1、专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在 x=a 处可导，则 = ( )（A）f (a)（B） 2f(a)（C）一 2f(a)（D）一 f(a)2 设函数 y=2x+sinx，则 y= ( )（A）1 一 cosx（B） 1+cosx（C） 2 一 cosx（D）2+cosx3 设 f(1)=1，则 = ( )（A）一 1（B） 0（C）（D）14 设 f(x)=sinx，f(x)在 x=0 处 ( )（A）可导（B）连续但不可导（C）不连续（D）无意义5 曲线 在 t=0 相应的点处的切线方程是 ( )6 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意
2、的 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f (x)0（B）对任意 x，f (一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加7 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f (x)0，又y=f(x+x)一 f(x)，dy=f(x)x，则当 x0 时，有 ( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy08 设函数 y=f(x)的导数 y=f(x)的图像如图 21 所示，则下列结论正确的是 ( )（A）x=一 1 是驻点，但不是极值点（B） x=一 1 为极大值点（C） x=1 是极小值点
3、（D）x=一 1 为极小值点9 以下结论正确的是 ( )（A）函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点（B）若 x0 为函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点（C）若函数 f(x)在点 x0 处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0（D）若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x0)一定存在二、填空题10 设 f(x)= 在 x=1 处可导，则 a=_，b=_11 y= ，求 dy=_12 若 x=atcost，y=atsint，则 =_13 设曲线 y= ，则该曲线的铅直渐近线为_14 y=x3 一 3x2+6x 一 2 在 一 1，1上的最
4、大值为_15 设 f(x)=3x，g(x)=x 3，求 fg(x)16 设 sin(ts)+ln(s 一 t)=t，且 s=s(t)，求 的值17 求函数 y= 的导数18 已知两曲线 y=f(x)与 y=0arctanxet2 dt 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 19 设 f(x)=2x2+xx，求 f(0)，并证明 f(x)在 x=0 处不存在二阶导数20 求函数 y=x2+ 的极值与单调区间及其凹凸区间和拐点、渐近线21 已知 f(x)在a，b上连续且 f(a)一 f(b)，在(a ，b)内 f(x)存在，连接 A(a，f(a)，B(b，f(b)两点的直线交曲线
5、y=f(x)于 C(c，f(c)且 acb，试证在(a ，b) 内至少有一点 使得 f()=022 设 F(X)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明在(a，b)内至少存在一点 ，使 f()=一 f()，这里 为任意实数23 设 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内可导，且 f(a)=0，证明存在一点 (0，a) ，使得 f()+f()=024 若函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，试证：至少存在一点 (a，b)，使得 f()g()+2f()g()=025 证明对任意 x 都有 xx2 26
6、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长 20cm，要使其体积为最大，问其高应为多少?专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 =一 2f(a)，故选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y=2x+sinx，则 y=2+cosx【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(1)，因 f(1)=1，故极限值为 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)= sinx在 R 上连续，在 x=0 处显然连续， =1， =一1，所以 f(x)在 x=0 处不可导，故选
7、B【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 y = 又 t=0 时，x=1，y=0，故切线方程为 y= (x 一 1)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 反例：取 f(x)=x3，有 f(0)=0，f(一 x)=一 x3 单调减少，排除A，B，C，故选 D，D 项证明如下： 令 F(x)=一 f(x)，x 1x 2，则一 x1一 x2 所以 F(x1)=一 f(一 x1)一 f(一 x2)=F(x2)，故一 f(一 x)单调增加【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)0，x0，可知 dy=f(x)x=0，因此应排
8、除 A、C 项，由于 f(x)0，可知曲线是凸的，f (x)0，曲线单调下降，因此曲线弧单调下降且为凸的，由曲线弧图形可知ydy，故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 从图像上可知，f (1)=0，因而 x=一 1 为驻点，当 x一 1 时，f (x)0；当 x一 1 时，f (x)0，所以，x=一 1 是 y=f(x)的极小值点，故选 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 导数为零的点称为驻点，但驻点不一定是极值点极值点可能是驻点，也可能是不可导点，可导一定连续，连续不一定可导【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】
9、e ，1【试题解析】 f(x)在 x=1 处可导，则 f(x)在 x=1 处连续，【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 y= 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x=一 1【试题解析】 由 y= ，故铅直渐近线为 x=一 1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 2【试题解析】 f (x)=3x2 一 6x+6=3(x 一 1)2+10，函数单调递增，故在一 1，1上最大值为 f(1)=13+62=2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 因为 f(x)=3xln3，g (x)=3
10、x2，所以 fg(x)=f(3x2)=33x2ln3【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 在 sin(ts)ln(s 一 t)=t 两边对 t 求导，视 s 为 t 的函数，有cos(ts)(s+t s)+ (s 一 1)=1，而当 t=0 时，s=1，代入上式得 =1【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 等式两边取对数得 lny= ，两边对 x 求导得 ，所以 y=【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由已知条件得 f(0)=0，f (0)= =1。故所求切线方程为 y=x，且=2f(0)=2【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 f(0)=0，从而 f
11、(0)= =0；当 x0 时，f(x)=2x 2+x2=3x2，所以f(x)=6x；当 x0 时，f(x)=2x 2 一 x2=x2，所以 f(x)=2x从而 f(x)= 而f = =2，f = =6，f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不存在二阶导数【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 函数定义域为 x(一 ，0)(0，+)，y =2x 一 ，令 y=0，得x=1当 x1 时，y 0；当 x1 时，y 0，所以函数 y=x2+ 在 x=1 处取得极小值，且极小值为 y(1)=3；单调增区间为 x(1，+)，单调减区间为(一，0)，(0，1)又因 y= ，令 y=0，得
12、 x= 当 x0 时，y 0；当 x0 时，y0，所以点 ( ，0)是拐点，凹区间为(一， )，(0，+)；凸区间为( ， 0)，又因 有垂直渐近线 x=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由 f(a)=f(b)且 f(x)在a，b上连续可知 f(a)=f(b)=f(c)， 在(a，c)内有一点 1，使得 f(1)=0； 在(c，b)内有一点 2，使得 f(2)=0，这里a 1 c 2b 再由罗尔定理，知在( 1， 2)内至少有一点 ，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 将要证明的关系式写成 f ()+F()=0， 作辅助函数 (x)=e xf(x)，
13、 容易验证 (x)在a，b上满足罗尔定理的条件，故存在 (a，b)，使 ()=0，即 ef()+f()=0，亦即 f()=一 f()【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 把 变为 x，得 f(x)+xf(x)=0，即 (xf(x)=0， 两边积分得 xf(x)=C，所以，设 F(x)=xf(x) 设 F(x)=xf(x)在0 ，a上连续，在 (0，a) 内可导，F(0)=0，F(a)=0， 根据罗尔定理得，存在一点 (0，a)，使得 F()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 f (x)g(x)+2f(x)g(x)=0，解微分方程，分离变量得 ，
14、两边积分得，lnf(x)=一 2lng(x)+C1，即 lnf(x)g2(x)=C1，因此 f(x)g2(x)=C，故设 F(x)=f(x)g2(x)由题意可知 F(x)在 a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=f(a)g2(a)=0，F(b)=f(b)g2(b)=0，所以，F(x)在a ，b上满足罗尔定理，所以，存在一点 (a，b)，使得 F()=0，即 f()g2()+2f()g()g()=0，又 g(x)0，整理得 f()g()+2f()g()=0【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 F(x)= 一 x+x2，由 F(x)=一 1+2x=0 得唯一驻点 x= ，且F(x)=20，所以 0， 为函数 F(x)的最小值，故对任意 x 都有 F(x)0，所以 一 x+x20，即 xx2 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设高为 h，则底面半径 r= (400 一 h2)h，V = 一 h2，令V=0 得 h= 0，故 h= 为极大值点，在此问题中也为最大值点即高为cm 时，其体积最大【知识模块】 一元函数微分学
