1、专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 设 f(x)在 x0 处不连续，则 ( )（A）f (x0)必存在（B） f(x0)必不存在（C） f(x)必存在（D） f(x)必不存在2 设函数 f(x)=x 3 一 1(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) 。（A）充分必要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =( )（A）一 2f(0)（B）一 f(0)（C） f(0)（D）04 若 f(x 一 1)=x2 一
2、 1，则 f(x)等于 ( )（A）2x+2（B） x(x+1)（C） x(x 一 1)（D）2x 一 15 函数 y=f(x)可导，则 y=fff(x) 的导数为 ( )（A）f f(x)（B） ff f(x)（C） fff(x)f (x)（D）f ff(x)f f(x)f(x)6 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(x)0，则下列结论成立的是 ( )（A）f(0)0（B） f(1)0（C） f(1)f(0)（D）f(1)f(0)7 设函数 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f (x) 0，若 f(a)f(b)0，则 y=f(x)在(a， b) ( )（A）
3、不存在零点（B）存在唯一零点（C）存在极大值点（D）存在极小值点8 曲线 y= ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线9 下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )（A）f(x)=（B） y=（C） y=xex，0，1（D）y=x 2 一 1，一 1，110 要制作一个有盖铁桶，其容积为 V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为 ( )（A）1：2（B） 1：1（C） 2：1（D）二、填空题11 设函数 y=sin(x 一 2)，则 y=_12 设函数 f(x)有连续的二阶导数且 f(0)=0，f (0)=1，f (0)=一
4、2，则 =_13 y=y(x)是由方程 xy=eyx 确定的函数，则 dy=_14 函数 y=cosx 在0，2上满足罗尔定理，则 =_15 若函数 f(x)在0，1上满足 f(x)0，则 f(0)，f (1)，f(1) 一 f(0)的大小顺序为_16 设 f(x)= 其中 a、b、A 为常数，试讨论 a、b、A 为何值时，f(x)在 x=0 处可导?17 设 y= ，求 y18 设 =a，且 f(0)存在，求 f(0)19 求函数 x=cosxy 的导数20 已知 y= ，f (x)=arctanx2，计算 21 讨论曲线 y= 的单调性、极值、凸凹性、拐点22 设 f(x)在1，e可导，且
5、 f(1)=0，f(e)=1，试证 f(x)= 在(1，e)至少有一个实根23 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数 a 及 b，在(0，1)内必存在不相等的 x1，x 2，使 =a+b24 利用拉格朗日中值定理证明：当 x1 时，e xex 25 设 ab 0，n1，证明： nbn1 (a 一 b)a n 一 bnna n1 (a 一 b)25 已知函数 f(x)= 26 证明：当 x0 时，恒有 f(x)+ ；27 试问方程 f(x)=x 在区间(0，+)内有几个实根?28 假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，
6、两个市场的销售量分别是 Q1= ，Q 2=12 一 x，其中 x 为该产品在两个市场的价格 (万元吨) ，该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2(Q1+Q2)+5，试确定 x 的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x0 处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此 C、D 都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以 A 不对，故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 (1)=0 可知 即 f (1)=f (1)=0，所以，f (1)=0设 f
7、(x)在 x=1处可导，因为 f(1)=0，所以 (x2+x+1)(x)=3(1)，【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =f(0)一 2f(0)=一 f(0)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x 一 1)=x2 一 1=(x1)(x 一 1+2)，故 f(x)=x2+2x，则 f(x)=2x2 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 y (x)=(fff(x)=fff(x)ff(x)f(x)，故选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解
8、析】 因 f(x)0，x(0，1) ，可知 f(x)在0，1上是单调递减的，故 f(1)f(0)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知，f(x)在(a ，b) 上单调递增，且 f(a)f(b)0，则由零点定理以及单调性可得 y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 因 =1，所以 y=1 为水平渐近线，又因 =，所以 x=0 为铅直渐近线【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 A 选项中，函数在 x=5 处不连续；B 选项中，函数在 x=1 处不连续；C 选项中，y(0)y(1)；D
9、 选项中，函数在一 1，1 连续，在(一 1，1) 可导，y(1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选 D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 设底面半径为 r，高为 h，则有V=r2h，S=2rh2r 2= +2r2，S (r)=一 4r= ，由于驻点唯一，必是最值点，此时 h= ，则 r：h=1 ：2【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 一 sin(x 一 2)【试题解析】 因为 y=sin(x 一 2)，y =cos(x 一 2)，y =一 sin(x 一 2)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 1【试题解析】 =一 1【知识模
10、块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，有 y+xy=eyx (y一 1)，所以 y= 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 y =一 sinx，因函数在0，2上满足罗尔定理，故存在 (0，2)，使一 sin=0，故 =【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 f (1)f(1)一 f(0)f (0)【试题解析】 f (x)0，则 f(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f()(1 一 0)=f()，(0，1) 故有 f(1)f ()f (0)，即 f(1)f(1) 一 f(0)
11、f (0)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 若函数 f(x)在 x=0 可导，则函数 f(x)也连续，故有 =f(0)，f (0)=f (0)，【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(0)= a【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 等式两边关于 x 求导，可得 1=一(sinxy)(xy) =一(sinxy)(y+xy )，整理后得(xsinxy)y =一 1 一 ysinxy，从而 y= 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 y=f()，= ，则【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y
12、= ，令 y=0 得 x=e而 y= ，令 y=0，得 x=e2当 x1时，y，则 x=1 为垂直渐近线当 0x1 时，y 0，y 0，故 y 单调下降，且是凸的当 1xe 时， y0，y 0，故 y 单调下降，且是凹的当 exe 2时，y 0，y 0，故 y 单调上升，且是凹的当 e2x+时，y 0，y 0，故y 单调上升，且是凸的当 x=e 时，y 有极小值 2e，且(e 2，e 2)是拐点【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 F(x)=f(x)一 lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点(1， e)使 F()=0，即 f()一 =0，所以 f(x)= 在
13、(1，e)至少有一个实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因 a，b 0，故 0 1，又因 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 ，由介值定理，必存在 (0，1)，使 f()= 又分别在0，1上用拉格朗日中值定理，得 f()一 f(0)=( 一 0)f(x1)，f(1)一 f()=(1 一 )f(x2)(其中0x 1x 21) 即有 =1考虑到 1 ，并将上两式相加，得 =1，即存在不相等的 x1，x 2 使 =a+b【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 f()=e，1，x 容易验证 f()在1，x上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (1，x)，
14、使 =f()，即 =e，因为 (1，x)，所以ee即 e ，整理得，当 x1 时，e xex【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 构造函数 f(x)=xn(n1)，因为 f(x)=xn 在a，b上连续，在(a ，b)内可导，所以，存在一点 (a，b)使得 f()= =nn1 ，又 0ab，故an1 n1 bn1 ，所以 nan1 n n1 nb n1 ，即 nan1 nb n1 ，整理得nan1 (b 一 a)b n 一 annb n1 (b 一 a)两边取负号得 nbn1 (a 一 b)a n 一bnna n1 (a 一 b)【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学
15、26 【正确答案】 则可知 F(x)=C，C 为常数当 x=1 时，F(1)=C=f(1)+f(1)=，故当 x0 时，F(x)=f(x)+ 恒成立；【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 g(x)=f(x)一 x，则 g(x)= 一 10，故 g(x)在(0，+)上单调递减，又 则 g(x)=0 在 (0，+)上有且仅有一个实根，即 f(x)=x 在(0，+) 上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由已知条件得利润函数为 L=(Q1+Q2)xC=(Q1+Q2)x 一 2(Q1+Q2)一 5= (12x)(x2)一 5= x2+24x 一 47，求导得 L=一 3x+24，令 L=0，得驻点 x=8根据实际情况，L 存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点L max= 8 2+24847=49 故当两个市场价格为 8 万元吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为 49 万元【知识模块】 一元函数微分学
