1、专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内可导，且 f(x0)为 f(x)的一个极小值，则 = ( )（A）一 2（B） 0（C） 1（D）22 设函数 f(x)=ex2 ，则 f(x)等于 ( )（A）一 2e x2（B） 2ex2（C）一 2xex2（D）2xe x23 设函数 f(x)=2lnx+ex，则 f(2)= ( )（A）e（B） 1（C） 1+e2（D）ln24 设 y=exsinx，则 y= ( )（A）cosx e x（B） sinx ex（C） 2ex(cosxsinx)（D）2e x(sinxcosx
2、)5 设 f(x)可导，且满足 =一 2，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）4（B）一 4（C） 1（D）一 16 曲线 y=1+ ( )（A）有水平渐近线，无铅直渐近线（B）无水平渐近线，有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线7 曲线 y= =1 的水平渐近线的方程是 ( )（A）y=2（B） y=一 2（C） y=1（D）y=一 18 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 方程 x3 一 3x+1=0 ( )（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个
3、实根（D）有三个实根二、填空题10 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f (0)=b，若 F(x)= 在 x=0 处连续，则常数 A=_11 设 y=2x，则 y(n)=_12 设 y= ，则 y=_13 设 f(x)=ax3 一 6ax2+b 在区间一 1，2的最大值为 2，最小值为一 29，又知a0，则 a=_，b=_ 14 若 =1，则 f(x)在 x=a 处取极_值15 求 y= 的 n 阶导数16 求函数 y=ln(x+ )的二阶导数 y17 设 x=(y)是严格单调的连续函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=9，f (1)=一 ，求(9)18 设 y=y(x
4、)由 所确定， f(t)存在且 f(t)0，求 19 设函数 f(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 f(0)=f(0)=0，试求函数 g(x)=的导数20 求曲线 y=x3 一 3x+5 的拐点20 已知 f(x)是定义在 R 上的单调递减的可导函数，且 f(1)=2，函数 F(x)=0xf(t)dt一 x2121 判别曲线 y=F(x)在 R 上的凹凸性，并说明理由；22 证明：方程 F(x)=0 在区间 (0，1)内有且仅有一个实根23 若 f(x)在0，1上有三阶导数，且 f(0)=f(1)=0，设 F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个 ，使 F()=024 设 0a
5、 b1，证明不等式 arctanbarctana 25 证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx26 证明当 x0 时，xln(1+x)27 设有底为等边三角形的直柱体，体积为 V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)在 x=x0 处取得极值，且可导，于是 f(x0)=0又 =2f(x0)=0【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=e x2，则 f(x)=ex2 (一 2x)=一 2xex2 【知识模块】 一元函数微
6、分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=2lnx+ex，于是 f(x)= e x，故 f(2)=1+e2【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 y =exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)， y =ex(sinx+cosx)+ex(cosxsinx)=2excosx， y =2excosx 一 2exsinx=2ex(cosxsinx)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 =2f(1)=一 2，故 f(1)=一 1【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y= =1，故有水平渐近线 y=1；
7、又 =一 ，故曲线有铅直渐近线 x=一 1【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 =一 1，所以水平渐近线为 y=一 1【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考察曲线拐点的概念，可直接求函数二阶导数为零的点，再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号，以求出拐点，但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义，因而这类题目若能结合曲线的形状，往往判断起来更为方便，本题的曲线对称于直线 x=2，所以它或者没有拐点，或者只有两个拐点，因此 B与 D 被排除掉，又 y=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)，对导函数 y应用罗尔定理，知 y有两个零点，
8、从而知曲线有两个拐点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x3 一 3x+1，则 f(x)=3(x1)(x1)，可知，当一 1x1 时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x1 或 x一 1 时，f (x)0，f(x)单调递增，因 f(一 2)=一 1 0，f(一 1)一 30 ，f(1)= 一 10，f(2)一 30，由零点定理及 f(x)的单调性知，在(一 2，一 1)，(1，1) 及(1，2)各存在一个实根，故 f(x)=x3 一 3x+1 有且只有三个实根，故选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 a+b【试题解析】
9、 由函数 F(x)在 x=0 处连续可得 =F(0)，即 =b+a=A【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (ln2) n2x【试题解析】 y=2 x，y =2xln2，y =2xln2ln2=(ln2) 22x， y =(ln2)22 xln2=(ln2) 32 x， y(n)=(ln2)n2x【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 ，2【试题解析】 f (x)=3ax2 12ax，f (x)=0，则 x=0 或 x=4，而 x=4 不在一 1，2中，故舍去，f (x)=6ax 一 12a，f (0)=一 12a
10、，因为 a0，所以 f(0)0，所以 x=0 是极大值点又因 f(一 1)=一 a 一 6a+b=b 一 7a，f(0)=b，f(2)=8a 一 24a+b=b 一16a，因为 a0，故当 x=0 时，f(x)最大，即 b=2；当 x=2 时，f(x)最小所以 b一 16a=一 29，即 16a=2+29=31，故 a= 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 小【试题解析】 一 10，又有(x 一 a)20，则由极限的保号性可知 f(x)一 f(a)0，故 f(a)为极小值【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y = ，y = ，y = ，依次类推 y(n)=(一 1)n
11、【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y= 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (y)= ，而 f(1)=9，f (1)=一 ，故 (9)= 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 当 x0 时，g (x)= ；【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y =3x2 一 3，y =6x 令 y=0，解得 x=0 当 x0 时，y0；当x0 时，y 0， 当 x=0 时，y=5 因此，点(0 ， 5)为所给曲线的拐点【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 F (x)=f(x)一
12、 2x，F (x)=f(x)一 2，且由题意知 f(x)0(xR)， F(x)0(x R)， 故曲线 y=F(x)在 R 上是凸的；【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 显然 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 10，F(1)= 01f(t)dt 一2 012dt 一 2=0， 方程 F(x)=0 在区间(0，1)内至少有一个实根 由 F(x)0 知F(x)在 R 上单调递减， x1 时，有 F(x)F (1)=f(1)一 2=0， 由此知 F(x)在(0，1)内单调递增， 因此方程 F(x)=0 在(0 ，1)内至多只有一个实根， 故方程 F(x)=0 在区间(0， 1)内有
13、且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由题设可知 F(x)，F (x)，F (x)，F (x)在0，1 上存在，又 F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在 1(0，1)使 F(1)=0又 F(0)=3x2f(x)+x3f(x) x=0=0，F (x)在0， 1上应用罗尔定理，存在 2(0， 1) (0，1)使 F(2)=0，又F(0)=6xf(x)+6x2f(x)+x3f(x) x=0=0，对 F(x)在0， 2上再次用罗尔定理，存在(0， 2) (0，1)使 F()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 只需证明 ，在a，b 上用拉格朗日中
14、值定理，【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arctanx，f (x)=ln(1+x)+1 一 ，f (x)=当 x0 时，f (x)0，则 f(x)单调递增，故有 f(x)f (0)=0，则 f(x)单调递增，故有 f(x)f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)arctanx 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=xln(1+x)，由 F(x)=1 0( 当 x0 时)知 F(x)单调增加，又 F(0)=0，所以，当 x0 时，F(x)0，即 xln(1+x)0，即 xln(1+x)【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设底边长为 x，直柱体高为 y，则 V= ，S = ，令 S=0 得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为 时，表面积最小【知识模块】 一元函数微分学
