1、专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 设 y=f(x)在点 x=1 处可导，且 =2，则 f(1)= ( )（A）2（B） 1（C）（D）02 若函数 y=f(x)有 f(x0)= ，则当 x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小3 设函数 y=3x+1，则 y= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设函数 f(x)满足 f(sin2x)=cos2x，且 f(0)=0，则 f(x)= ( )5 设 f(ex)= ，则 f(x)= (
2、)6 曲线 y=x3(x 一 4)的拐点个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）0 个7 设函数 f(x)=(1+x)ex，则函数 f(x) ( )（A）有极小值（B）有极大值（C）既有极小值又有极大值（D）无极值8 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定9 下列函数在给定区间满足拉格朗日定理条件的有 ( )（A）y=x，一 1，1（B） y=cosx，0，（C） y= ， 一 1，1（D）y= ，一 2，210 设 x=x0
3、为 y=f(x)的驻点，则 y=f(x)在 x0 处不一定 ( )（A）连续（B）可导（C）取得极值（D）曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线平行于 x 轴二、填空题11 曲线 y=x+cosx 在点(0，1)处的切线的斜率 k=_12 设 f(x)= ，而 h(t)满足条件 h(0)=3，h (t)=sin2(t )，则 fh(t) t=0=_13 设 y=22arccosx，则 dy=_14 当 x=1 时， f(x)=x3+3px+q 取到极值( 其中 q 为任意常数)，则 p=_15 设函数 f(x)=x2pxq，有 (a，b)满足a，b上的拉格朗日中值定理，则=_16
4、 设 f(x)= 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性17 设 y=excos 3xlnx ，求 y18 设 y=y(x)是由方程 2yx=(xy)ln(xy)确定的隐函数，求 dy19 设函数 y=f(x)由方程 xef(y)=ey 所确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求 20 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，计算 f(n)(2)21 设函数 y=alnx+bx2+5x 在 x=1 处取极值且 x= 为其拐点横坐标，求 a，b 之值22 设 f(x)在a，b上二阶可导，且恒有 f(x)0，证明：若方程 f(x)=0 在(a，b
5、)内有根，则最多有两个根23 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)证明：若 f(x)不恒为常数，则至少 (a，b)，有 f()024 求证方程 3x 一 1 一 0x dt=0 在区间(0 ，1)内有唯一根24 已知函数 f(x)在区间0，1上连续，在区间(0，1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：25 存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；26 存在两个不同的 ， (0，1)，使得 f()f()=127 证明对任意常数 ab ，都有 sinb 一 sinab 一 a28 一艘轮船甲以 20 海里小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙
6、在其正北82 海里处以 16 海里小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?29 将长为 a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长多少时，正方形与圆形面积之和最小专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y=f(x)在点 x=1 处可导，则 y=f(x)在点 x=1 处必连续，所以有f(1)= =2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 按照微分定义，在 x=x0 处，dy=f (x0)x= x，当x0 时，dy与x 为同阶无穷小，故选 B【知识模块】 一元函数微分学3
7、 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=3x+1，故 y=3，y =0【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 f (sin2x)=cos2x=1sin 2x，令 =sin2x，故 f()=1一 ，所以 f()=一 2+C，由 f(0)=0，得 C=0，所以 f(x)=x x2【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 令 t=ex，则 x=lnt，代入原函数得 f(t)= (ln 2t)= ，故选 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=x4 一 4x3，于是 y=4x3 一 12x2，y =12x2 一 24x=12x
8、(x 一 2)，令y=0，得 x=0，x=2；具有下表： 由表知，函数曲线有两个拐点为 (0，0)，(2，一 16)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)=(1+x)ex，且处处可导，于是，f (x)=ex+(1+x)e x=(x2)e x，令 f(x)=0 得驻点 x=一 2；又 x一 2 时，f (x)0； x2 时，f (x)0；从而 f(x)在 x=一 2 处取得极小值，且 f(x)只有一个极值【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 (1)f(x)=(1 一 x2)3 和 g(x)= 都在 x=0 处取得极大值，但 f(x)g(
9、x)=一 1 在 x=0 不取极值；(2)f(x)=一 x3 和 g(x)=一 x4 都在 x=0 取得极大值，但 f(x)g(x)=x6 在 x=0 取极小值，针对不同情形，F(x)在 x=a 处是否取极值不能确定，故选 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 A 选项中，函数在 x=0 处不可导；C 选项中，函数在 x=0 处不可导；D 选项中，函数在 x=1 处不连续；B 选项中，函数在0，连续，在(0，)可导，符合拉格朗日中值定理条件，故选 B【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 驻点是导数为零的点，所以 A、B 项正确，由导数的几何意
10、义可知D 项正确，驻点不一定是极值点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 y=x+cosx，所以 y=1 一 sinx，y (0)=1，即所求的切线斜率k=1【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 fh(t) t=0=fh(t)h (t) t=0=fh(0)sin 2 ，f (x)= 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由 y=22arccosx，则 y=一 22arccosx2 ln2，所以 dy=一ln2 dx【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 一 1【试题解析】 f (x)=3
11、x2+3p，在 x=1 处可导，则 f(1)=3+3p=0，所以 p=一 1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f()= =b+a+p，即有 2+p=b+a+p，故 =【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因 =1故 =1=f(0)，f(x)在 x=0 处连续，又 故 f(x)在x=0 处连续、可导，且 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 对 y=excos 3xlnx 两边取对数得 lny=x+3ln(cosx)ln(lnx)，两边对 x 求导得 ，解得 y= 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 利
12、用一阶微分的形式不变性得 2dydx=(dxdy)ln(xy)+(xy) (dxdy)，所以3+ln(xy)dy=2+ln(xy)dx，因此 dy= dx【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对 x 求导可得：+f(y)y=y，再对 x 求导，一 +f(y)(y)2+f(y)y=y，代 y并解出：y =一 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 对 f(x)=ef(x)两边求导数得 f (x)=ef(x)f (x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f(x)=e2f(x)2f (x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f
13、(4)(x)=2e3f(x)3f (x)=3！e 4f(x) 由以上导数规律可得 f (n)(x)=(n 一 1)！e nf(x)， 所以 f(n)(2)=(n 一 1)！e n【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y = 2bx+5，y = +2b，又有已知条件可得 y(1)=a+2b+5=0， y( )=4a+2b=0，联立解得 a=一 1，b=一 2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 按题意，不需要证明根的存在性，只需证明 f(x)=0 若在(a，b)内有根，则最多有两个根用反证法，设 f(x)在(a ，b)内有三个根 x1，x 2，x 3，且设ax 1x 2x 3
14、b，即有 f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，现分别在区间x 1，x 2与x 2，x 3上应用罗尔定理，有 f(1)=0， 1(x1，x 2)；f (2)=0， 2(x2，x 3)，又 f(x)在 1， 2上也显然满足罗尔定理条件，于是有 f()=0，( 1， 2) (a，b)，这与假设 f(x)0矛盾，故 f(x)=0 在(a ，b)内最多有两个根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数所以至少存在 x0(a，b)，使f(x0)f(a)，则 f(x0)f(a)或 f(x0)f(a) 不妨设 f(x0)f(a)，则在x 0，b上用拉格
15、朗日中值定理得至少存在 (x0，b)(a ，b)，有 f()= 0对于 f(x0)f(a)情形同理可证【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 f(x)=3x 一 1 一 0x dt，f(x)在0，1内连续，f(0)=一 1，f(1)=31 一 01 ，因为 f(0)f(1)0，所以，由零点定理可知，存在一点 (0，1)，使得 f()=0，又 f(x)=3 一 0。则 f(x)是单调增加的，故存在唯一的 (0，1)使得 f()=0，即结论得证【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 F(x)=f(x)一 1+x，0x1，则 F(x)在区间0 ，1
16、上连续因为 F(0)=一 10，F(1)=10，所以由零点定理，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 ；【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题设，函数 f(x)在区间0 ， 上连续，在区间 (0，)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在 (0，) (0，1)，使得 f()= 同样，由题设，函数 f(x)在区间，1上连续，在区间(，1)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在 (，1) (0，1)，使得 f()= 因为 (0，)，(，1)，于是存在两个不同的 ，(0，1) ，使得 f()f()=1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 sinbsinaba 1令
17、 f(x)=sinx，则 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 (a，b)，使 =f()=cos1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设经过 t 小时两船相距 S 海里，则 S= ，即 S2=(8216t)2+(20t)2，所以(S 2)=2(8216t)(一 16)+220t 20，令(S 2)=0，得驻点 t=2，即经过两小时后两船相距最近【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设正方形长度为 x，则圆形周长为 a 一 x那么正方形边长为 ，则圆形半径为 它们的面积之和 S= ，S = ，令 S=0，则有唯一驻点 x=，即当 x= 时，S 取得最小值因此， 【知识模块】 一元函数微分学
