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[专升本类试卷]专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内可导,且 f(x0)为 f(x)的一个极小值,则 = ( )(A)一 2(B) 0(C) 1(D)22 设函数 f(x)=ex2 ,则 f(x)等于 ( )(A)一 2e x2(B) 2ex2(C)一 2xex2(D)2xe x23 设函数 f(x)=2lnx+ex,则 f(2)= ( )(A)e(B) 1(C) 1+e2(D)ln24 设 y=exsinx,则 y= ( )(A)cosx e x(B) sinx ex(C) 2ex(cosxsinx)(D)2e x(sinxcosx

2、)5 设 f(x)可导,且满足 =一 2,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 ( )(A)4(B)一 4(C) 1(D)一 16 曲线 y=1+ ( )(A)有水平渐近线,无铅直渐近线(B)无水平渐近线,有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线7 曲线 y= =1 的水平渐近线的方程是 ( )(A)y=2(B) y=一 2(C) y=1(D)y=一 18 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)39 方程 x3 一 3x+1=0 ( )(A)无实根(B)有唯一实根(C)有两个

3、实根(D)有三个实根二、填空题10 设函数 f(x)在 x=0 处可导,且 f(0)=0,f (0)=b,若 F(x)= 在 x=0 处连续,则常数 A=_11 设 y=2x,则 y(n)=_12 设 y= ,则 y=_13 设 f(x)=ax3 一 6ax2+b 在区间一 1,2的最大值为 2,最小值为一 29,又知a0,则 a=_,b=_ 14 若 =1,则 f(x)在 x=a 处取极_值15 求 y= 的 n 阶导数16 求函数 y=ln(x+ )的二阶导数 y17 设 x=(y)是严格单调的连续函数 y=f(x)的反函数,且 f(1)=9,f (1)=一 ,求(9)18 设 y=y(x

4、)由 所确定, f(t)存在且 f(t)0,求 19 设函数 f(x)在(一,+)内具有二阶导数,且 f(0)=f(0)=0,试求函数 g(x)=的导数20 求曲线 y=x3 一 3x+5 的拐点20 已知 f(x)是定义在 R 上的单调递减的可导函数,且 f(1)=2,函数 F(x)=0xf(t)dt一 x2121 判别曲线 y=F(x)在 R 上的凹凸性,并说明理由;22 证明:方程 F(x)=0 在区间 (0,1)内有且仅有一个实根23 若 f(x)在0,1上有三阶导数,且 f(0)=f(1)=0,设 F(x)=x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个 ,使 F()=024 设 0a

5、 b1,证明不等式 arctanbarctana 25 证明:当 x0 时,有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx26 证明当 x0 时,xln(1+x)27 设有底为等边三角形的直柱体,体积为 V,要使其表面积为最小,问底边的长应为多少?专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)在 x=x0 处取得极值,且可导,于是 f(x0)=0又 =2f(x0)=0【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=e x2,则 f(x)=ex2 (一 2x)=一 2xex2 【知识模块】 一元函数微

6、分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=2lnx+ex,于是 f(x)= e x,故 f(2)=1+e2【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 y =exsinx+excosx=ex(sinx+cosx), y =ex(sinx+cosx)+ex(cosxsinx)=2excosx, y =2excosx 一 2exsinx=2ex(cosxsinx)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 =2f(1)=一 2,故 f(1)=一 1【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y= =1,故有水平渐近线 y=1;

7、又 =一 ,故曲线有铅直渐近线 x=一 1【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 =一 1,所以水平渐近线为 y=一 1【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考察曲线拐点的概念,可直接求函数二阶导数为零的点,再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号,以求出拐点,但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义,因而这类题目若能结合曲线的形状,往往判断起来更为方便,本题的曲线对称于直线 x=2,所以它或者没有拐点,或者只有两个拐点,因此 B与 D 被排除掉,又 y=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3),对导函数 y应用罗尔定理,知 y有两个零点,

8、从而知曲线有两个拐点,故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x3 一 3x+1,则 f(x)=3(x1)(x1),可知,当一 1x1 时,f(x)0,f(x)单调递减;当 x1 或 x一 1 时,f (x)0,f(x)单调递增,因 f(一 2)=一 1 0,f(一 1)一 30 ,f(1)= 一 10,f(2)一 30,由零点定理及 f(x)的单调性知,在(一 2,一 1),(1,1) 及(1,2)各存在一个实根,故 f(x)=x3 一 3x+1 有且只有三个实根,故选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 a+b【试题解析】

9、 由函数 F(x)在 x=0 处连续可得 =F(0),即 =b+a=A【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (ln2) n2x【试题解析】 y=2 x,y =2xln2,y =2xln2ln2=(ln2) 22x, y =(ln2)22 xln2=(ln2) 32 x, y(n)=(ln2)n2x【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 ,2【试题解析】 f (x)=3ax2 12ax,f (x)=0,则 x=0 或 x=4,而 x=4 不在一 1,2中,故舍去,f (x)=6ax 一 12a,f (0)=一 12a

10、,因为 a0,所以 f(0)0,所以 x=0 是极大值点又因 f(一 1)=一 a 一 6a+b=b 一 7a,f(0)=b,f(2)=8a 一 24a+b=b 一16a,因为 a0,故当 x=0 时,f(x)最大,即 b=2;当 x=2 时,f(x)最小所以 b一 16a=一 29,即 16a=2+29=31,故 a= 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 小【试题解析】 一 10,又有(x 一 a)20,则由极限的保号性可知 f(x)一 f(a)0,故 f(a)为极小值【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y = ,y = ,y = ,依次类推 y(n)=(一 1)n

11、【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y= 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (y)= ,而 f(1)=9,f (1)=一 ,故 (9)= 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 当 x0 时,g (x)= ;【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y =3x2 一 3,y =6x 令 y=0,解得 x=0 当 x0 时,y0;当x0 时,y 0, 当 x=0 时,y=5 因此,点(0 , 5)为所给曲线的拐点【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 F (x)=f(x)一

12、 2x,F (x)=f(x)一 2,且由题意知 f(x)0(xR), F(x)0(x R), 故曲线 y=F(x)在 R 上是凸的;【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 显然 F(x)在0,1上连续,且 F(0)=一 10,F(1)= 01f(t)dt 一2 012dt 一 2=0, 方程 F(x)=0 在区间(0,1)内至少有一个实根 由 F(x)0 知F(x)在 R 上单调递减, x1 时,有 F(x)F (1)=f(1)一 2=0, 由此知 F(x)在(0,1)内单调递增, 因此方程 F(x)=0 在(0 ,1)内至多只有一个实根, 故方程 F(x)=0 在区间(0, 1)内有

13、且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由题设可知 F(x),F (x),F (x),F (x)在0,1 上存在,又 F(0)=0,F(1)=f(1)=0,由罗尔定理,存在 1(0,1)使 F(1)=0又 F(0)=3x2f(x)+x3f(x) x=0=0,F (x)在0, 1上应用罗尔定理,存在 2(0, 1) (0,1)使 F(2)=0,又F(0)=6xf(x)+6x2f(x)+x3f(x) x=0=0,对 F(x)在0, 2上再次用罗尔定理,存在(0, 2) (0,1)使 F()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 只需证明 ,在a,b 上用拉格朗日中

14、值定理,【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arctanx,f (x)=ln(1+x)+1 一 ,f (x)=当 x0 时,f (x)0,则 f(x)单调递增,故有 f(x)f (0)=0,则 f(x)单调递增,故有 f(x)f(0)=0,即(1+x)ln(1+x)arctanx 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 F(x)=xln(1+x),由 F(x)=1 0( 当 x0 时)知 F(x)单调增加,又 F(0)=0,所以,当 x0 时,F(x)0,即 xln(1+x)0,即 xln(1+x)【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设底边长为 x,直柱体高为 y,则 V= ,S = ,令 S=0 得为极小值点,故在实际问题中,也为最小值点,即底边为 时,表面积最小【知识模块】 一元函数微分学

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