，f()0；当 1 时，f()0， 所以 1 时，f()取最大值， 故当 0 时， )解析：27.证明：当 01 时，e -2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e 2 等价于2ln(1)ln(1)， 令 f()ln(1)ln(1)2，f(0)0， f() 0(01)， 由 得 f()0(01)， 故当 01 时，e 2 )解析：28.设 0ab ，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() ， 因为 sin(0 )且 cos1，所以 f()0(0 )， 即 f()在(0， )内单调递增， 从而当 0ab 时，f(a)f(b)，)解析：29.求 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 1 与 1 为 y 的铅直渐近线； 由 得y 没有水平渐近线； 由 得 y 为曲线 y )解析：
