1、专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在 x=0 处可导，则 = ( )（A） f(0)（B） f(0)（C） 2f(0)（D）f (0)2 设函数 y=ex2 ，则 dy= ( )（A）e x3 dx（B） ex2 dx（C） ex1 dx（D）e xdx3 下列函数中，在 x=0 处可导的是 ( )（A）y=x（B） y=（C） y=x3（D）y=lnx4 f(x)=(x+1)(x+2)(x+100)，则 f(一 1)= ( )（A）100！（B） 99！（C） （D）一 99！5 曲线 y= ( )（A）有一个拐点（B）有两个拐点（C）有三
2、个拐点（D）无拐点6 函数 y=ex+ex 的单调增加区间是 ( )（A）(一， +)（B） (一，0（C） (一 1，1)（D）0 ，+)7 函数 f(x)= 在0，3上满足罗尔定理，则 = ( )（A）2（B） 3（C） 0（D）18 设 y=f(x)在0，1上连续，且 f(0)0，f(1)0，则下列正确的是 ( )（A）y=f(x)在0，1上可能无界（B） y=f(x)在 0，1上未必有最小值（C） y=f(x)在 0，1上未必有最大值（D）方程 f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根二、填空题9 设函数 y=(x 一 3)4，则 dy=_10 设 y=x2ex，则 y(10) x=
3、0=_11 x= ，y=t 3，则 =_12 曲线 y= 的水平渐近线方程为_13 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值点为 _14 讨论 f(x)= 在 x=0 处的可导性15 求曲线 y=ex 上通过原点的切线方程及和直线 x+y=2 垂直的法线方程16 函数 y=y(x)由方程 ey=sin(x+y)确定，求 dy17 求函数 y= 的导数 已知 f()可微18 设 f(x)在 x0 点可导，求 19 已知 g(x)=af2(x)且 f(x)= ，证明：g (x)=2g(x)20 已知曲线 y=ax4+bx2+x23 在点(1，6) 处与直线 y=11x 一 5 相切，求 a，b
4、21 设 f(x)在0，+)上连续，f(0)=0，f (x)在(0，+)内恒大于零，证明 g(x)= 在(0，+) 内单调增加22 设 f(x)在a，b上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又 F(x)=(x 一 a)2f(x)证明F(x)在(a，b)内至少存在一点 ，使 F()=023 当 0x 时，证明 24 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，k 为正整数，求证：存在一点 (0，1)使得 f()+kf()=f()25 证明当 x0 时，有 26 某企业计划生产一批服装 a 件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出 1000 元，而每批生产
5、直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是 40 件时，直接消耗的生产费用是 800 元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=ex2 ，y =ex2 ，所以 dy=ex2 dx【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，y=x，在 x=0 处左右导数不相同，则 y=x在 x=0处不可导；选项 B 中， 在 x=0 处无定义，即 y= 在 x=0 处不可导；选项 C中
6、，y=x 3，y =3x2 处处存在，即 y=x3 处处可导，也就在 x=0 处可导；选项 D 中，y=lnx 在 x=0 点没定义，所以 y=lnx 在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由导数的定义可知 f(一 1)= = (x+2)(x+100)=99！【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因 y= ，则 y在定义域内恒不等于 0，且无二阶不可导点，所以无拐点【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 y=e x+ex ，则 y=ex 一 ex = ，令 y0，则 x0，所以 y 在区间0，+) 上单调
7、递增【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)= ，得 f(0)=f(3)=0又因 f(x)= ，故 f()=0，所以=2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项 D 正确【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 4(x 一 3)3dx【试题解析】 因为 y=(x 一 3)4，y =4(x 一 3)3，则 dy=4(x 一 3)3dx【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 90【试题解析】 y =2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex(
8、x+1)2 一 1， y =ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x+2)2 一 2， y =ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex(x+3)2 一 3， y (10)=ex(x+10)2 一10， 所以 y(10) x=0=90【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 一 3t2(1+t)2【试题解析】 =一 3t2(1+t)2【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y=【试题解析】 的水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x=一(n+1)【试题解析】 f (x)=ex+xex=(x+1)ex，f (x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，
9、f (x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，f (n)(x)=(x+n)ex，故(f (n)(x)=f(n1) (x)=(x+n+1)ex=0，则 x=一(n+1)，显然当 x一(n+1)时，f (n1) (x)0；当 x一(n+1)时，f (n1) (x)0，因此 f(n)(x)的极小值点为 x=一(n+1) 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 f (0)= =0，f (0)= =0故函数在 x=0 处可导且 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 曲线 y=ex 上任一点(x 0，e x 0)处的切线方程为 y=ex 0=一(e x) x=x0(xx0
10、)，即 y ex 0=一 ex 0(xx0) 因切线过原点，则将 x=0，y=0 代入得 x0=一 1，则切点为( 一 1，e) ，故过原点的切线方程为 y=一 ex 又曲线 y=ex上任意点的法线方程为 yex 0=ex0(xx0)，因法线与 x+y=2 垂直，故有 e x0(一1)=一 1，得 x0=0，从而所求法线方程为 y=x+1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 将 ey=sin(x+y)两边对 x 求导，有 eyy =cos(xy)(1+y )，所以 y=dx【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 y=f()，= 2，=sint，t= ，则【知识模块】 一元
11、函数微分学18 【正确答案】 =2f(x0)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 g (x)=(af2(x)=lnaa f2(x)f 2(x)=lnaa f2(x)2f(x)f (x)，又 f(x)=，所以 g(x)=lnaa f2(x)2f(x) =2af2(x)=2g(x)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 曲线过点(1，6)，即点(1，6) 满足曲线方程， 所以 6=a+b+4， 再 y=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与 y=11x 一 5 相切，所以y x=1=4a+3b+2=11， 联立解得 a=3，b= 一 1【知识模块】 一元函数微分学21
12、 【正确答案】 方法一 因为 f(x)0，所以 f(x)在(0，+) 单调增加，故 f(x)f ()，即 g(x)0，从而 g(x)在(0，+)单调增加方法二 g (x)= ，欲证分子(x)=f(x)x f(x)大于零，因为 (x)=f(x)x+f(x)一 f(x)=f(x)x0(x0)，所以 x0时 (x)单调增加，即 (x)(0)=0，故当 x0，g(x)在(0，+)内单调增加【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 显然，F(x)在a，b 上满足罗尔定理条件，故存在 (a，b) ，使F()=0，又由 F(x)=2(x 一 a)f(x)+(x 一 a)2f(x)，知 F(a)=0因此
13、，F (x)在a ，上满足罗尔定理条件，故存在 (a，) (a，b)，使得 F()=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F(x)= ，则 F(0)=F()=0又 F(x)= F (0)F (x)F ()而 F(0)= 0，判别不出 F(x)的正负注意到 F(x)0，则 F(x)在0x 时是凸曲线，由于 F(0)=F()=0，故 F(x)0，即 ，得证【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 xf (x)+kf(x)=f(x)，整理得，(x 一 1)f(x)=一 kf(x)，分离变量得 ，两边积分得 lnf(x)=一 kln(1 一 x)+C1，整理得 lnf(x)(1
14、一 x)k=C1，即 f(x)(1 一 x)k=C，所以设 F(x)=f(x)(1 一 x)k，F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，又 F(0)=0，F(1)=0 ，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理，故存在一点 (0，1) ，使得 F()=0，即 f()+kf()=f()【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 分析可得 0，又可构造辅助函数，用单调性证明令 F(x)=(0x+) ，因为 F(x)= 0，所以 F(x)在 (0，+)上单调减少，又=0，所以，对一切 x(0，+) ，恒有 F(x)0，即 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设每批生产 x 件，则一年内生产 批，每批生产直接消耗费用为 p，则 p=kx2，又因为根据条件，每批产品 40 件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k40 2，即 k= x2，该产品的总费用 y 为 y= 0xa ，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当 x= 45 时，总费用最小【知识模块】 一元函数微分学
